2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题21 二项式定理问题(解析版)

专题21 二项式定理问题
【高考真题】
1．(2022·新高考Ⅰ) 8
1()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．
1．答案 －28 解析 因为()()()88
8
1=y y
x y x y x y x x ⎛⎫
-++-+ ⎪⎝⎭，所以()8
1y x y x ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭的展开式中含26x y 的
项为626
5352688C 28y x y C x y x y x -=-，()81y x y x ⎛⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
的展开式中26x y 的系数为－28．故答案为－28． 2．(2022·北京)若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=( )
A ．40
B ．41
C ．40-
D ．41-
2．答案 B 解析 令1x =，则432101a a a a a ++++=，令1x =-，则()443210381a a a a a -+-+=-=， 故420181
412
a a a +++=
=，故选B ． 3．(2022·浙江) 已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，
12345a a a a a ++++=___________．
3．答案 8 －2 解析 含2x 的项为：()()32322222
44C 12C 14128x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-+=，
故28a =；令0x =， 即02a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，∴123452a a a a a ++++=-，故答案为8，－2． 【知识总结】 二项式定理
(a ＋b )n 的展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ．
(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．
(4)二项式系数从C 0n ，C 1
n ，一直到C n －
1n ，C n n ．
(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的
项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．(6)(a ＋b )n 的展开式与(b ＋a )n 的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
【题型突破】
题型一 形如(a ＋b )n (n ∈N)展开式中与特定项相关量的问题 1．(2021·北京)⎝
⎛⎭⎫x 3－1
x 4
的展开式中常数项是________． 1．答案 －4 解析 二项展开式的通项为C k 4(x 3)4－k ⎝⎛⎭⎫－1x k
＝C k 4(－1)k x
12－4k
(0≤k ≤4，k ∈N )．令12－4k ＝0， 得k ＝3，故展开式中的常数项为C 3
4
(－1)3＝－4． 2．(2020·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2
x 6的展开式中常数项是________(用数字作答)． 2．答案 240 解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ·⎝⎛⎭
⎫
2x k ＝2k C k 6x
12－3k
．令12－3k ＝0，解得k ＝4，故常
数项为24C 46＝240．
3．(2020·北京)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( )
A ．－5
B ．5
C ．－10
D ．10 3．答案 C 解析 T k ＋1＝C k 5(
x )
5－k
(－2)
k
＝C k 5
52
k
x
-·(－2)k
，令5－k
2＝2，解得k ＝1．所以x 2的系数为C 15(－
2)1＝－10．
4．⎝⎛⎭
⎫1
2x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 4．答案 A 解析 T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫12x 5－r ·(－2y )r ＝C r
5·⎝⎛⎭⎫125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r ．当r ＝3时，展开式中x 2y 3的系数为
C 35
⎝⎛⎭⎫122
×(－2)3＝－20．故选A ．
5．(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
5．答案 162 5 解析 由题意，(2＋x )9的通项为T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r (r ＝0,1,2，…，9)，当r ＝0时， 可得常数项为T 1＝C 09(2)9
＝162；若展开式的系数为有理数，则r ＝1，3，5，7，9，有T 2， T 4，T 6，
T 8，T 10共5个项．
6．⎝
⎛⎭⎫3x －1x 6的展开式中，有理项共有( )
A ．1项
B ．2项
C ．3项
D ．4项6．答案 D 解析 ⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36
－r ·x 6－32r ，令6－32r 为整数，求 得r ＝0，2，4，6，共计4项．
7．在(1－x )5＋(1－x )6＋…＋(1－x )18＋(1－x )19的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．4 840 B ．－4 840 C ．3 871 D ．－3 871
7．答案 B 解析 由题意得含x 3的项的系数为－C 35－C 36－…－C 318－C 319＝－(C 45＋C 35＋C 36＋…＋C 318＋C 3
19 －C 45)＝－(C 46＋C 36＋…＋C 318＋C 319－C 45)＝…＝－(C 420－C 4
5)＝－4 840，故选B ．
8．若(2x ＋1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋a 3(x ＋1)3＋a 4(x ＋1)4＋a 5(x ＋1)5，则a 4＝( )
A ．－32
B ．32
C ．－80
D ．80
8．答案 C 解析 因为(2x ＋1)5＝[－1＋2(x ＋1)]5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(－1)
5－r
·[2(x ＋1)]r ＝(－1)5 －r
·2r ·C r 5·(x ＋1)r ，所以a 4＝(－1)1·24·C 4
5＝－80，故选C ．
9．若⎝
⎛⎭⎫ax 2＋
1x 5
的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________． 9．答案 －2 解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5
的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－52r ，令10－52r ＝5， 得r ＝2，所以C 25a 3
＝－80，解得a ＝－2．
10．若二项式⎝
⎛⎭⎫x －2
x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15
10．答案 C 解析 由二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4·⎝⎛⎭⎫－2x 4＝16C 4
n x n 2－6是常数项，可得n 2－6
＝0，解得n ＝12．
题型二 形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)展开式中与特定项相关量的问题 11．(2020·全国Ⅰ)⎝⎛⎭
⎫x ＋y
2
x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20
11．答案 C 解析 方法一 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2
x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭
⎫x ＋y
2
x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)，∴x 3y 3的系 数为10＋5＝15．
方法二 当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35，当x ＋y 2x 中取y 2
x 时，x 3y 3的系数为C 15，∴x 3y 3
的系数为
C 35＋C 15＝10＋5＝15．
12．(2019·全国Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
12．答案 A 解析 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12．
13．(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( )
A ．600
B ．360
C ．－600
D ．－360
13．答案 C 解析 由二项展开式的通项可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 4622(－1)4
＝
－600．故选C ．
14．若(x 2－a )⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A ．13 B ．1
2
C ．1
D ．2
14．答案 D 解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x
10－2r
，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4
项的系数为
C 310，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6
项的系数为
C 210，所以(x 2
－a )
⎝⎛⎭
⎫x ＋1x 10
的展开式中x 6的系数为C 310－a C 2
10＝30，解得a ＝2．
15．(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )
A ．－4
B ．－3
C ．3
D ．4
15．答案 解法1 (1－x )6的展开式的通项公式为C m 6·(－x )m ＝C m 6·
(－1)m x m
2
，(1＋x )4的展开式的通 项公式为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2
，其中m ＝0，1，2，…，6，n ＝0，1，2，3，4．令m 2＋n 2
＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04
＝－3． 解法2 (1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的
展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14(－1)1×
1＝－3． 解法3 在(1－x )6(1＋x )4的展开式中要出现x ，可以分为以下三种情况：
①(1－x )6中选2个(－x )，(1＋x )4中选0个x 作积，这样得到的x 的系数为C 2
6·C 04＝15； ②(1－x )6中选1个(－x )，(1＋x )4中选1个x 作积，这样得到的x 的系数为C 1
6(－1)1·C 14＝－24； ③(1－x )6中选0个(－x )，(1＋x )4中选2个x 作积，这样得到的x 的系数为C 06·C 24＝6．
所以x 的系数为15－24＋6＝－3．故选B ．
16．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
16．答案 C 解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4
的展开式中，y n 的系数为C n 4，故
f (m ，n )＝C m 6·C n 4．所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 3
4＝120．
17．⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4
x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( )A ．－30 B ．30 C ．－25 D ．25
11．答案 C 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＝x 2⎝⎛⎭⎫1－1x 5－3x ⎝
⎛⎭⎫1－1x 5＋4
x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5，⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式的 通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝⎛⎭⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭
⎫1x 4
，令r ＝
2，T 3＝C 25(－1)2·
⎝⎛⎭
⎫1x 2
，故所求常数项为C 45－3×C 2
5＝5－30＝－25，故选C ． 18．已知(1＋x )⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x 2n (n ∈N *，n ＜10)的展开式中没有常数项，则n 的最大值是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
18．答案 B 解析 ∵(1＋x )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2n (n ∈N *，n ＜10)的展开式中没有常数项，∴⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x 2n
的展开式中没有 x
－1
项和常数项．∵⎝⎛⎭
⎫x ＋1x 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·x n －3r
，故n －3r ≠0，且n －3r ≠－1，即n ≠3r ，且n ≠3r －1，∴n ≠3，6，9，且n ≠2，5，8，故n 的最大值为7，故选B ．
19．在(1＋x )8(1＋y )5的展开式中，记x 3y 2的系数为m ，x 5y 3的系数为n ，则m ＋n ＝( )
A ．1 260
B ．1 120
C ．840
D ．630
19．答案 解析 二项式(1＋x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x r (其中r ＝0,1，…，8)，二项式(1＋y )5
展开式
的通项为T R B ＋1＝C R 5y R (其中R ＝0,1，…，5)．令r ＝3，R ＝2，可得C 58x 3C 25y 2＝C 38C 25x 3y 2，即m ＝C 38C 2
5；令r ＝5，R ＝3，可得C 58x 5C 35y 3＝C 58C 35x 5y 3，即n ＝C 58C 35．所以m ＋n ＝560＋560＝1 120．故选B ．
20．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )
A ．C 2n
B ．
C 2n ＋1 C ．C n －1n
D ．12C 3n ＋1 20．答案 B 解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2＝C 2n ＋1．
题型三 形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)展开式中与特定项相关量的问题 21．⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x ＋25的展开式中x 2的系数是________． 21．答案 120 解析 在⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4，23C 35⎝⎛⎭
⎫x ＋1x 2，所以在这几项 的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02
＝40＋80＝120． 22．⎝⎛⎭
⎫x －1
x ＋15的展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．11 C ．－19 D ．51
22．答案 B 解析 ⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭
⎫x －1x 5－k ，当k ＝5时，常数项为C 55＝1，当k ＝3时，常数项为－C 12C 35＝－20，当k ＝1时，常数项为C 45C 24＝30．综上所述，常
数项为1－20＋30＝11．
23．将⎝⎛⎭
⎫x ＋4
x －43展开后，常数项是________． 23．答案 －160 解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝
⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k ．令3 －k ＝0，得k ＝3．所以常数项是C 36(－2)3＝－160．
24．在⎝
⎛⎭⎫x 3－2x ＋1
x 4的展开式中，常数项为( ) A ．28 B ．－28 C ．－56 D ．56
24．答案 A 解析 ⎝⎛⎭
⎫x 3－2x ＋1x 4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4·x －r ·(x 3－2x )4－r ．而(x 3－2x )4－r 的通项为T k ＋
1＝C k 4－r ·(x 3)4－r －k ·(－2x )k ＝(－2)k ·C k 4－r
·x 12－3r －2k (k ≤4－r )，则⎝
⎛⎭⎫x 3－2x ＋1x 4
的展开式的通项为(－
2)
k
·C r 4·C k 4－r ·x
12－4r －2k ．令12－4r －2k ＝0，可得k ＝0，r ＝3或k ＝2，r ＝2．∴⎝
⎛⎭⎫x 3－2x ＋1
x 4
的展开式中常数项为C 34×C 01＋4×C 24×C 2
2＝28，故选A ．
25．⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25
的展开式中的常数项为 (用数字作答)．
25．答案 6322 解析 解法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x
5·[(x ＋2)2]5＝132x 5(x ＋2)10．求原式的展
开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5
．所以所求的常数项为
C 510·
2
5
32
＝
632
2
． 解法二 要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(2)5．②5个括号中的1个选x 2，1个选1x ，3个选2，这样得到的常数项为C 1
512C 14C
3
3(2)3．③5个括号中的2个选x 2，2个选1x ，1个选2，这样得到的常数项为C 25
⎝⎛⎭⎫122C 2
32．因此展开式的常数项为(2)5＋C 1512C 14C 33(2)3＋C 25⎝⎛⎭⎫122C 23
2＝6322． 26．⎝⎛⎭
⎫x 2＋1
x 2－23的展开式中x 2的系数是 (用数字作答)． 26．答案 15 解析 因为⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6，所以T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭
⎫－1x r ＝C r 6
(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝2， 解得r ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26
(－1)2＝15． 27．(x 2＋2x ＋3y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )
A ．60
B ．180
C ．520
D ．54027．答案 D 解析 (x 2＋2x ＋3y )5可看作5个(x 2＋2x ＋3y )相乘，从中选2个y ，有C 25种选法；再从剩余
的三个括号里边选出2个x 2，最后一个括号里选出x ，有C 23·C 11种选法．所以x 5y 2的系数为32C 25·C 23·2·C 1
1
＝540．
28．⎝
⎛⎭⎫x 2－2
x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答) 28．答案 －120 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2
x
＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ， 其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x ，即可得到x 3y 3的系数，即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120．
29．⎝
⎛⎭⎪⎫x －13
x －y 6
的展开式中含xy 的项的系数为( ) A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 29．答案 B 解析 展开式中含xy 的项来自
C 16(－y )
1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 5，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13x 5
展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5x 5
－43r ，令5－43r ＝1⇒r ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 5展开式中x 的系数为(－1)3C 3
5，所以⎝
⎛⎭⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为C 16(－1)C 35(－1)3＝60，故选B ．
30．(多选)若(1－ax ＋x 2)4的展开式中x 5的系数为－56，则下列结论正确的是( )
A ．a 的值为－2
B ．展开式中各项系数和为0
C ．展开式中x 的系数为4
D ．展开式中二项式系数最大为70
30．答案 BD 解析 (1－ax ＋x 2)4＝[(1－ax )＋x 2]4，故展开式中x 5项为C 14C 33(－ax )3x 2＋C 24C 12(－ax )(x 2)2＝
(－4a 3－12a )x 5，所以－4a 3－12a ＝－56，解得a ＝2．(1－ax ＋x 2)4＝(x －1)8，则展开式中各项系数和
为0，展开式中x 的系数为C 78(－1)7＝－8，展开式中二项式系数最大为C 48
＝70．故选B 、D ． 题型四 二项式系数和与各项的系数和的问题
31．若(a ＋x 2)(1＋x )n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．81
31．答案 B 解析 令x ＝0，得a ＝2，所以(a ＋x 2)(1＋x )n ＝(2＋x 2)(1＋x )n ．令x ＝1，得3×2n ＝192，所
以n ＝6．故该展开式中x 4的系数为2C 46＋C 2
6＝45．故选B ．
32．设(x －2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则a 0＝________，a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝
________．
32．答案 －243 80 解析 令x ＝－1得a 0＝(－1－2)5＝－243．二项式(x －2)5可以写为[(x ＋1)－3]5，
则a 1＝C 45(－3)4＝405，a 2＝C 35(－3)3＝－270，a 3＝C 25(－3)2＝90，a 4＝C 15(－3)1＝－15，a 5＝C 05(－3)0＝
1，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝405＋2×(－270)＋3×90＋4×(－15)＋5×1＝80．
33．若⎝ ⎛⎭⎪⎫
3x －3x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100，则n 的最小值为________；当n 取最小
值时，该展开式中的常数项是________．33．答案 4 －12 解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫
3x －3x n 的展开式中所有项
的系数的绝对值之和等于二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x ＋3x n
的展开式中的所有项的系数之和，令x ＝1得二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫
3x ＋3x n 的展开式中的所有项的系数之和，即二
项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x －3x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为4n ，由4n >100得n ≥4(n ∈N *)，所以n 的最小
值为4，当n ＝4时，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4·⎝⎛⎭⎫3x 4－r (－3x )r ＝(－1)r 34－r C r
4x 4r 3－4，令4r 3
－4＝0得r ＝3，则该展开式中的常数项为(－1)334－3·C 34
＝－12． 34．若(1－x )2 019＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 2 019(x ＋1)2 019，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 019·32 019的值为( )
A ．－1－22 019
B ．－1＋22 019
C ．1－22 019
D ．1＋22 019
34．答案 A 解析 由(1－x )2 019＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 2 019(x ＋1)2 019，令x ＝－1得a 0＝22 019；令x ＝2得
a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 019·32 019＝－1，即a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 019·32 019＝－1－22 019，故选A ． 35．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝
39，则实数m 的值为________．
35．答案 －3或1 解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3
＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3，∴m ＝－3或m ＝1．
36．设(2x －1)6－x 6＝(x －1)(a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5)，其中a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5为实数，则a 0
＝________，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________．
36．答案 －1 6 解析 令x ＝0，得a 0＝－1；(2x －1)6＝(x ＋x －1)6＝C 06x 6＋C 16x 5(x －1)＋…＋C 66(x －1)6
，
所以(2x －1)6－x 6＝C 16x 5(x －1)＋…＋C 66(x －1)6＝(x －1)[C 16x 5＋C 26x 4(x －1)＋…＋C 66(x －1)5]，则C 16x 5＋C 2
6x 4(x －1)＋…＋C 66(x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6．
37．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝
⎛⎭⎫2x －1
x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
37．答案 D 解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1．因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝
⎛⎭⎫2x －1
x 5的展开式中的 常数项为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数与1x
的系数的和．⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5
(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r
＝C r 52
5－
r x 5
－2r
·(－1)r ．令5－2r ＝1，得r ＝2，因此⎝
⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数为C 2525－2×(－1)2＝80；令5－2r ＝－1，得r ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x
的系数为C 3525－3×(－1)3＝－40，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为
80－40＝40．
38．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( )A ．405 B ．810 C ．243 D ．64
38．答案 B 解析 (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －
1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n
－1
．令x ＝1，则2n ×3n －
1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ．又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，
可得3n ＝243，解得n ＝5．所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810．故选B ．
39．若(2x ＋1)6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 6(x ＋1)6，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＝________． 39．答案 13 解析 在(2x ＋1)6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 6(x ＋1)6中，令x ＝－1得a 0＝(－2＋1)6
＝1，对(2x ＋1)6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 6(x ＋1)6两边求导得12(2x ＋1)5＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋3a 3(x ＋1)2＋…＋6a 6(x ＋1)5，令x ＝0得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＝12，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＝13．
40．已知(2x －m )7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7，若a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 7
2
7＝－128，则有( )
A ．m ＝2
B ．a 3＝－280
C ．a 0＝－1
D ．－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14 40．答案 BCD 解析 令1－x ＝12，即x ＝12，可得⎝⎛⎭⎫2×12－m 7＝(1－m )7＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 7
2
7＝－128， 得m ＝3，则令x ＝1，得a 0＝(－1)7＝－1，(2x －3)7＝[－1－2(1－x )]7，所以a 3＝C 37×(－1)
7－
3×(－2)3＝－280．对(2x －3)7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7两边求导得14(2x －3)6＝－a 1－2a 2(1－x )－…－7a 7(1－x )6，令x ＝2得－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14．故选B 、C 、D ． 题型五 二项式系数与系数的最值问题
41．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为
________．
41．答案 C 715(3x )7和C 815(3x )8 解析 由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n
＝121，则12
n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋ n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8．
42．在二项式⎝⎛⎭
⎫x －2
x n 的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为( ) A ．－360 B ．－160 C ．160 D ．360
42．答案 B 解析 因为展开式中，仅第四项的二项式系数最大，所以展开式共有7项．所以n ＝6．所
以展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭
⎫－2x k ＝(－2)k C k 6x 6－2k ．由6－2k ＝0得k ＝3，即常数项为T 4
＝(－2)3C 36
＝－160．故选B ． 43．若⎝
⎛⎭⎫x －2
x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．210 B ．180 C ．160 D ．17543．答案 B 解析 若
⎝
⎛⎭⎫x －2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数C 5
n 最大，则n ＝10，则展开式的通 项为T r ＋1＝C r 10(－2)r x 5－5r 2．令5－5r 2
＝0，得r ＝2．所以展开式中的常数项为C 210(－2)2
＝180．故选B ． 44．若⎝⎛⎭
⎫x －1
x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( ) A ．－462 B ．462 C ．792 D ．－792
44．答案 D 解析 因为⎝⎛⎭
⎫x －1
x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n 为偶数，展开式共有 13项，则n ＝12．⎝⎛⎭⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k 12x 12－2k ．令12－2k ＝2，得k ＝5．所以展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792．故选D ．
45．⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋13
x n
的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A ．63
x B ．
4x C ．4x 6x D ．4x
或4x 6
x 45．答案 A 解析 令x ＝1，可得⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋13
x n
的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n <32，解得n ＝4， 故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(
x )2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1 3x 2＝63
x ． 46．在⎝
⎛⎭
⎫x －
1x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( ) A ．－126 B ．－70 C ．－56 D ．－28
46．答案 C 解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，∴n ＝8，
⎝
⎛⎭
⎫x －1x n
的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 8 3
82
k x
-(k ＝0，1，2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二
项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4
项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C 38＝－56．
47．设m 为正整数，()x ＋y 2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，()x ＋y 2m
＋1
展开式的二项式系数的最大值
为b ，若15a ＝8b ，则m ＝________．
47．答案 7 解析 ()x ＋y 2m 展开式中二项式系数的最大值为a ＝C m 2m ，()
x ＋y 2m ＋1
展开式中二项式系数的 最大值为b ＝C m ＋
12m ＋1，因为15a ＝8b ，所以15C m 2m ＝8C m ＋
1
2m ＋1，
即15(2m )！m ！m ！＝8(2m ＋1)！
m ！(m ＋1)！
，解得m ＝7．
48．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10．若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递
增数列，则k 的最大值是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
48．答案 B 解析 由二项式定理知a n ＝C n －
110(n ＝1，2，3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大
项是第6项．∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6．
49．二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋13
x n
的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个 数为( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．7
49．答案 D 解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝
⎛⎭⎪
⎫3x ＋13x n
的展开式的通项为
T k ＋1＝C k 20·(
3x )
20－k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x k ＝(3)20
－k ·C k 20·4203k
x －，要使x 的指数是整数，需k 是3的倍数，∴k ＝0，3，6，9，12，15，18，∴x 的指数是整数的项共有7项．
50．已知(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝
⎛⎭⎫165x 2＋1
x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二
项式系数最大的项等于54，则正数a 的值为________． 50．答案
3 解析 ⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭
⎫1x r ＝C r 5
⎝⎛⎭⎫1655－r x 20－5r 2．令20－ 5r ＝0，得r ＝4，故常数项
T 5＝C 45×
16
5＝16，
又(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和为2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4．∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2
＝54，∴a ＝3．。