第三章 带电系统的静电能与电场的能量

1 1 2 q1U 21 q2U 12 qi 2 2 i 1
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j 1 ( ji )
U
2
ji
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三、n个点电荷
1 n W互 q i 2 i 1
U
j 1 ( ji )
n
ji
qj U ji＝ 4 r 0 ji n U i＝ U ji j 1 ( ji )
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2. 静电能
W W0 W极
U
S1
r 以平行板电容器为例 S2 U 未充电时两极板电荷0 充电后电荷Q，充电过程中电源作功： q dA Udq dq C Q q 1 Q2 1 A dA dq Q U U 0 C 2 C 2 1 1 QU Q U 2 2 University of Science and Technology of China
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a 0 U 0 U r U 1 r 体电荷分布时静电能： 1 W r U r dV 2 V 其 中U r ： 总 电 势
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总电势： U r U1 r U r U r ： r dV在自身处的电势
将体电荷元看成半径为a的均匀带电球： q a 3 2 • r>a
U r 40 r 3 0 r U a
极板S1： 1dS Q
S1
电 势U 电 势U
U
r
S1 S2
极板S2： 2dS Q
S2
1 1 W A 1U dS 2U dS 2 S1 2 S2
U
1 S S1 S 2 0 r U r dS 2 S 其 中 0 r ：自由电荷面密度 U r ： 总 电 势 （ 包 含 了 极电 化荷 的 贡 献 ）
r2

r12

q1q2 q1q2 dr12 q2U 12 2 4 0 r12 4 0 r12 University of Science and Technology of China
dl
r1
q1
q1
r2
r21
r21
q2
同样，如果先移q2，则： A21 q1U 21 A12 静电能： W A21 A12 q1U 21 q2U 12
第三章 带电系统的静电能与 电场的能量
• 电磁场是物质能量是物质的基本属性 • 能量作功 • 带电系统的静电能：
• 带电过程伴随着电荷运动，在此过程中外 力克服电场力作功，转化为带电系统的能 量－－静电能。
• 电场由电荷分布决定，静电能也一样
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dx
在自身处电势（ r 0，l 0 ）： U
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二、多个带电体
i U r U i r U r U i r ： 其 它 带 电 体 在 r处 产 生 的 电 势 i U r ： 第i个 带 电 体 在 r处 产 生 的 电 势 1 W i r U r dV 2 i Vi i 1 1 i r U i r dV i r U r dV 2 i Vi 2 i Vi W互＋W自
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五、介质存在时的静电能
介质存在时带来极化电荷：
r 0 r r
根据静电能的定义： 1 W r U r dV 2 1 1 0 r U r dV r U r dV 2 2 W是否就是介质存在时的静电能？
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1 n qiU i 2 i 1
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举例 正方体，8个顶点各有一点电荷-e，中心处有 一点电荷2e，求相互作用能。 e
1 9 1 1 2e W互 qiU i 2e U 1 8 e U 2 2 i 1 2 2 a 其中： e U1 8 3 4 0 2 a 2e e e e U2 3 3 4 0 a 3 4 0 2a 4 0 3a 4 0 a 2 University of Science and Technology of China
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4. 电容器储能
1 Q2 1 1 2 W CU QU 2 C 2 2 平 行 板 电 容 器 S r 0 C U Ed d 1 S r 0 1 1 2 Ed r 0 E E Sd DEV W 2 d 2 2 1 D EV 2
a
a

3 0
a
• r<a E r 3 0
U r U a
a r
r
r dr 3 0
U r U a
rdr 3a 2 r 2 3 0 6 0
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ΔU E dl

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§3-2 连续分布带电体的静电能
一、单个带电体 r 1. 体电荷分布
将带电体分成电荷元 r dV ，将每个电荷
元看作点电荷，则： 1 W r U1 r dV 2 V 其中： r dV U1 r ：除 外其它部分在 r 处产 生的电势。
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2. 面电荷分布 r 同样，求面元 r dS 在自身处电势U’
将面元看成半径R的带电圆盘（P26例1.10）， 其轴线上的电势：
U 2 0
R z
2
2
z

令R0，z 0，得： U’ = 0
1 W r U r dS 2 S
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§3-1 点电荷系统的相互作用能
一、点电荷系统的静电能
三个点电荷为例。将q1、 q2、q3从移动到当前位置所 作功即为 系统静电能 • 相互作用能 • 自能
q1 q2 q3
• 每个带电体上的电荷从无限发散状态聚集到当 前状态所作功 • 只对带电体而言，不适用于点电荷 University


四、电势能
两个点电荷静电能： W
q2U12
物理上，可以将电荷1看作产生外场的“源”，则相互 作用能W可看作是电荷2在外场中的“电势能”：
W势 qU外
例：电偶极子在外场中的电势能：
W qU qU qU qE dl p E
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1. 宏观静电能
1 1 W0 0 r U r dV r U r dV 2 2
宏观静电能是将自由电荷和极化电荷从 无限分散聚集到当前状态所需功，但是它没 有体现极化过程中所作的功－－极化能。
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3. 线电荷分布 r
将线电荷元看成长2l的均匀带电细棒。 在中垂面上的电势：
U (r ) 4 0

l
l
l2 r2 l ln 2 2 4 0 x r l2 r2 l
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二、两个点电荷的相互作用能
r1
q1
r12
r12
dl
q2
q2 q1 从 r1， 不 作 功 以q1为原点 q2 从 r2， 作 功 ： r2 r12 q1q2 dl A12 q2 E12 dl r12 3 4 0 r12 ） （dl dr12
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推广到体分布的情况： 1 W 0 r U r dV 2 V 与 真 空 中 静 电 能 的 形一 式样 ， 但 是 U r 的 含 义 不 同 。
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§3-3 电场的能量与能量密度
一、电场的能量
• 电容器储能：
1 W D EV 2
• 定义能量密度
1 we D E 2 1 W w e dV D EdV 2
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2. 线电荷分布
线电荷元 dl在自身处电势 U W自
3. 面电荷与体电荷分布 1 2 r U r dS 导体 1 W qU 1 2 r U r dV 2
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4 r si ndrdd 2
5 2 5 2 a a 5 2 2 4 a 4 a q 3 4 4 r dr 3 0 3 0 12 0 5 3 0 5 3 0 4a
3 q2 5 4 0 a
a 0 W自 University of Science
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二、公式推导
1 1. W 0 r U r dV 0 r D 2 1 U r DdV UD U D D U 2 1 UD D U dV 2 UD dV UD dS E U
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四、带电体的电势能
带电体在外场中的电势 能： W势 r U r dV 其 中U r ： 外 场 产 生 的 电 势
V
思考：怎样理解自能、互能、电势能公 式的不同？
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3. 极化能
1 W极 W W0 r U r dV 2 V
• 负号，表示极化是系统作功（P74） 思考：这个结论是否正确？ • U是总电势，其中包含了自由电荷0的贡献
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三、自能
4 3 3a 2 r 2 q a 3 6 0 1 W自 3a 2 r 2 dV 2 6 0
U
1. 点电荷
2 a 2 4a 3 2 4 0 3 12 0