广东省深圳市南山区第二实验学校2020-2021学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】

南山区第二实验学校2020－2021学年第一学期九年级期中考试数学
试题
一．选择题（每题3分，共36分）
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A＋∠B＝180°
B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B
D．∠B＝∠D
2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
3．下列是一元二次方程的是（）
A．x2－2＋x3＝0B．x2＋2x＋3＝0C．y2＋x＝1D．1 x
＝1
4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为（）A．1B．－1C．2D．－2
5．已知b
a
＝
2
5
，则
a b
a b
－
＋
的值是（）
A．1
4
B．
3
7
C．
3
5
D．
7
3
6．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、
E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）
A．7.2
B．6.4
C．3.6
D．2.4
7．下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）
A．B．C．
D．
8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF
面积的4
9
，则AO∶AD的值为（）
A．2∶3
B．2∶5
C．4∶9
D．4∶13
9．两个相似多边形的面积之比是1∶4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶16
10．如图，已知在△ABC中，点P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP ∽△ABC的是（）
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AC
AB
＝
CP
BC
D．AC
AP
＝
AB
AC
11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，AE⊥BD于点E，则EC＝（）A．7
2
B．5
2
C．15
2
D．21
2
12．如图，将直角三角形纸片ABC(∠A＝90°，AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC 落在AB边上折痕为AD，展开纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF（如图2）．若AC＝6，AB＝8，则折痕EF的长为（）
A．24
2 7
B．24 5
C．32
D．5
二．填空题（每题3分，共12分）
13．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值为________．
14．正方形ABCD的对角线长为2，面积为________．
15．在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长5m，则旗杆高为________m．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD ∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为________．
三．解答题（共7小题）
17．（12分）用恰当的方法解方程：
（1）(x－1)2－121＝0；（2）(x＋1)2＝3(x＋1)；
（3）x2＋3x＝1．
18．（6分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3，1)，(2，－1)．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2∶1；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
19．（6分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．
20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是45，求菱形ABCD的面积．
21．（6分）某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？
（2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE·CE＝DE·EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE·BD＝EF·AF，求证：AB＝AC．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，EC平分∠DEB，点F为CE 的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE＝DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AF·GF＝28时，请直接写出CE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．选：C．
2．选：B．
3．选：B．
4．选：B．
5．选：B．
6．选：C．
7．选：B．
8．选：B．
9．选：A．
10．选：C．
11．【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．
∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，
∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，
∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，
∴EF＝＝，∴CF＝3－＝，
在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．
12．【解答】解：如图，连接DE，DF，
由折叠的性质可得：∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，AE＝DE，AF＝DF，AD⊥EF，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∠F AD＝∠FDA＝45°，∴∠AED＝∠AFD＝90°＝∠BAC，∴四边形AEDF是矩形，又∵AD⊥EF，∴四边形AEDF是正方形，
∴AE＝AF＝DE＝DF，EF＝DE，
∵S△ABC＝AB×AC＝×AB×DE＋AC×DF，∴6×8＝14DE，
∴DE＝，∴EF＝，故选：A．
二．填空题
13．答案为：1．
14．答案为：1．
15．答案是：10．
16．【解答】解：如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，
∵AD∥BC，∴∠PFC＝∠DEP＝90°，∴∠CPF＋∠PCF＝90°，
∵∠DPC＝90°，∴∠CPF＋∠DPE＝90°，∴∠PCF＝∠DPE，
在△PCF和△DPE中，∵，∴△PCF≌△DPE（AAS），∴PF＝DE、PE
＝CF，
设PF＝DE＝x，则PE＝CF＝4－x，
∵S四边形ABCD＝（AD＋BC）•AB＝12，∴×（AD＋4）×4＝12，解得AD＝2，
∴AE＝BF＝2－x，∴FC＝BC－BF＝4－（2－x）＝2＋x，
可得2＋x＝4－x，解得x＝1，∴BP＝＝，故答案为：．
三．解答题
17．【解答】（1）x1＝－10，x2＝12；
（2）x1＝－1，x2＝2；
（3）这里a＝1，b＝3，c＝－1，
∵△＝9＋4＝13，
∴x＝．
18．【解答】解：（1）如图所示：
；（2）如图所示：D（－4，2），C（－6，－2）．
19．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
∴AB＝6．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，
∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，
∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．
21．【解答】解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴每件衬衫降价5元，可售出20＋5×2＝30（件）．
（2）设每件衬衫应降价x元，据题意得：
（40－x）（20＋2x）＝1200，解得：x＝10或x＝20．
答：每件衬衫应降价10元或20元．
22．【解答】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，
∵AE•CE＝DE•EF，∴，
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．
（2）∵AE•BD＝EF•AF，∴，
∵AD＝AF，∴，
∵∠AEF＝∠EAD＋∠ADE，∠ADB＝∠EAD＋∠C，∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，
∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．
23．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC；
（2）如图，连接DF，
∵DE＝DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，
∴BF＝CF＝EF＝EC，∴∠ABF＝∠CEB，
∵∠DCE＝∠CEB，∴∠ABF＝∠DCF，
在△ABF和△DCF中，，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF；
（3）CE＝4．
理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，
∵EH∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BEH＝90°，
∴∠FEH＋∠CEB＝90°，
∵∠ABF＝∠CEB，∴∠BAF＝∠FEH，
∵∠EFG＝∠AFE，∴△EFG∽△AFE，
∴＝，即EF2＝AF•GF，
∵AF•GF＝28，∴EF＝2，
∴CE＝2EF＝4。