专题22 双曲线(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

x2 a2
y2 4
1 a
0 的中心为原点 O ，左、右
焦点分别为
F1 、
F2
，离心率为
35 5
，点
P
是直线
x
a2 3
上任意一点，点 Q
在双曲线
E
上，
且满足 PF2 QF2 0 .
（1）求实数 a 的值；
（2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；
（3）若点 P 的纵坐标为1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、N ，在线段
(2)是否存在直线 l，使得 l 与 M 交于 A，B 两点，且弦 AB 的中点为 P 4, 6 ？若存在，求 l
的斜率；若不存在，请说明理由.
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆 C : (x 2 3)2 y2 36 ，定点 M 2 3, 0 ，
折叠纸片 C 上的某一点 M1 恰好与点 M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 KQ ，设 折痕 KQ 与直线 M1C 的交点T .
专题 22 双曲线（解答题压轴题）
双曲线（解答题压轴题）
①双曲线的中点弦问题 ②双曲线中的最值问题 ③双曲线中定点、定值、定直线问题
④双曲线中向量问题 ⑤双曲线综合问题 ①双曲线的中点弦问题 1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线 C ： x2 2 py （ p 0 ）的焦点为 F ， P 为 C 上的动点，Q 为 P 在动直线 y t （ t 0 ）上的投影.当 △PQF 为等边三角形时，其面
曲线 C 的实轴长为 2，焦距为 2 3 ，且点 P（0，-1）到渐近线的距离为 3 . 3
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）若过点 P 的直线 l 分别交双曲线 C 的左、右两支于点 A、B，交双曲线 C 的两条渐近
线于点
D、E（D
在
y
轴左侧）.记 ODE
和 OAB
的面积分别为
S1 、
S2
，求
S1 S2
7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1 经过点（2，3），两条渐近线的
夹角为 60°，直线 l 交双曲线于 A、B 两点．
(1)求双曲线 C 的方程．
(2)若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A、B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率 kPA 、kPB 均存在．求
C：x a
2 2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 的渐近线方程为
y
3x ，
O 为坐标原点，点 M 5, 3 在双曲线上．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线
l
与双曲线交于
P、Q
两点，且
OP
OQ
0
，求
OP
2பைடு நூலகம்
OQ
2
的最小值．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 C 的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双
轴于点 P，是否存在实常数入，使得| MN | | PB | ，若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由.
2．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的离心率为
6 ，点 A6,4
2
在 C 上.
(1)求双曲线 C 的方程.
(2)设过点 B 1,0 的直线 l 与双曲线 C 交于 D, E 两点，问在 x 轴上是否存在定点 P ，使得
5．（2022·湖南师大附中高二期中）已知椭圆 C1
:
x2 4
y2
1与双曲线
C2
:
x2 a2
y2 b2
1 a
0, b
0 有共同的焦点 F1 ， F2 且双曲线的实轴长为 2
2.
（1）求双曲线 C2 的标准方程；
（2）若曲线 C1 与 C2 在第一象限的交点为 P ，求证： F1PF2 90 .
证： kPA kPB 为定值．
(3)若 l 过双曲线的右焦点 F1 ，是否存在 x 轴上的点 M（m，0），使得直线 l 绕点 F1 无论怎
样转动，都有 MA MB 0 成立？若存在，求实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
8．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知双曲线 C
:
x2 a2
(2)若双曲线 C 的两顶点分别为 A1 a, 0, A2 a, 0 ，过点 F2 的直线 l 与双曲线 C 交于 M ，N 两
点，试探究直线 A1M 与直线 A2 N 的交点 Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方
程；若不在，请说明理由.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 E :
若坐标原点 O 为线段 MN 的中点， PQ AB ，证明：存在定点 R ，使得 QR 为定值.
5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线 x m 与双曲线 C : x2 y2 m(m 0) 3
的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且三角形 OAB 的面积为 3 ． (1)求 m 的值； (2)已知直线 l 与 x 轴不垂直且斜率不为 0，l 与 C 交于两个不同的点 M，N，M 关于 x 轴的 对称点为 M ，F 为 C 的右焦点，若 M ，F，N 三点共线，证明：直线 l 经过 x 轴上的一个 定点．
x ,y 00
y0 1 在 C 的右支上，且 F1PF2 的平分
线与 x 轴､ y 轴分别交于点 M m,0 5 m 5 ､ N ，试比较 m 与 2 的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点 F1 ､ N 的直线 l 与 C 交于 D ､ E 两点，求 △F2DE 的面积最大 值.
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 与椭圆 x2 18
y2 14
1 有共同
的焦点，点 A 3, 7 在双曲线 C 上．
（1）求双曲线 C 的方程及渐近线方程； （2）以 P(1, 2) 为中点作双曲线 C 的一条弦 AB，求弦 AB 所在直线的方程．
3．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的焦点为 0, 3 、 0, 3 ，实轴长为 2 2 .
C：
x a
2 2
y2 b2
1a
0, b
0的
左、右焦点，点 A 为双曲线 C 的右顶点，已知 F2 A 3 5 ，且点 F2 到一条渐近线的距离
为 2.
(1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l ： y mx n 与双曲线 C 交于两点 M ， N ，直线 OM ， ON 的斜率分别记为 kOM ，
（3）过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线 C2 的右支相交于的 A ， B 两点，与椭圆 C1 交于 C ， D 两
点.记 AOB
， △COD
的面积分别为
S1
，
S2
，求
S1 S2
的最小值.
6．（2022·全国·高二期末）已知等轴双曲线 N 的顶点分别是椭圆 C : x2 y2 1 的左、右焦 62
(1)证明： TC | | TM 为定值，并求出点 T 的轨迹 C 的轨迹方程；
(2)若曲线 C 上一点 P ，点 A, B 分别为 l1 : y
3 3
x
在第一象限上的点与 l2
:
y
3 x 在第四 3
象限上的点，若
uuur AP
uur PB ,
1 3
,
2
，求
AOB
面积的取值范围.
2．（2022·全国·高二期中）已知双曲线
6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线 C : x2 y2 1 和点 B 0,1 .
(1)斜率为 k 且过原点的直线与双曲线 C 交于 E, F 两点，求 EBF 最小时 k 的值. (2)过点 B 的动直线与双曲线 C 交于 P,Q 两点，若曲线 C 上存在定点 A ，使 kAP kAQ 为定值 ， 求点 A 的坐标及实数 的值.
y2 b2
1(a
0, b
0) 过点 (2, 2) ，且离心
率为 3 ．
(1)求双曲线 C 的方程．
(2)设直线 l 是圆 O : x2 y2 4 上的动点 P x0, y0 x0 y0 0 处的切线，l 与双曲线 C 交于不同
的两点 A，B，证明：以 AB 为直径的圆过坐标原点．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 C : x2 y2 1． 4
1 kON ，且 kOM
1 kON
10 m
，求证：直线
l
过定点，并求出定点坐标.
12．（2022·全国·高二课时练习）设
F1,
F2
是双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0
的左､右两个焦
点， O 为坐标原点，若点 P 在双曲线 C 的右支上，且 OP OF1 2,PF1F2 的面积为 3.
(1)求双曲线 C 的渐近线方程；
k1k2
3 2
，求证：直线
AB
恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
4．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 的离心率为
2，
点 P 3, 1 在双曲线 C 上.
(1)求双曲线 C 的方程； (2)点 A ， B 在双曲线 C 上，直线 PA ， PB 与 y 轴分别相交于 M , N 两点，点 Q 在直线 AB 上，
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）过点 Q 1,1 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，且 Q 恰好为线段 MN 的中点，求直线 l
的方程.
4．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知双曲线 M 与椭圆 N : x2 y 2 1 有相同的焦 5
点，且 M 与圆 C : x2 y 2 1 相切． (1)求 M 的虚轴长．
PD PE 为常数？若存在，求出点 P 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
3．（2022·湖南永州·一模）点
P(4, 3)
在双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 上，离心率 e
7. 2
(1)求双曲线 C 的方程；
(2) A, B 是双曲线 C 上的两个动点（异于点 P ）， k1, k2 分别表示直线 PA, PB 的斜率，满足
顶点为 A ， P ， Q 是双曲线上除顶点以外的任意两点， M 为 PQ 的中点．
(1)设直线 PQ 与直线 OM 的斜率分别为 k1 ， k2 ，求 k1 k2 的值．
(2)若
AM PQ
1 ，证明：直线 PQ 过定点，并求出定点的坐标．
2
11．（2022·广东汕尾·高二期末）已知点 F1 ， F2 分别为双曲线
的取值范围.
4．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2 y2 1 的右焦点为双曲
27 23
线C：
x2 a2
y2 b2
1
a
0, b
0 的右顶点，直线 x 2 y 1
0 与 C 的一条渐近线平行.
（1）求 C 的方程；
（2）如图，F1 ､ F2 为 C 的左右焦点，动点 P
点 F1 、 F2 .
（1）求等轴双曲线 N 的方程；
（2）Q
为该双曲线
N
上异于顶点的任意一点，直线
QF 1
和
QF2
与椭圆
C
的交点分别为
E
，F
和 G ， H ，求 EF 4 GH 的最小值.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为
，
离心率
．
（Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如图，点 A 的坐标为 ( 5, 0) ， B 是圆 x2 ( y 5)2 1上的点，点 M 在双曲线右支 上，求 MA MB 的最小值，并求此时 M 点的坐标
(1)求双曲线 C 的离心率； (2)若直线 l : y kx m 与双曲线 C 相交于 A，B 两点（A，B 均异于左、右顶点），且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
10．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : x2 y2 1 的右 42
③双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆 A： x2 y2 6x 5 0 ，直线 l（与 x 轴不重合）过 点 B(3, 0) 交圆 A 于 C、D 两点，过点 B 作直线 AC 的平行线交直线 DA 于点 E. (1)证明|| EB | | EA || 为定值，并求点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹方程为 C1 ，直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 x
积为 4 3 . (1)求 C 的方程； (2)设 O 为原点，过点 P 的直线 l 与 C 相切，且与椭圆 x2 y2 1交于 A ，B 两点，直线 OQ 与
42 AB 交于点 M .试问：是否存在 t ，使得 M 为 AB 的中点？若存在，求 t 的值；若不存在，请 说明理由.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线 C