三角函数的积化和差与和差化积

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ1
sinα-β=sinαcosβ-cosαsingβ2
cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ3
cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ4 请同学们注意观察这四个公式,考虑一下能否利用 这些公式得出一些新关系来． 把1式与2式相加可得 sinα+β+sinα-β=αsinαcosβ． 把1式与2式相减可得 sinα+β-sinα-β=αcosαsinβ． 3、4两式作类似的加、减还可以得到：
三角函数的恒等变换,由于三角公式较多、用起来也较 活,所以应当掌握变形的一般规律,而一般规律的获 得主要靠自己的实践以及理性上的升华.通过一个阶 段的学习与练习,应是有一定体会的．一般说三角变 换问题,首先要关注问题中的角,特别是角的和、差、 倍、半关系,当然这些关系也不是一成不变的,如适 当时候,我们也可以把α看作是
进行到此,本题的化简能进行下去吗 可试着使用正弦函数的倍角公式化简．
2cos36°sin18°
2
和差化积公式的左边全是同名函数的和或 差,只有负数绝对值相同的同名函数的和与 差才能直接运用公式化成积的形式,如果是 一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导 公式化成同名函数后,再运用积化和差公式 化成积的形式．
练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值, 2．求cos37.5°·cos22.5°的值,
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50° 2． cos37.5°·cos22.5°
而sin20°·sin40°·sin80°
三角函数的和差化积
我们知道,每个数学公式都有两方面的应用,即正用 与逆用．积化和差公式也不例外,那么,积化和差公 式的逆用应怎么称呼呢 应称为三角函数的和差化积公式． 由三角函数的积化和差公式的逆用,我们可得以下 几个公式： sinα+β+sinα-β=2sinαcosβ； sinα+β-sinα-β=2cosαsinβ； cosα+β+cosα-β=2cosαcosβ； cosα+β-cosα-β=-2sinαsinβ． 为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能 方便地记忆,可作如下的换元：
无论是和差化积还是积化和差中的和差与 积,都是指得三角函数间的关系,并不是角 的关系,这是必须十分清楚的． 三角函数的和差化积所要求的最后结果,只 要是三角函数的积的形式就可以了,不求形 式上的一致．
习题
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容,这 一节从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐 步深入,学习的进程高潮迭起,特别是从和、差、倍、 半角的三角函数直到三角函数的和差化积与积化 和差,既充分揭示了三角函数的内在关系,且每组公 式又都有它自身的使用范围,另外三角函数这块内 容又是学习其他数学分支的重要工具,在函数研究、 立体几何、代数及解析几何中都有广泛的应用,学 好三角函数是学好其他数学分支的重要基础．由 于三角公式相当多,所以记忆和应用就显得十分重 要,安排两节习题课的目的,就是希望通过练习及比 较,能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方法．
cosα+β+cosα-β=2cosαcosβ, cosα+β- cos α-β=-2sinαsinβ． 若把这四个关系式整理一下,即可得到
以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式 转化为三角函数的和、差的形式,我们把上述公式 称为三角函数的积化和差公式．
积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式 积的形式转化为另一种形式和差的形式,这种转化 可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决 的问题,它们在三角式的变换中有很重要的作用．
三 方法
数学学习中,处处充满辩证法,和差化积与 积化和差看似是一对矛盾,但它们又处在 对立统一体中,这些公式中,从左到右为积 化和差,而从右到左则成为和差化积．在 实际应用,他们又是相辅相成的.
三角函数的积化和差
一复习和、差角的正弦与余弦公式
sinα+β=nαcosβ+cosαsinβ sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ
说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为 低降次,化复合角为单角和差角公式,化切割为弦,化大角为 小角,和差化积,积化和差.
所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的,主要是证 明了两角和的余弦函数公式．之后,利用换元法以及诱导 公式,同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来,他 们相互之间是有紧密关系的． 和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式,它 们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是,光 是这些关系还不足以解决问题,今天我们还要进一步把握 它们的内在联系,寻求新的关系式． 二新课 正、余弦的和差角公式
=4cosA+BcosAcosC-1 =-1-4cosAcosBcosC． 2. 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值． 分析：本题有两个平方式,遇到三角函数的平方式包含三次,四次式 等,常利用余弦的倍角公式作降次处理．
当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差． 作了如下处理后,即成为三角函数一次式的和差了,自然做 和差化积．
这样我们就得到如下的三角函数的和差化积公式
和差化积公式与积化和差公式相反,它可以把三角函数的 和差的形式转化为积的形式,从而获得问题的解决．
例1 求sin42°-cos12°+sin54°的值． 分析：这是三角中常遇到的问题,由于原题是三个三角 函数的和差形式,自然想到要使用和差化积公式,由于 上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°,因
而一般做法是将这二个函数做和差化积但本题若采用 此法则无后续手段,问题的解决将十分困难．应该说这 种思考的方向是正确的,但我们不是为和差化积而和差 化积,而是为问题的解决而和差化积的,一般地说出现 多个三角函数的和差时,应选择能出现特殊角的一组进 行．鉴于此,本题应采取下面的解法． 解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°．
1．△ABC中,求证cos2A+cos2B+cos2C= -1-4cosAcosBcosC． 证明：∵A、B、C为△ABC的三内角． ∴A+B+C=π,即C=π-A+B． ∴原式左边=2cosA+BcosA-B+2cos2C-1
=2cosA+BcosA-B+2cos2A+B-1
=2cosA+BcosA+B+cosA-B-1
3．3 三角函数的积化和 差与和差化积
一知识点 1．三角函数的积化和差．
2．三角函数的和差化积．
二能力
1．三角函数的积化和差与和差化积,这两 种互化,对于求三角函数的值、化商三角 函数式及三角函数式的恒等变形,都有重 要的作用,它们的作用和地位在三角函数 值的变形中是十分重要的．
2．积化和差与和差化积公式的推导过程 本身也运用了许多重要的教学思想和方法, 在课堂教学中应作为重要一环给予足够的 重视．