大学物理 高斯定理环路定理

对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
1 E dS ε0
第10章 静电场
n
Φe

S

qi
in
i 1
6
轴对称性电场
例10.8 P17 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为 + 求 电场强度分布。
解 电场分布具有轴对称性
第10章 静电场
7
解
电场分布具有轴对称性 ，以高为l 的同轴圆柱面为高斯面，电通量 e E dS
ADC
B
D
C
E
q0 ( E dl
ABC
E dl ) 0
CDA
A
结论：沿闭合路径一周， 静电场是保守场！ 电场力作功为零.

E dl 0
l
在静电场中电场强度的 环流为零。
第10章 静电场
20
练习 试用静电场的环路定理证明，电场线 为一系列不均匀分布 的平行直线的静电场 不存在.
第10章 静电场
q0
q
rA
A
18
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E

i
Ei
A q0 E dl
l
q
0 i
l
Ei dl
结论：静电场力做功，与路径无关.
第10章 静电场
19
二
q0
静电场的环路定理
E dl q0
ABC
E dl
dA qq 0 4 πε0r
2
电势能
B
dr
dl
rB
r
er
E
dr
q
q0
rA
A
第10章 静电场
17
dA
qq 0 4 πε0r
qq 0 4 πε0
2
dr
dr r
2
A

rB
B
dr
dl
rA

qq 0 4 πε0
(
1 rA

1 rB
)
rB
r
er
E
结论: A仅与q0的始末位置 有关，与路径无关. 静电场是保守场！
E
穿出、穿入闭
合面电力线条
en
S
数之差
第10章 静电场
1
三
高斯定理
在点电荷q的电场中，通过求电通量导出. 库仑定律 电场强度叠加原理 高斯 定理
1 高斯定理的导出
第10章 静电场
2
高斯 (C.F.Gauss 17771855） 德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
第10章 静电场
23

令
AB
q 0 E d l W A W B (W B W A )
WB 0
WA

AB
q0 E dl
A
WA
B WB
E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场 力所作的功.
第10章 静电场
24
• 球外( r > R )
E
E 1 r
2
• 球内 ( r < R )
O
R
r
12
第10章 静电场
例10.10
“无强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S
两个底面对称 根据高斯定理
第10章 静电场
13
E
σ 2ε0
σ
E E E
in
i 1
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有(内、外)电荷的总电 场强度.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负. q 2 out (4) 仅面内电荷对电通量有贡献. (5) 静电场：有源场.
q 1 out
第10章 静电场
q内
q外
q 3 out
5
q2
qi
q1
四
高斯定理应用（重点）
用高斯定理求电场强度的一般步骤为
总
理解决问题;
结
要求：1.理解高斯定理。熟练应用高斯定
2理解环路定理，掌握电势能的概念 作业: P30, 31 P32(§10.4部分)
第10章 静电场
25
E dS
侧
dS
r
E
S
E dS
E dS
E
l
dS
上底
下底

EdS E dS E 2πrl
侧 侧
根据高斯定理
E
E 2πrl l / 0

2 π 0 r
E
r
推广： 无限长均匀带电圆柱面 高斯面：圆柱面
第10章 静电场
S
R
O
r
Q
10
(2) r R
E Q
Q 2 E dS E 4r S 2 ε0
2
4 πε0r
Q 4 π 0 R
2
E
Q 4 πε0r
2
r
O
Q
o
R
r
第10章 静电场
s
11
讨论
均匀带电球体
r + +r + + + + + R + +
沿球面法线方向。 取同心 球面为高斯面，电通量为
l d E2 c
E1 E 2
但
E1 E 2 ,
故此类静电场不存在.
第10章 静电场
22
类比重力势能
三
电势能
B WB A
WA
静电场是保守场， 静电场力是保守力. 静电场力所做的功就 等于电荷电势能增量 的负值.
E
A AB W A W B (W B W A )
电场力做正功，电势能减少.
E
第10章 静电场
21
证明 作如图闭合环路

E dl
l


E dl

E dl
ab
cd

E dl

E dl E dl

E dl
bc
a
E1
l
b
E
da
ab

cd
E 1l E 2 l 0
E 2 0 r 0 rR rR
E
h
r
o
y
x
第10章 静电场
9
例10.9 P17 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度. 解 对称性分析：球对称
高斯面：闭合球面
(1) 0 r R
S E d S 0 E 0
σ
E
第10章 静电场
14
E
σ 2ε0
无限大带电平面的电场叠加问题


σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
第10章 静电场
15
典型结论
均匀带电球面
0 q E 4 0 r 2
r R r R
无限长均匀带电直线
E

2 0 r
无限长均匀带电圆柱面
复
1 电场强度
E F q0
习
E 1 ρer
2
电荷连续分布的电场
2 电场线：方向，密度

V
4 πε0 r
dV
E dN dS
3 电场强度通量 Φ e d Φ e
en

E dS
S
穿入为负
闭合曲面法线：外法线方向(自内向外) 为正
θ
穿出为正
E
θ
0 E 2 0 r
E
rR rR

2 0
无限大均匀带电平面
第10章 静电场
16
10.4 静电场的环路定理
一 静电场力所做的功 点电荷的电场
dA q0 E dl qq 0 er dl 2 4 πε0r e r d l d l cos θ d r
高
斯
第10章 静电场
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 ε 0 .
1 E dS ε0
n
Φe

S

qi
in
i 1
第10章 静电场
4
Φe

S
3 高斯定理的讨论
1 E dS ε0

n
qi