2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评19 Word版含解析
高中数学 2.5夹角的计算 北师大版选修2-1
6.直线与平面的夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与 此平面的夹角.夹角的范围是[0,π2].
7.直线与平面夹角的求法
设平面 α 的法向量为 n,直线 l 的方向向量为 a,直线 l 与平
面 α 所成的角为 θ. 当 0≤〈n,a〉≤π2时,θ=_π2_-__〈__n_,__a_〉__; 当π2<〈n,a〉≤π 时,θ=_〈__n_,__a_〉__-__π2_. 即 sinθ=__|c_o_s_〈__n_,__a_〉_.|
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1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于
120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120°
B.60°
C.30°
D.以上均错
[答案] C
2.若直线 l 与平面 α 所成角为π3,直线 a 在平面 α 内,且与
直线 l 异面,则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是( )
cos∠BOD=
232+ 2×
232-
23×
3 2
262=0,
∴∠BOD=90°,即 AB1 与 BC1 所成的角为 90°.
[总结反思] (1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序 化,即建坐标系,设点,求向量,考查数量积.
4.由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因 此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围 是[0,π],有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能 仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难 点.
5.异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角 或直角,而向量夹角的范围为[0,π].所以从范围上讲,这两 个角并不一致,但却有着相等或互补的关系,所以它们的余弦 值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外).
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(有答案解析)(2)
一、选择题1.如图,过抛物线22y px =(0p >)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若2BC BF =,且6AF =,则此抛物线方程为( )A .29y x =B .26y x =C .23y x =D .23y x =2.已知离心率5e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1,则实数a 的值为( )A .1B 2C .2D .43.已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2,则点M 的纵坐标是( ) A .0B .12C .1D .24.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ,斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ,B 两点,且2ABF 的内切圆的面积是π,若椭圆C 离心率的取值范围为22[,,则线段AB 的长度的取值范围是( ) A .[2,22]B .[1 , 2]C .[4 8],D .[42,82]5.人们已经证明,抛物线有一条重要性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =,若入射光线FP 的斜率为43,则抛物线方程为 ( ) A .28y x =B .26y x =C .24y x =D .22y x =6.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ,Q 两点,若1F PQ 为等边三角形,则椭圆的离心率是( )A .22B 2C 3D 37.已知抛物线22y px =(0p >)的焦点F 到准线的距离为2,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,则点A 到y 轴的距离为( ) A .5B .4C .3D .28.椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 1,y 1),Q (-x 1,-y 1)在椭圆C 上,其中x 1>0,y 1>0,若|PQ |=2|OF 2|,11||3||3QF PF ≥,则离心率的取值范围为( ) A .610,2⎛⎤- ⎥⎝⎦B .(0,62]-C .2,312⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D .(0,31]-9.如图所示,12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点,点P 在椭圆上,2POF 的面积为3的正三角形,则2b 的值为( )A 3B .23C .33D .4310.已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ,过原点的直线与双曲线C 交于A ,B 两点,若260AF B ∠=︒,2ABF 23a ,则双曲线的渐近线方程为( ) A .12y x =±B .2y x =±C .33y x =±D .3y x =±11.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ,离心率22,过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,若AB 中点为(1,1),则直线l 的斜率为( )A .2B .2-C .12-D .1212.已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>,过点()4,0的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-,则椭圆E 的离心率为( )A .12B .32C .13D .233二、填空题13.若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切,则实数m 的值是__________.14.已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 的直线与双曲线的左支交于A ,B 两点,若∠260AF B =︒,则2AF B 的内切圆半径为______.15.设A 是双曲线()22210x y a a-=>上在第一象限内的点,F 为其右焦点,点A 关于原点O 的对称点为B ,若AF BF ⊥,设ABF θ∠=,且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则2a 的取值范围是______.16.直线l 经过抛物线C :212y x =的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,弦AB 的长为16,则直线l 的倾斜角等于__________.17.已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m =______.18.过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ,B 两点,若||||OF OA =,则椭圆C 的离心率为________.19.在平面直角坐标系xOy 中,若直线2y x =与椭圆()222210x ya b a b+=>>在第一象限内交于点P ,且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ,则椭圆的离心率是______.20.已知双曲线的方程为221916x y -=,点12,F F 是其左右焦点,A 是圆22(6)4x y +-=上的一点,点M 在双曲线的右支上,则1||||MF MA +的最小值是__________.三、解答题21.在直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ,右焦点为F ,原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . (1)求椭圆C 的离心率;(2)设直线l 与圆222x y b +=相切,且与C 交于M ,N 两点,若||MN 的最大值为2,求椭圆C 的方程.22.已知A ,B 分别是双曲线22:14y E x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点()2,0N ,且与双曲线E 交于C ,D 两点. (1)若3CN ND =,求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.23.已知圆22:12O x y +=,P 为圆O 上的动点,点M 在x 轴上,且M 与P 的横坐标相等,且()21PN NM =-,点N 的轨迹记为C .(1)求C 的方程;(2)设()2,2A ,()4,0B ,过B 的直线(斜率不为±1)与C 交于,D E 两点,试问直线AD 与AE 的斜率之和∑是否为定值?若是,求出该定值;若不是,求∑的取值范围. 24.椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ,经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交于A B ,两点. 求(1)线段AB 的长; (2)2ABF 的面积.25.已知圆22:1O x y +=切线l 与椭圆22:34C x y +=相交于A 、B 两点. (1)求椭圆C 的离心率; (2)求证:OA OB ⊥.26.已知椭圆C :22221x y a b += (0a b >>)的离心率为2,(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ∆的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为2的直线与椭圆交于P 、Q 两点OP OQ ⊥,求直线l 的方程;【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】分别过A ,B 作准线的垂线,交准线于E ,D ,设|BF |=a ,运用抛物线的定义和直角三角形的性质,求得p ,可得所求抛物线的方程. 【详解】如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设BF a =, 则由已知得2BC a =,由抛物线定义得BD a =,故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中,因为6AE AF ==,63AC a =+,2AE AC =, 所以6312a +=,得2a =,36FC a ==,所以132p FG FC ===, 因此抛物线方程为26y x =. 故选:B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及直角三角形的性质,考查方程思想和数形结合思想,属于中档题.2.C解析:C 【解析】双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ,A 两点,所以FA OA ⊥,则FA b =,OA a =,AOF ∆的面积为1, 可得1 12ab =,双曲线的离心率5e =222225 4c a b a a +==, 即12b a=,解得1b =,2a =,故选C. 点睛:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用,双曲线的简单性质,考查了计算能力;利用双曲线的离心率求出渐近线方程,利用三角形中直径所对的圆周角为直角,可求得直角三角形AOF ∆的面积1 12ab =,结合离心率以及恒等式222c a b =+即可得到关于,,a b c 方程组求出a 即可;3.C解析:C 【解析】试题分析:先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程,进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等,进而推断出y p +1=2,求得y p . 解:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=﹣1, 根据抛物线定义, ∴y p +1=2, 解得y p =1. 故选C .考点:抛物线的简单性质.4.C解析:C 【分析】 由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSSAB =+=,2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=,即可得出22aAB c=⋅,再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ,半径为r ,则2r ππ=,解得1r =,21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222cAB a ∴=,22a AB c ∴=⋅,2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,,2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦,则[]224,8ac⋅∈,即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选:C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围,解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积,得出2aAB c=可求解. 5.D解析:D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标,设出P 点坐标,由性质求出P 点坐标,表示出FP 的斜率,解出p ,即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,且FP 的斜率为43,有204232p p -=-解得:1p =故抛物线方程为:22y x = 故选:D 【点睛】抛物线方程中,字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离,2p等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.6.D解析:D 【分析】利用1F PQ 为等边三角形可得21222b PF PF a==,利用椭圆定义得,,a b c 的方程,消去b 后可得()22232a c a -=,从而可得离心率.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>,半焦距为c ,左右焦点为12,F F ,设P 在第一象限,则()2,0F c .令x c =,则22221c y a b +=,解得2P b y a =,故22bPF a=,1F PQ 为等边三角形,则1PF PQ =,即21222b PF PF a==,由椭圆定义得122PF PF a +=,故232b a a⨯=,即()22232a c a -=,故213e =,解得e =故选:D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系.而离心率的取值范围,则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组.7.C解析:C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立,得出12x x ,再由焦半径公式表示出3AF FB =,得到1232x x =+,结合这两个关系式可求解13x = 【详解】已知焦点F 到准线的距离为2,得2p =, 可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ,:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得:2440y my --=124y y ∴=-,()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =,()12131x x ∴+=+,1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选:C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下:抛物线()220y px p =>的焦点为F ,()11,A x y 为抛物线上的一点,则12pAF x =+,解题时可灵活运用,减少计算难度.8.C解析:C 【分析】根据2||2PQ OF =,可得四边形12PFQF 为矩形,设12,PFn PF m ==,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析18m t n m=+的取值范围,进而求得()2224232c a c <≤-,再求离心率的范围即可 【详解】设12,PF n PF m ==,由210,0x y >>,知m n <,因为()()1111,,,P x y Q x y --,在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以,四边形12PFQF 为矩形,12=QF PF ;由11QF PF ≥1mn≤<, 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①; 平方相减可得()222mn a c=-②;由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-; 令=+m nt n m,令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以,1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦, 即()222422c a c <≤-,所以,()222223a c c a c -<≤-,所以,()22211e e e-<≤-,所以,2142e <≤-1e <≤ 故选:C 【点睛】关键点睛:解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率, 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①; 平方相减可得()222mn a c=-②;由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-,然后利用换元法得出()22211e e e -<≤-,进而求解 属于中档题9.B解析:B 【分析】由2POF2=.c把(P 代入椭圆方程可得:22131a b+=,与224a b =+联立解得即可得出. 【详解】 解:2POF24∴= 解得2c =.(P ∴代入椭圆方程可得:22131a b+=,与224a b =+联立解得:2b = 故选B . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.D解析:D 【分析】结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程,化简求得ba,进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ,根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形, 由于260AF B ∠=︒,所以12120F AF ∠=︒,212ABF AF F SS=,12AF BF =,设12,AF n AF m ==,结合双曲线的定义有2m n a -=,所以()2222222cos1201sin1202m n a c m n mn mn ⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩,即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩,由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=, 所以22416,2c a c a ==,而222c a b =+,所以2224,ba ab a=+=所以双曲线的渐近线方程为y =. 故选:D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于中档题.11.C解析:C 【分析】先根据已知得到222a b =,再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】 由题得2222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ,由题得1212+=2+=2x x y y ,,所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩, 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=, 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=, 所以221212()240()y y b bx x -+=-,所以1120,2k k +=∴=-. 故选:C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算,考查直线和椭圆的位置关系和点差法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.12.B解析:B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程,利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=,然后根据AB 中点坐标为()2,1-,求出斜率代入上式,得到a ,b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减得:22221212220x x y y a b--+=, 因为AB 中点坐标为()2,1-, 所以12124,2x x y y +=+=-,所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+, 又1212011422AB y y k x x -+===--, 所以22212b a =,即2a b =,所以c e a ===, 故选:B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程,点差法的应用以及离心率的求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.二、填空题13.8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析:8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =14.【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知:可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切 解析:433【分析】设内切圆的圆心M ,设2AF B 三边与内切圆的切点,连接切点与圆心M 的线段,由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-,再由双曲线定义可知:21212AF AF BF BF a -=-=,可得Q ,1F 重合,再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ,设圆M 与三角形的边分别切于T ,Q ,S ,如图所示 连接MS ,MT ,MQ ,由内切圆的性质可得:22F T F S =,AT AQ =,BS BQ =,所以222AF AQ AF AT F T -=-=,222BF BQ BF BS F S -=-=, 所以22AF AQ BF BQ -=-,由双曲线的定义可知:21212AF AF BF BF a -=-=,所以可得Q ,1F 重合, 所以224TF a ==,所以圆的半径为2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故答案为:433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用,熟记双曲线的定义即可,属于常考题型.15.【分析】设双曲线的左焦点为设则由已知条件可得进而得从而得而所以可得再由可求得结果【详解】设双曲线的左焦点为设则因为点关于原点的对称点为且所以所以所以即所以因为所以所以因为所以所以所以所以所以故答案为解析:1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设双曲线的左焦点为'F ,设',AF m AF n ==,则2n m a -=,由已知条件可得2224m n c +=,进而得2222()21mn c a b =-==,从而得12AOFS =,而21sin 22AOFSc θ=,所以可得211sin 2a θ=-,再由,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得结果 【详解】设双曲线的左焦点为'F ,设',AF m AF n ==,则2n m a -=,因为点A 关于原点O 的对称点为B ,且AF BF ⊥,ABF θ∠=所以'OA OB OF OF c =====2AOF θ∠=所以2224m n c +=,所以22()24m n mn c -+=,即2222()21mn c a b =-==, 所以12AOFS =, 因为21sin 22AOFSc θ=,所以21sin 2c θ=, 所以211sin 2a θ=-, 因为,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以632,ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1sin 22θ≤≤12sin 2θ≤≤,1111sin 2θ≤-≤211a -≤≤,故答案为:1,1⎤-⎥⎣⎦【点睛】此题考查双曲线定义的应用,考查三角形面积公式的应用,考查了三角函数,属于中档题16.或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为:或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析:3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ,设直线AB 方程为(3)y k x =-,利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k .【详解】 由题意6p,抛物线的焦点为(3,0)F , 16AB =,则AB 的斜率存在,设1122(,),(,)A x y B x y ,设直线AB 方程为(3)y k x =-,由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=,所以21226(2)k x x k ++=, 所以12616AB x x =++=,21226(2)10k x x k++==,k =, 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π.故答案为:3π或23π. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题,解题方法是设而不求思想方法,解题关键是掌握焦点弦长公式.17.【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析:1-4【分析】化双曲线方程为标准方程,求得,a b 的值,依题意列方程,解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-,故1,a b == 依题意可知2b a =2=,解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程,考查双曲线的虚轴和实轴,考查运算求解能力,属于基础题.18.【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为: 解析:53【分析】作出示意图,记右焦点2F ,根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度,再根据2AFF 的形状列出对应的等式,即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示,AF 的中点为M ,右焦点为2F ,连接2,MO AF ,所以2//MO AF , 因为OA OF=,所以OM AF ⊥,所以2AFAF ⊥,又因为12AF k =,所以212AF AF =且22AF AF a +=,所以242,33a aAF AF ==,又因为22222AF AF FF +=,所以222164499a a c +=,所以2259c a =,所以53e =. 故答案为:53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时,注意借助几何图形的性质完成求解;(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.19.【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解:以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得(负的舍去)故答案为:【点睛】本题考查椭圆的21. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴,求得P 的坐标,由P 在直线2y x =上,结合离心率公式,解方程可得所求值. 【详解】解:以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ,可得PF x ⊥轴,令x c =,可得2221c b y b a a=±-=±,不妨设2(,)b P c a ,由2(,)b P c a 在直线2y x =上,可得22b c a=, 即为2222a c b ac -==,由ce a=可得2210e e +-=,解得21e =-(负的舍去). 故答案为: 21-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质,考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是,根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程,由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系,进而求解离心率.20.【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解:由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为:【点睛】本题主要考查双曲线的 解析:4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6),利用双曲线的定义,可得12||||26MF MF a -==,于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-,转化求解即可.【详解】解:由题意可得,291625c =+=,即5c =,则1F ,2F 的坐标分别为(5,0)-,(5,0),由双曲线的定义,得12||||26MF MF a -==,又A 是圆22(6)4x y +-=上的点,圆的圆心为(0,6)C ,半径为2, 由图可知,22||||||CM MF CF +≥,12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为:4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键,属于中档题.三、解答题21.(1) 2; (2) 2214x y +=【分析】(1)根据条件在OBF 中,由等面积法可得点O 到直线BF 的距离,从而建立方程求出,a b 关系,得出离心率.(2) 设:l x my n =+,与椭圆方程联立写出韦达定理,由弦长公式得到弦长,求出其最值,根据条件得到答案. 【详解】(1)由条件可得()0,B b ,(),0F c ,设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中,有BF a ==,则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==,所以12b a =所以e ==== (2)由直线l 与圆222x y b +=相切,且与C 交于M ,N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+,所以b =,所以()2221n b m =+由(1)可得224a b =,则椭圆方程化为:22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ,由22244x my nx y b =+⎧⎨+=⎩,得()22224240m y mny n b +++-=所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥,则221m t =-所以2AB b t t=≤+,当且仅当t =m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2,则22b =,所以1b =所以当||MN 的最大值为2时,椭圆方程为:2214xy +=【点睛】关键点睛:本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程,解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥,利用换元利用均值不等式求出其最值,属于中档题.22.(1)0y --=或0y +-=;(2)证明见解析. 【分析】(1)设直线l 的方程为2x my =+并联立双曲线根据韦达定理可得1y 与2y 关系,结合3CN ND =可得123y y =-,从而求得m 值得直线方程;(2)列出直线AC 与BD 方程,并求点P 坐标得12P x =,故得证. 【详解】解:设直线l 的方程为2x my =+,设()11,C x y ,()22,D x y ,把直线l 与双曲线E联立方程组,22214x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,可得()224116120m y my -++=,则1212221612,4141m y y y y m m +=-=--, (1)()112,CN x y =--,()222,ND x y =-,由3CN ND =,可得123y y =-, 即22841m y m =-①,22212341y m -=-②, 把①式代入②式,可得22281234141m m m ⎛⎫-= ⎪--⎝⎭,解得2120m =,m =, 即直线l的方程为0y --=或0y +-=. (2)直线AC 的方程为()1111y y x x =++,直线BD 的方程为()2211y y x x =--,直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111y x x ++()2211y x x =--,即()1113y x my ++()2211yx my =-+,进而得到122121311my y y x x my y y ++=-+,又()121234my y y y =-+,故()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y -++-++===----++,解得12x = 故点P 在定直线12x =上.【点晴】方法点晴:直线与圆锥曲线综合问题,通常采用设而不求,结合韦达定理求解.23.(1)221126x y +=;(2)不是定值;()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)设(),N xy ,()00,P x y ,利用()21PN NM =-,根据向量的坐标运算可得00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩,代入圆O 方程可得C 的方程; (2)设()():41DE y k x k =-≠±,()11,D x y ,()22,E x y ,将DE 方程代入椭圆方程可得韦达定理的形式,利用0∆>可得k 的取值范围,将AD AE k k +整理为121kk --,根据k 的范围可求得∑的取值范围. 【详解】(1)设(),N x y ,()00,P x y ,则()0,0M x ,()21PN NM =-,2PM PN NM NM ∴=+=,又()00,PM y =-,()0,NM x xy =--,由2PM NM =得:))00x x y y -=-=-,则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,点P 在圆22:12O x y +=上,)2212x ∴+=,即221126x y +=, C ∴的方程为221126x y +=.(2)依题意,设()11,D x y ,()22,E x y ,过点B 的直线DE 斜率必存在, 可设直线DE 的方程为()()41y k x k =-≠±,由()2241126y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得:()2222211632120k x k x k +-+-=,其中()()()4222256421321216320k k k k ∆=-+-=->,解得:k <<,()611,11,2k ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,21221621k x x k ∴+=+,2122321221k x x k -=+,()()121212124242222222AD AE k x k x y y k k x x x x ------∴+=+=+----()()()()121222122122k x k k x k x x --+--+=+--()121122122k k x x ⎛⎫=-++ ⎪--⎝⎭()()()121212422124x x k k x x x x +-=-+⋅-++()22222216421221321216242121k k k k k k k k -+=-+⋅--⋅+++()()2221642112221881k k k k k k k -+-=-+⋅=--. ()66,11,11,22k ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()121332,464,,1122k k k -⎛⎫⎛⎫∴=--∈-∞---+∞ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, AD AE k k ∴+不是定值,且∑的取值范围是()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 思路点睛:本题考查直线与椭圆综合应用中的定值、取值范围问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:①假设直线方程,与椭圆方程联立,整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式; ②利用0∆>求得变量的取值范围,得到韦达定理的形式;③利用韦达定理表示出所求量,将所求量转化为关于变量的函数的形式;④化简所得函数式,消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围.24.(1)7;(2 【分析】(1)求出椭圆的左焦点1(1,0)F -,根据点斜率式可得AB 的方程,直线方程与椭圆方程消去y ,利用根与系数的关系,根据弦长公式即可算出弦AB 的长;(2)利用点到直线的距离公式求出三角形的高,结合(1)的结论,再利用三角形面积公式可得答案.【详解】 椭圆方程为2212x y +=,∴焦点分别为1(1,0)F -,2(1,0)F ,直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒,∴直线AB的方程为1)y x =+,将AB 方程与椭圆方程消去y ,得271240x x ++=设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,可得12127x x +=-,1247x x =12||x x ∴-=因此,12||||AB x x =-=. (2)2F (1,0)到直线AB 的距离为:d ==212ABF S AB d == 【点睛】求曲线弦长的方法:(1)利用弦长公式12l x =-;(2)利用12l y y =-;(3)如果交点坐标可以求出,利用两点间距离公式求解即可. 25.(12)证明见解析. 【分析】(1)将椭圆C 的方程化为标准方程,求出a 、c ,进而可求得椭圆C 的离心率; (2)对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论,在直线l 的斜率不存在时,求出A 、B 两点的坐标,计算出0OA OB ⋅=;在直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+,利用直线l 与圆O 相切可得出221m k =+,并将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,列出韦达定理,利用平面向量的数量积并结合韦达定理计算得出0OA OB ⋅=.综合可证得结论成立.【详解】(1)将椭圆C 方程化为标准形式221443x y +=, 24a ∴=,243b =,22248433c b a =-=-=,则2a =,c =,因此,椭圆C的离心率为323c e a ===; (2)若切线l 的斜率不存在,即直线l 的方程为1x =±,联立椭圆C 的方程可解得:()1,1A 、()1,1B -或者()1,1A -、()1,1B --.此时0OA OB ⋅=,即OA OB ⊥成立;若切线l 的斜率存在,设其方程为y kx m =+,设点()11,A x y 、()22,B x y ,直线l 与圆22:1O x y +=相切,则1=,化简得221k m +=,联立2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得到()222316340k x kmx m +++-=, 由韦达定理可得122631km x x k +=-+,21223431m x x k -=-+, ∴()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++, ()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++, 将122631km x x k +=-+,21223431m x x k -=-+代入上式得: ()222222234613131m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++, 又∵221k m +=,所以()2222424242222223463466320032323232m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=-+===----, OA OB ∴⊥.综上所述,OA OB ⊥一定成立.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,必要时计算∆; (3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式;(5)代入韦达定理求解.26.(1)2214x y +=;(2)220x y -±=. 【分析】(1)根据条件建立关于,,a b c 的方程,解椭圆C 的方程;(2)法一:设直线2y x m=+与椭圆方程联立,利用根与系数的关系表示12120x x y y +=,求m 的值;法二:设直线l的方程为2y x t =+,联立方程后,构造22224x y x y t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再转化为关于y x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求t .【详解】(1)由已知,112c ab a ==, 又222a b c =+,解得2,1,a b c ===,∴椭圆的方程为2214x y +=. (2)法一:设1122(,),(,)P x y Q x y ,PQ 方程为2y x m =+,与椭圆方程联立,得 221716440x mx m ++-=, 所以212121644,1717m m x x x x -+=-= ∵OP OQ ⊥,∴12120x x y y +=即2121252()0x x m x x m +++=,解得2m =±∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=. 法二:设直线l 的方程为2y x t =+,则由22142x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得22224x y x y t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 即()()2224416160y y t t x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵OP OQ ⊥,∴2221614244t t t t -=-⇒=⇒=±- ∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=. 【点睛】方法点睛:求直线方程常用待定系数法,先定式,后定量.先定式,指的是根据已知从直线的5种形式里选择恰当的一种作为直线的方程,再通过联立直线与曲线方程,利用根与系数的关系,表示方程,解方程求出待定系数.。
(教师用书)高中数学 模块学习评价 北师大版选修21
模块学习评价(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1.若命题“p 或q ”为真,“非p ”为真,则( ) A .p 真q 真 B .p 假q 真 C .p 真q 假D .p 假q 假【解析】 由“非p ”为真可得p 为假,若同时“p 或q ”为真,则可得q 必须为真. 【答案】 B2.抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 212-y 24=1的渐近线的距离为( )A .1B . 3 C.33D .36【解析】 由题意可知,抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),双曲线x 212-y 24=1的渐近线为y=±33x ,所以焦点到双曲线的渐近线的距离为33+9=1.【答案】 A3.设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±12x ,则该双曲线的离心率e 的值为( )A .5B . 5 C.52D .54【解析】 由焦点在x 轴上的渐近线方程为y =±12x ,可得b a =12,所以e =ca =a 2+b2a=a 2+a22a=52. 【答案】 C4.已知E 、F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点,则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A .30°B .60°C .45°D .90°【解析】 以A 1为原点,A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2,则A (0,0,2),E (2,0,1),D 1(0,2,0),F (1,2,2),AE →=(2,0,-1),D 1F →=(1,0,2),所以AE →·D 1F →=0,所以AE ⊥D 1F ,即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D5.已知F 1、F 2是两个定点,点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF 1⊥PF 2,e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有( )A .e 1e 1≥2B .e 21+e 22≥4 C .e 1+e 2≥2 2D .1e 21+1e 22=2【解析】 不妨设|PF 1|>|PF 2|,c 1=c 2=c ,依题意有2a 1=|PF 1|+|PF 2|,2a 2=|PF 1|-|PF 2|,∴|PF 1|=a 1+a 2,|PF 2|=a 1-a 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,∴a 21+a 22=2c 2,∴1e 21+1e 22=2.【答案】 D6.如图1,过正方形ABCD 的顶点A ,引PA ⊥平面ABCD .若PA =BA ,则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A .30°B .45°C .60°D .90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1=(0,1,0),n 2=(0,1,1),故平面ABP 与平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|=22,故所求的二面角的大小是45°. 【答案】 B7.在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0(a >b >0)的曲线大致是( )【解析】 法一 将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程:x 21a 2+y 21b 2=1,y2=-a bx .因为a >b >0,因此,1b >1a>0,所以有:椭圆的焦点在y 轴,抛物线的开口向左,得D选项.法二 将方程ax +by 2=0中的y 换成-y ,其结果不变,即说明:ax +by 2=0的图像关于x 轴对称,排除B 、C ,又椭圆的焦点在y 轴.故选D .【答案】 D8.已知点P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,I 为△PF 1F 2的内心,若S △IPF 1=S △IPF 2+12S △IF 1F 2成立,则双曲线的离心率为( )A .4 B.52 C .2D .53【解析】 由S △IPF 1=S △IPF 2+12S △IF 1F 2得,|PF 1|=|PF 2|+12×2c ,P 是右支上的点,所以|PF 1|=|PF 2|+2a ,即有12×2c =2a ,e =2,选C.【答案】 C9.在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC =90°,D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点,AB =AC =1,PA =2,则直线PA 与平面DEF 所成角正弦值为( )A.15B.255C.55D .25【解析】 以A 为原点,AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,由AB =AC =1,PA =2,得A (0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),P (0,0,2),D (12,0,0),E (12,12,0),F (0,12,1),∴AP →=(0,0,2),DE →=(0,12,0),DF →=(-12,12,1),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →=0n ·DF →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧y =0,-x +y +2z =0,取z =1,则n =(2,0,1),设PA 与平面DEF 所成角为θ,则sin θ=|PA →·n ||PA →|·|n |=55,∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55,故选C.【答案】 C10.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近方程是y =3x ,它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 227=1 C.x 2108-y 236=1 D .x 227-y 29=1 【解析】 由题易知ba=3①,且双曲线焦点为(6,0)、(-6,0),则有a 2+b 2=36②.由①②知:a =3,b =33,∴双曲线方程为x 29-y 227=1,故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11.设p 、q 是两个命题,若p 是q 的充分不必要条件,则綈p 是綈q 的________条件. 【解析】 由原命题与它的逆否命题是等价命题,易知綈p 是綈q 的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分12.若p :菱形一定是平行四边形,则“綈p ”为________.【解析】 “一定是”的否定是“不一定是”,故填“菱形不一定是平行四边形”. 【答案】 菱形不一定是平行四边形13.已知向量a =(2,-1,3),b =(-4,2,x ),若a ⊥b ,则x =________;若a ∥b ,则x =________.【解析】 若a ⊥b ,则-8-2+3x =0,x =103;若a ∥b ,则2∶(-4)=-(1)∶2=3∶x ,x =-6.【答案】103-6 14.已知向量a =(-2,2,-1),向量b =(0,3,-4),则向量a 在向量b 上的投影是________.【解析】 a 在向量b 上的投影为|a a ,b =a·b |b |=105=2.【答案】 215.(2013·辽宁高考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若|AB |=10,|AF |=6,cos ∠ABF =45,则椭圆C 的离心率e =__________.【解析】 设椭圆的右焦点为F 1,因为直线过原点,所以|AF |=|BF 1|=6,|BO |=|AO |.在△ABF 中,设|BF |=x ,由余弦定理得36=100+x 2-2×10x ×45,解得x =8,即|BF |=8.所以∠BFA =90°,所以△ABF 是直角三角形,所以2a =6+8=14,即a =7.又因为在Rt △ABF 中,|BO |=|AO |,所以|OF |=12|AB |=5,即c =5.所以e =57.【答案】 57三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分12分)判断命题:“对任意n ∈N *,n 2+n +1不可能是完全平方数”的真假,并说明理由.【解】 该命题是真命题.理由如下:∵当n ∈N *时,n 2<n 2+n +1<n 2+2n +1,而n 2与(n +1)2是两个相邻的完全平方数,∴n 2+n +1不可能完全平方数.17.(本小题满分12分)求证:a +2b =0是直线ax +2y +3=0和直线x +by +2=0互相垂直的充要条件.【证明】 充分性:当b =0时,如果a +2b =0,那么a =0,此时直线ax +2y +3=0平行于x 轴,直线x +by +2=0平行于y 轴,它们互相垂直;当b ≠0时,直线ax +2y +3=0的斜率k 1=-a 2,直线x +by +2=0的斜率k 2=-1b ,如果a +2b =0,那么k 1k 2=(-a2)×(-1b)=-1,故两直线互相垂直.必要性:如果两条直线互相垂直且斜率都存在,那么k 1k 2=(-a 2)×(-1b)=-1,所以a+2b =0,若两条直线中有直线的斜率不存在,且互相垂直,则b =0,且a =0,所以a +2b =0.综上可知,a +2b =0是直线ax +2y +3=0和直线x +by +2=0互相垂直的充要条件. 18.(本小题满分12分)图3在如图3直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =3,BC =4,AB =5,AA 1=4,点D 是AB 的中点. (1)求证:AC ⊥BC 1; (2)求证:AC 1∥平面CDB 1;【证明】 (1)因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5,所以AC ,BC ,CC 1两两互相垂直,如图以C 为坐标原点,直线CA ,CB ,CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0), B 1(0,4,4),D (32,2,0).∴AC →=(-3,0,0).BC 1→=(0,-4,4),∴AC →·BC 1→=0,∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ,则E (0,2,2),连接DE ,则DE →=(-32,0,2),AC 1→=(-3,0,4)⇒DE →=12AC 1→,∴DE ∥AC 1,∵DE 平面CDB 1,AC 1 平面CDB 1∴AC 1∥平面CDB 1.19.(本小题满分13分)设P 是双曲线x 24-y 216=1右支上任一点,过点P 分别作两条渐近线的垂线,垂足分别为E 、F ,求|PE |·|PF |的值.【解】 渐近线方程为2x ±y =0,设P (x 0,y 0),则x 204-y 2016=1⇒4x 20-y 20=16.由点到直线的距离公式有|PE |=|2x 0+y 0|5,|PF |=|2x 0-y 0|5,∴|PE |·|PF |=|4x 20-y 20|5=165. 20.图4(2013·重庆高考)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,BC =CD =2,AC =4,∠ACB =∠ACD =π3,F为PC 的中点,AF ⊥PB .(1)求PA 的长;(2)求二面角B -AF -D 的正弦值.【解】 (1)如图,连接BD 交AC 于点O ,因为BC =CD ,即△BCD 为等腰三角形.又AC 平分∠BCD ,故AC ⊥BD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,AP →的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz ,则OC =CD cos π3=1.而AC =4,所以AO =AC -OC =3. 又OD =CD sin π3=3,故A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0).因为PA ⊥底面ABCD ,可设P (0,-3,z ),由点F 为PC 边中点,F ⎝⎛⎭⎪⎫0,-1,z 2.又AF →=⎝⎛⎭⎪⎫0,2,z 2,PB →=(3,3,-z ),因为AF ⊥PB ,故AF →·PB →=0,即6-z 22=0,z=23(z =-23舍去),所示|PA →|=23,所以PA 的长为2 3.(2)由(1)知,AD →=(-3,3,0),AB →=(3,3,0),AF →=(0,2,3).设平面FAD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),平面FAB 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),由n 1·AD →=0,n 1·AF →=0,得⎩⎨⎧-3x 1+3y 1=0,2y 1+3z 1=0,因为可取n 1=(3,3,-2).由n 2·AB →=0,n 2·AF →=0得⎩⎨⎧3x 2+3y 2=0,2y 0+3z 2=0,故可取n 2=(3,-3,2).从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为n 1,n 2=n 1 ·n 2|n 1|·|n 2|=18.故二面角B -AF -D 的正弦值为378.21.(本小题满分13分)(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0,c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.(1)求抛物线C 的方程;(2)当点P (x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF |·|BF |的最小值. 【解】 (1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2=4cy (c >0), 由点到直线的距离公式,得|0-c -2|1+1=322,解得c =1(负值舍去),故抛物线C 的方程为x 2=4y . (2)由x 2=4y ,得y =14x 2,其导数为y ′=12x .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21=4y 1,x 22=4y 2,切线PA ,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2,所以切线PA 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即y =x 12x -x 212+y 1,即x 1x -2y -2y 1=0.同理可得切线PB 的方程为x 2x -2y -2y 2=0. 因为切线PA ,PB 均过点P (x 0,y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x =x 2,y =y 2为方程x 0x -2y 0-2y =0的两组解.所以直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0.(3)由抛物线定义可知|AF |=y 1+1,|BF |=y 2+1, 所以|AF |·|BF |=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x -2y -2y 0=0,x 2=4y ,消去x 并整理得到关于y 的方程为y 2+(2y 0-x 20)y +y 20=0.由一元二次方程根与系数的关系得y 1+y 2=x 20-2y 0,y 1y 2=y 20.所以|AF |·|BF |=y 1y 2+(y 1+y 2)+1 =y 20+x 20-2y 0+1.又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0-y 0-2=0, 即x 0=y 0+2,所以y 20+x 20-2y 0+1=2y 20+2y 0+5=2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0+122+92,所以当y 0=-12时,|AF |·|BF |取得最小值,且最小值为92.。
高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 北师大版选修2-3(建议用时:45分钟)学业达标]一、选择题1.从一副不含大、小王的52X 扑克牌中任意抽出5X ,则至少有3X 是A 的概率为( ) A.C 34C 248C 552 B.C 348C 24C 552 C .1-C 148C 44C 552D.C 34C 248+C 44C 148C 552【解析】 从52X 扑克牌中任意抽出5X ,至少有3X A 的结果数是C 34C 248+C 44C 148,故所求概率为C 34C 248+C 44C 148C 552. 【答案】 D2.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个,其中白球的个数记为X ,则P (X ≤1)等于( )A.C 122C 14+C 222C 226 B.C 112C 14+C 24C 226 C.C 110C 14+C 222C 226 D.C 110C 14+C 24C 226【解析】 由已知得,X 的可能取值为0,1,2. P (X =0)=C 222C 226;P (X =1)=C 122C 14C 226;P (X =2)=C 24C 226,∴P (X ≤1)=P (X =0)+P (X =1)=C 122C 14+C 222C 226. 【答案】 A3.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么310等于( )A .恰有1只是坏的的概率B .恰有两只是好的的概率C .4只全是好的的概率D .至多有两只是坏的的概率【解析】 恰好两只是好的概率为P =C 23C 27C 410=310.【答案】 B4.某12人的兴趣小组中,有5名“特困生”,现从中任意选6人参加竞赛,用ξ表示这6人中“特困生”的人数,则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A .P (ξ=2)B .P (ξ=3)C .P (ξ≤2)D .P (ξ≤3)【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ,则其选法数为C ξ5·C 6-ξ7,当ξ=3时,选法数为C 35C 37,故P (ξ=3)=C 35C 37C 612.【答案】 B5.一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为C 126C 14+C 24C 230的事件是( ) 【导学号:62690032】 A .没有白球 B .至少有一个白球 C .至少有一个红球D .至多有一个白球【解析】C 126C 14+C 24C 230=C 126C 14C 230+C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率,即至少有一个白球的概率.【答案】 B 二、填空题6.一批产品共50件,其中5件次品,其余均为合格品,从这批产品中任意抽取两件,其中出现次品的概率为________.【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X , 则P (X =k )=C k 5C 2-k45C 250(k =0,1,2).∴P (X >0)=P (X =1)+P (X =2)=C 15C 145C 250+C 25C 250=47245.【答案】472457.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ,则P (A )=C 127C 13C 230+C 23C 230=28145.【答案】281458.(2016·某某高二检测)袋中有3个黑球,4个红球,除颜色外,其他均相同,从袋中任取3个球,则至少有一个红球的概率为________.【解析】 令X 表示取出的黑球个数,则X =0,1,2,3,P (X =0)=C 33C 37=135,故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)=1-135=3435.【答案】3435三、解答题9.现有10X 奖券,其中8X1元,2X5元,从中同时任取3X ,求所得金额的分布列. 【解】 设所得金额为X ,X 的可能取值为3,7,11. P (X =3)=C 38C 310=715,P (X =7)=C 28C 12C 310=715,P (X =11)=C 18·C 22C 310=115.故X 的分布列为10.老师要从102篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率.【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ,则P (X =k )=C k 6C 3-k 4C 310(k =0,1,2,3).P (X =0)=C 06C 34C 310=130,P (X =1)=C 16C 24C 310=310,P (X =2)=C 26C 14C 310=12,P (X =3)=C 36C 04C 310=16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=2+6=23.能力提升]1.一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:①X 表示取出的最大; ②X 表示取出的最小;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X 表示取出的4个球的总得分; ④X 表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是( ) A .①② B .③④ C .①②④D .①②③④【解析】 由超几何分布的概念知③④符合,故选B. 【答案】 B2.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是57,则语文课本的本数为( ) 【导学号:62690033】A .2B .3C .4D .5【解析】 设语文课本有m 本,任取2本书中的语文课本数为X ,则X 服从参数为N =7,M =m ,n =2的超几何分布,其中X 的所有可能取值为0,1,2,且P (X =k )=C k m C 2-k7-mC 27(k =0,1,2).由题意,得P (X ≤1)=P (X =0)+P (X =1)=C 0m C 27-m C 27+C 1m C 17-mC 27=12×7-m 6-m 21+m 7-m 21=57. ∴m 2-m -12=0,解得m =4或m =-3(舍去). 即7本书中语文课本有4本. 【答案】 C3.口袋内装有10个大小相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1,若从口袋中摸出5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答).【解析】 设摸出标有数字1的球的个数为X ,则所求的概率为: 1-P (X =2)-P (X =3)=1-C 25C 35C 510-C 35C 25C 510=1-5063=1363.【答案】13634.盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列. 【解】 (1)P =1-C 37C 39=712.(2)记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B ,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C ,则P (B +C )=P (B )+P (C )=C 12C 23C 39+C 22C 14C 39=542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3,ξ服从超几何分布, 且P (ξ=k )=C k 3C 3-k6C 39,k =0,1,2,3.故P (ξ=0)=C 36C 39=521,P (ξ=1)=C 13C 26C 39=1528,P (ξ=2)=C 23C 16C 39=314,P (ξ=3)=C 33C 39=184,ξ的分布列为。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(答案解析)(4)
一、选择题1.在正四棱锥P ABCD -中,1PA PB PC PD AB =====,点Q ,R 分别在棱AB ,PC 上运动,当||QR 达到最小值时,||||PQ CQ 的值为( ) A .7010B .355 C .3510D .7052.如图,在几何体111ABC A B C -中,ABC ∆为正三角形,111////AA BB CC ,1AA ⊥平面ABC ,若E 是棱11B C 的中点,且1112AB AA CC BB ===,则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为( )A .1313B .21313C 26D 2263.在空间四边形OABC 中,OA OB OC ==,3AOB AOC π∠=∠=,则cos ,OA BC的值为( ) A .0B .22C .12-D .124.若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-,(2,3,2)b =-,则1l 与2l 的位置关系是( ) A .12l l ⊥B .12l l C .1l 、2l 相交不垂直 D .不能确定5.在边长为2的菱形ABCD 中,23BD =ABCD 沿对角线AC 对折,使二面角B AC D --的余弦值为13,则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为( ) A .43π B .πC .23π D .2π 6.在直三棱柱111ABC A B C -中,1111122AA A B B C ==,且AB BC ⊥,点M 是11AC 的中点,则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A .13B .223C .324D .127.如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2,则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A 3B .12C .14D .08.已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点,则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为( ) A .105B .1010C .32D .629.已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===,点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时,点M 的坐标为( )A .(2,2,4)B .224(,,)333C .5510(,,)333D .448(,,)33310.已知平行六面体1111ABCD A BC D -中,11114AE AC =,若1BE xAB yAD zAA =++,则x 的值为( )A .14B .34-C .1D .1211.在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)111ABC A B C -中,2AB =,E ,F 分别为11AC 和11A B 的中点,当AE 和BF 所成角的余弦值为710时,AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为( ) A 15B 15C 5 D 512.已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是平面ABC 外一点,则在下列条件中,能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是( )A .111222OM OA OB OC =++ B .OM OA OB OC =++ C .1133OM OA OB OC =-+ D .2OM OA OB OC =--二、填空题13.如图,正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2.点M 是侧棱1AA 的中点,点P 、Q 分别是侧面11BCC B ,底面ABC 的动点,且1A P 平面BCM ,PQ ⊥平面BCM .则点Q的轨迹的长度为___________.14.ABC △中,90C ∠︒=,60A ∠︒=,2AB =,M 为AB 中点,将BMC △沿CM 折叠,当平面BMC ⊥平面AMC 时,A ,B 两点之间的距离为_____.15.如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点,E F ,且 22EF =,现有如下四个结论: ①AC BE ⊥;②//EF 平面ABCD ;③三棱锥A BEF -的体积为定值; ④异面直线,AE BF 所成的角为定值. 其中正确结论的序号是______.16.把地球看作是半径为R 的球,A 点位于北纬30°,东经20°,B 点位于北纬30°,东经80°,求A B 、两点间的球面距离______________.17.如图,空间四边形OABC 中,,M N 分别是对边,OA BC 的中点,点G 在线段MN 上,分MN 所成的定比为2,OG xOA yOB zOC =++,则,,x y z 的值分别为_____.18.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围 是 .19.已知P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11A D 上的动点,设异面直线AB 与CP 所成的角为α,则cos α的最小值为__________. 20.已知平行六面体中,则____.三、解答题21.如图,在多面体ABCDEF 中,等腰梯形ABCD 所在平面垂直于正方形CDEF 所在平面,1,2DA AB BC CD ====.(Ⅰ)求证:AC ⊥平面ADE ;(Ⅱ)求BF 与平面ADE 所成角的正弦值.22.如图,在四棱锥S ABCD -中,SA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AD AB ⊥,4AB AS ==,3AD =,6BC =,E 为SB 的中点.(1)求证://AE 平面SCD . (2)求二面角B AE C --的余弦值.23.如图,四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形,60DAB DBF ∠=∠=︒,且FA FC =(1)求证:平面ACF ⊥平面ABCD ; (2)求二面角A FC B --的余弦值.24.如图,在等腰直角三角形PAD 中,90A ∠=︒,8AD =,3AB =,B ,C 分别是PA ,PD 上的点,且//AD BC ,M ,N 分别为BP ,CD 的中点,现将BCP 沿BC折起,得到四棱锥P ABCD -,连结MN .(1)证明://MN 平面PAD ;(2)在翻折的过程中,当4PA =时,求二面角B PC D --的余弦值.25.如图,在四棱锥S ABCD -中,侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ,底面为直角梯形且90ABC ∠=︒,12AB AD BC ==,CD SD =,点M 是SA 的中点.(1)求证:BD ⊥平面SCD ;(2)若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒,求SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 26.如图,在三棱锥P ABC -中,PAC △为等腰直角三角形,90APC ∠=︒,ABC 为正三角形,D 为AC 的中点,2AC =.(1)证明:PB AC ⊥; (2)若三棱锥P ABC -3A PCB --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】建立空间直角坐标系,利用三点共线的思想,分别求出点R ,Q ,利用两点距离公式求解,后利用导数求最值,进一步求出答案. 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设1(,,0)2Q a ,(,,)R m n q 因为211(0(,0),22P C -,112(,22PC =-, 又因为R 在PC 上,PR PC λ= 所以2(,m m q =,112(,),22λλ-, 所以R 1122(,),2222λλ=--+, 所以222211122222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++,2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-,1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时,取最小值,即20a λ-=,1202a λ-+= 所以11,36a λ==时取最小值, 所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以PQ CQ=10所以当||QR 达到最小值时,||||PQCQ 的值为10故选:A. 【点睛】空间直角坐标系距离公式的理解:(1)两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致,它的几何意义是表示长方体的对角线的长度.(2)两点间的距离公式与坐标原点的选取无关,经过适当转化也可以求异面直线间的距离,点到面以及平面与平面的距离等. 本题主要是R 的坐标利用三点共线的思想去求.2.C解析:C 【解析】 【分析】以C 为原点,在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴,CB 为y 轴,CC 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点,在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴, CB 为y 轴,CC 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设AB =AA 1=CC 1=2BB 1=2,则A 11,2),A 0,),C 1(0,0,2),B 1(0,2,1),E (0,1,32), 1AE =(0,12-),1AC=(1,2), 设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ,则cosθ11111313A E AC A E AC ⋅===⋅. ∴异面直线A 1E 与AC 1. 故选C .【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.A解析:A 【分析】利用OB OC =,以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值,即可求解. 【详解】由题意,可知OB OC =,则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=, 所以OA BC ⊥,所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A . 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义,两个向量的夹角公式的应用,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.A解析:A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0,由此得到1l 与2l 的位置关系. 【详解】由题意,直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-,(2,3,2)b =-,2640a b ⋅=-+-=,∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥.故选A . 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断,考查直线与直线垂直的性质等基础知识,着重考查运算求解能力,属于基础题.5.C解析:C 【分析】作出图形,利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ,BN ⊥AC ,可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ,再利用余弦定理求出BD ,可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体,可得出内切球的半径R ,再利用球体的表面积公式可得出答案. 【详解】 如下图所示,易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形,取AC 的中点N ,则DN ⊥AC ,BN ⊥AC . 所以,∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角,过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ,可得BO ⊥平面ACD .因为在△BDN 中,3BN DN ==,所以,BD 2=BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=, 则BD =2.故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体,则其内切球半径为正四面体高的14,又正四面体的高为棱6,故662R ==因此,三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(63R πππ=⨯=. 故选C . 【点睛】本题考查几何体的内切球问题,解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状,考查了二面角的定义与余弦定理,考查计算能力,属于中等题.6.B解析:B 【分析】以B 为原点,BA 为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系,求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,()10,? 02AA =,,利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中,1111122AA A B B C ==,且AB BC ⊥,点M 是11AC , ∴以B 为原点,BA 为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系, 设11111222AA A B B C ===, 则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(0,00B ,),(1,00A ,),1(1,02A ,), 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,1(0,02AA ,)=, 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ,则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解.7.C解析:C【分析】建立空间直角坐标系,结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则:()10,1,2A -,)B ,)12B ,()0,1,0C ,向量()13,1,2A B =-,()12B C =--, 11cos ,A B BC <>1111AB BC A B B C ⋅=⨯=14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解,空间向量的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.A解析:A【分析】建立空间直角坐标系,求出向量AM与1BC的向量坐标,利用数量积求出异面直线A M B C所成角的余弦值.与1【详解】以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示:设正方体的棱长为1,则(1,0,0)A ,1(1,0,1)A ,(1,1,0)B ,1(1,1,1)B ,(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =,52AM =;1(1,0,1)B C =--,12B C =. ∴异面直线A M 与1B C所成角的余弦值为1111cos ,510AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法,找出两异面直线所成的角∠AEM (或其补角),是解题的关键.如果异面直线所成的角不容易找,则可以通过建立空间直角坐标系,利用空间向量来求解. 9.D解析:D【分析】设OM OC λ=,故(),,2M λλλ,()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅,计算得到答案. 【详解】 设OM OC λ=,即(),,2OM OC λλλλ==,故(),,2M λλλ,()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭, 当43λ=时,向量数量积有最小值,此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积,二次函数求最值,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10.B解析:B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++,得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++,故34x =-. 故选:B .【点睛】 本题考查了向量的运算,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.B解析:B【分析】设1AA t =,以B 为原点,过B 作BC 的垂线为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系,由AE 和BF 所成角的余弦值为710,求出12t AA ==.由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值.【详解】设1AA t =,以B 为原点,过B 作BC 的垂线为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系,则31,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(2AE =-,12,)t ,3(2BF =12,)t , AE ∵和BF 所成角的余弦值为710, 2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t -∴<>===+,解得2t =.∴(2AE =-,12,2), 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =, AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为:3||2sin ||||5AE n AE n α===. 故选:B .【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.12.C解析:C【分析】由共面向量定理可得:若定点M与点A、B、C一定共面,则存在实数x,y,使得AM xAB yAC=+,即(1)OM x y OA xOB yOC=--++,判断标准是验证OA,OB,OC三个向量的系数和是否为1,若为1则说明四点M,A,B,C一定共面,由此规则即可找出正确的条件.【详解】由题意,,A B C三点不共线,点O是平面ABC外一点,对于A由于向量的系数和是32,不是1,故此条件不能保证点M在面ABC上;对于B,等号右边三个向量的系数和为3,不满足四点共面的条件,故不能得到点M与,,A B C一定共面对于C,等号右边三个向量的系数和为1,满足四点共面的条件,故能得到点M与,,A B C一定共面对于D,等号右边三个向量的系数和为0,不满足四点共面的条件,故不能得到点M与,,A B C一定共面综上知,能得到点M与,,A B C一定共面的一个条件为C.故选:C.【点睛】本题考查平面向量的基本定理,利用向量判断四点共面的条件,解题的关键是熟练记忆四点共面的条件,利用它对四个条件进行判断得出正确答案,本题考查向量的基本概念,要熟练记忆.二、填空题13.【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心且与BC平行的线段进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2可得答案【详解】∵点P是侧面BCC1B1内的动点且A1P∥平面BCM则P点的轨迹是过解析:4 3【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心,且与BC平行的线段,进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2,可得答案.【详解】∵点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P∥平面BCM,则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线,则P点的轨迹是连接侧棱BB1,CC1中点的线段l,∵Q是底面ABC内的动点,且PQ⊥平面BCM,则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面ABC相交得到的的线段m,故线段m过△ABC的重心,且与BC平行,由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2,故线段m的长为:23×2=43,故答案为4 3【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,棱柱的几何特征,动点的轨迹,难度中档.14.【解析】【分析】取MC中点O连结AOBO推导出AC=BM=AM=CM=1AO=BO=AO⊥MCAO⊥平面BMCAO⊥BO由此能求出AB两点之间的距离【详解】取MC中点O连结AOBO∵△ABC中∠C=10【解析】【分析】取MC 中点O ,连结AO ,BO ,推导出AC =BM =AM =CM =1,AO =32,BO =72,AO ⊥MC ,AO ⊥平面BMC ,AO ⊥BO ,由此能求出A ,B 两点之间的距离.【详解】取MC 中点O ,连结AO ,BO ,∵△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AB =2,M 为AB 中点, ∴AC =BM =AM =CM =1,∴AO 2131()2- BO 22011172cos120121422BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ,将△BMC 沿CM 折叠,当平面BMC ⊥平面AMC 时,AO ⊥平面BMC ,∴AO ⊥BO ,∴A ,B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=+=, 10. 【点睛】 本题考查两点间距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.15.①②③【分析】根据平面可判断①;根据可判断②;利用体积公式判断③;设用向量法求出的夹角的范围判断④【详解】连接由可知平面而平面故①正确;由且平面平面可得平面故②正确;三棱锥的体积为定值故③正确;建立解析:①②③【分析】根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①;根据11//B D BD 可判断②;利用体积公式判断③;设11D E a =,用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④.【详解】连接BD ,由AC BD ⊥,1AC DD ⊥,可知AC ⊥平面11BB D D ,而BE ⊂平面11BB D D ,AC BE ∴⊥,故①正确;由//EF BD ,且EF ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,可得//EF 平面ABCD ,故②正确;1132A BEF BEF V S AC -=⋅ 112211232=⨯=, ∴三棱锥A BEF -的体积为定值,故③正确;建立坐标系如图所示;设11202D E a a ⎛=≤≤ ⎝⎭, 则()1,0,0A ,()1,1,0B ,22,1E ⎫⎪⎪⎝⎭, 2121,,12222F a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭, 221,,122AE a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,2121,,12222BF a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ, 则22322cos 22a a AE BF AE BF a a θ-+⋅==⋅-+ 212122a a =--+2232222a a a ⎛-+=-+ ⎝⎭∴当0a =时,cos θ取得最大值2, θ∴的最小值为30,即异面直线,AE BF 所成的角不为定值,故④错误; 故答案为:①②③【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角,综合性比较强,属于中档题.16.【分析】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为且是等边三角形即中由余弦定理得的值利用弧长公式求得两点间的球面距离【详解】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为则根据点位于北纬30°东经20°点位于北解析:5arccos 8R 【分析】设球心为O ,北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ,半径为r ,r =,且ABC 是等边三角形,即2AB R =,AOB 中,由余弦定理得AOB ∠的值,利用弧长公式求得,A B 两点间的球面距离.【详解】设球心为O ,北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ,半径为r ,130OAO ∠=, 则3cos302r R ==, 根据A 点位于北纬30°,东经20°,B 点位于北纬30°,东经80°,可得160AO B ∠=,1AO B ∴是等边三角形,即AB r R ==, ABC 中,由余弦定理可得2222232cos 4AB R R R R AOB ==+-⋅∠,求得5cos 8AOB ∠= ,5arccos 8AOB ∴∠=, ,A B ∴两点间的球面距离5arccos 8AB R AOB R =⋅∠=⋅.故答案为:5arccos 8R ⋅ 【点睛】 本题主要考查球面距离的求法,利用余弦定理解三角形,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,属于中档题型. 17.【解析】∵∴∴故答案为 解析:111,,633【解析】∵ O G OM MG =+,1 2OM OA =,2 ,3MG MN MN ON OM ==-,1 ()2ON OB OC =+,∴111 633OG OA OB OC =++,∴16x =,13y z ==,故答案为111,,63318.【详解】试题分析:以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则∴∵点在线段上运动∴且∴∴故答案为考点:空间向量数量积的运算解析:[]0,1【详解】试题分析:以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.则、、、、.∴、.∵点在线段上运动,∴,且.∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--,∴,故答案为[]0,1.考点:空间向量数量积的运算.19.【解析】试题分析:因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点:1异面直线所成的角;2线面垂直线线垂直 解析:33【解析】试题分析:因为AB //CD ,所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α.因为1111ABCD A BC D -是正方体,所以11CD ADD A ⊥面,因为11DP ADDA ⊂面,所以DC DP ⊥.所以cos CD CP α=,当1CP CA =时,min 13(cos )33CD CD CA CDα===. 考点:1、异面直线所成的角;2、线面垂直、线线垂直.20.【解析】试题分析:因为在平行六面体中所以则考点:本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构造向量将空间两点之间的距离转化为向量模的运算是解答本题的关键 解析:【解析】试题分析:因为在平行六面体中,,所以,则.考点:本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算,考查空间两点之间的距离运算,根据已知条件,构造向量,将空间两点之间的距离转化为向量模的运算,是解答本题的关键.三、解答题21.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)1510【分析】(Ⅰ)由面面垂直的性质定理得到DE ⊥平面ABCD ,从而得到DE AC ⊥,再由勾股定理的逆定理证明CA AD ⊥,即可得证;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出线面角的正弦值; 【详解】(Ⅰ)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ,四边形CDEF 为矩形,所以CD DE ⊥,又平面ABCD 平面CDEF CD =,所以DE ⊥平面ABCD ,因为AC ⊂平面ABCD , 所以DE AC ⊥,在底面ABCD 中,过,A B 作,AN BM DC ⊥,交CD 于,N M ,因为1,2DA AB BC CD ====,所以12DN CM ==,所以2213122AN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以2233322AC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以222AD AC CD +=,所以CA AD ⊥,又AD DE D ⋂=,,AD DE ⊂面ADE ,所以AC ⊥面ADE ;(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则31,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭,)3,0,2F ,所以31,222BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由(1)可知AC ⊥面ADE ,则面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =,设BF 与平面ADE 所成角为θ,则2223152sin 1031222n BF n BFθ===⋅⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,BF 与平面ADE 所成角的正弦值为1510;【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解. 22.(1)证明见解析;(2)2211. 【分析】(1)取SC 的中点F ,连接,DF EF ,证明四边形ADFE 为平行四边形,可得//AE DF ,即可证//AE 平面SCD ;(2)建立如图所示空间直角坐标系,然后写出各点坐标,得平面ABE 的法向量为AD ,计算平面ACE 的法向量m ,利用数量积公式代入计算二面角的余弦值. 【详解】(1)证明:取SC 的中点F ,连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点,所以//EF BC 且132EF BC ==,又因为//AD BC ,3AD =,6BC =,所以//EF AD 且EF AD =,所以四边形ADFE 为平行四边形,所以//AE DF ,又AE ⊄平面SCD ,DF ⊂平面SCD ,所以//AE 平面SCD . (2)因为SA ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,所以建立如图所示空间直角坐标系, 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ,(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===,(0,3,0)AD =由题意可知AD ⊥平面ABE ,设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩,得(3,2,3)m =--设二面角B AE C --的平面角为θ,所以622cos cos ,11322AD m θAD m AD m⋅-====⨯,所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化,通过中位线平行证明线线平行,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解. 23.(1)证明见解析;(215. 【分析】(1)AC 与BD 交于点O ,连接FO 、FD ,证明FO AC ⊥,FO BD ⊥,然后得到FO ⊥平面ABCD 即可;(2)以O 为原点,OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,然后求出平面BFC 和平面ACF 的法向量,然后可算出答案.【详解】(1)证明:AC 与BD 交于点O ,连接FO 、FD ,∵FA FC =,O 是AC 中点,且O 是BD 中点,∴FO AC ⊥, ∵四边形BDEF 为菱形,60DBF ∠=︒, ∴FD FB =,∴FO BD ⊥, 又ACBD O =,∴FO ⊥平面ABCD ,∵FO ⊂平面ACF ,∴平面ACF ⊥平面ABCD (2)易知OA ,OB ,OF 两两垂直以O 为原点,OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设2AB =,∵四边形ABCD 为菱形,60DAB ∠=︒ 则2BD =,∴1OB =,3OA OF ==故(0,0,0)O ,(0,1,0)B ,()3,0,0C -,()3F ∴(3,0,3CF =,3,1,0CB,()0,1,0OB =设平面BFC 的一个法向量为(,,)n x y z =则33030n CF x z n CB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取1x =,得()1,3,1n =-- 显然,()0,1,0OB =为平面ACF 的一个法向量 ∴15cos ,5OB n OB n OB n⋅<>==-⋅ 由图知,二面角A FC B --的平面角为锐角 ∴二面角A FC B --的余弦值为155【点睛】关键点睛:用向量法求解空间角的问题时,解题的关键是建立适当的空间直角坐标系,准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.24.(1)证明见解析;(2)63-. 【分析】(1)取AB 的中点E ,连结EM ,EN ,根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理,先证明平面//MNE 平面PAD ,进而可证//MN 平面PAD ;(2)根据题中条件,以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,分别求出两平面的法向量,由向量夹角公式,即可求出结果. 【详解】(1)证明:在四棱锥P ABCD -中,取AB 的中点E ,连结EM ,EN . 因为M ,N 分别为BP ,CD 的中点,//AD BC . 所以//ME PA ,//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ,ME ⊄平面PAD , 所以//ME 平面PAD , 同理,//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=,ME 、NE ⊂平面MNE , 所以平面//MNE 平面PAD . 因为MN ⊂平面MNE , 所以//MN 平面PAD ;(2)因为在等腰直角三角形PAD 中,90A ∠=︒,//AD BC , 所以BC PA ⊥,即在四棱锥P ABCD -中,BC PB ⊥,BC AB ⊥. 因为//AD BC ,所以AD PB ⊥,AD AB ⊥, 因为PB AB B ⋂=,PB 、AB平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,所以PA AD ⊥.又因为8AD =,3AB =,4PA =,所以5PB =. 所以222AB PA PB +=,所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则()3,0,0B ,()0,0,4P ,()0,8,0D ,()3,5,0C , 所以(3,0,4)PB =-,(3,5,4)PC =-,(0,4)8,PD =-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量,则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩, 令14x =,得1(4,0,3)n =;设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量,则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩, 令21y =,得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,34n n n n n n⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角, 所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】 方法点睛:立体几何体中空间角的求法:(1)定义法:根据空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的定义,通过作辅助线,在几何体中作出空间角,再解对应三角形,即可得出结果;(2)空间向量的方法:建立适当的空间直角坐标系,求出直线的方向向量,平面的法向量,通过计算向量夹角(两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角)的余弦值,来求空间角即可. 25.(1)证明见解析;(2. 【分析】(1)根据已知条件证明BD CD ⊥,根据线面垂直的判定定理即可得到BD ⊥平面SCD ;(2)根据已知条件建立合适的空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解出SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 【详解】解:(1)证明:取BC 的中点E ,连接DE ,设==AB AD a ,2BC a =,依题意,四边形ABED 为正方形, 且有BE DE CE a ===,BD CD ==, ∴222BD CD BC +=,则BD CD ⊥. 又平面SCD ⊥底面ABCD ,平面SCD底面ABCD CD =,∴BD ⊥平面SCD(2)过点S 作CD 的垂线,交CD 延长线于点H ,连接AH , ∵平面SCD ⊥底面ABCD ,平面SCD底面ABCD CD =,SH CD ⊥,SH ⊂平面SCD ,SH ⊥底面ABCD ,故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影,SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角,即60SDH ∠=︒. 由(1)得,2SD a =,∴在Rt SHD 中,2SD a =,62SH a =, 在ADH 中,45ADH ∠=︒,AD a =,22DH a =,由余弦定理得222222cos 45222AH a a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭, ∴222AH DH AD +=,从而90AHD ∠=︒,过点D 作//DF SH ,∴DF ⊥底面ABCD ,∴DB 、DC 、DF 两两垂直,如图,以点D 为坐标原点,DB 为x 轴正方向,DC 为y 轴正方向,DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系,则)2,0,0Ba ,()2,0C a ,260,2S ⎛⎫- ⎪⎝⎭,22,,022A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,226,,424M a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,设平面MBD 的法向量(),,n x y z =,由202022n DB ax n DM ax ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,取1z =,得30,,12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,又0,,2SD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,∴sin cos ,n SD θ=<>==, ∴SD 与平面MBD所成角的正弦值为14. 【点睛】方法点睛:求解线面角的正弦值的两种方法:(1)几何法:通过线面垂直的证明,找到线面角,通过长度的比值即可计算线面角的正弦值;(2)向量法:求解出直线的方向向量和平面的法向量,根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果. 26.(1)证明见解析;(2 【分析】(1)根据PAC △为等腰直角三角形,D 为中点,得到PDAC ⊥,再根据ABC 为正三角形,D 为中点,得到BD AC ⊥.然后利用线面垂直的判定定理证明.(2)设三棱锥P ABC -的高为h ,由 1132P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==, 求得h ,由以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,设为平面PBC 的一个法向量(),,n x y z =,又DB 是平面PAC 的一个法向量,然后由cos ,DB n DB n DB n⋅=求解..【详解】(1)∵PAC △为等腰直角三角形,D 为中点,. ∴PD AC ⊥,又ABC 为正三角形,D 为中点, ∴BD AC ⊥.又PD BD D ⋂=,PD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD . 又PB ⊂平面PBD , ∴PB AC ⊥.(2)设三棱锥P ABC -的高为h ,sin60BD BC =︒=∴11333233P ABC V AC BD h h -=⨯⨯⨯⨯==, ∴1h =. 又112PD AC ==, ∴PD ⊥平面ABC .如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D xyz -,则()1,0,0A ,()3,0B,()1,0,0C -,()0,0,1P∴()0,3,0=DB ,()1,0,1CP =,()1,3,0CB =. 设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量,则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即030x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =,得31y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴31,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.又DB 是平面PAC 的一个法向量, ∴7cos ,7DB n DB n DB n⋅==-∴二面角A PC B --7【点睛】方法点睛:向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示课时作业北师大版选修21
2.3.3 空间向量运算的坐标表示[基础达标]1.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ,球面上有两个点A ,B 的坐标分别为A (1,2,2),B (2,-2,1),则|AB |=( )A .18B .12C .3 2D .2 3解析:选C.AB →=(1,-4,-1),|AB |=|AB →|=12+(-4)2+(-1)2=3 2. 2.若ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (-3,7,-5),则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72,4,-1 B .(2,3,1) C .(-3,1,5)D .(-1,13,-3)解析:选D.设D (x ,y ,z ),∵AB →=DC →,∴(-2,-6,-2)=(-3-x ,7-y ,-5-z ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧-2=-3-x -6=7-y -2=-5-z ∴⎩⎪⎨⎪⎧x =-1y =13z =-3. 3.向量a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),下列结论正确的是( ) A .a ∥b ,a ⊥b B .a ∥b ,a ⊥c C .a ∥c ,a ⊥bD .以上都不对解析:选C.a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b ,又c =2a ,∴a ∥c ,故选C.4.已知A (2,-2,1),B (1,0,1),C (3,-1,4),则向量AB →,AC →夹角的余弦值为( ) A.55 B .5555 C.1111D .5511解析:选B.由点A ,B ,C 的坐标可求得AB →=(-1,2,0),AC →=(1,1,3),则|AB →|=(-1)2+22+02=5, |AC →|=12+12+32=11, AB →·AC →=(-1)×1+2×1+0×3=1,因此,cos 〈AB →,AC →〉=AB →·AC →|AB →||AC →|=15×11=5555.5.若a =(1,λ,2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为60°,则λ的值为( ) A .17或-1B .-17或1C .-1D .1解析:选B.a ·b =4-λ,|a |=5+λ2,|b |=6,由题意得cos 60°=a ·b |a ||b |即4-λ5+λ2·6=12, 解之得λ=1或λ=-17.6.已知a =2(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三个向量共面,则λ的值为________.解析:由共面向量定理知存在有序实数组(x ,y )使得a =x b +y c ,即(4,-2,6)=(-x ,4x ,-2x )+(7y ,5y ,λy ),即⎩⎪⎨⎪⎧4=-x +7y ,-2=4x +5y ,6=-2x +λy ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3433,y =1433,λ=657.故填657.答案:6577.已知M 1(2,5,-3),M 2(3,-2,-5),设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2→=4MM 2→,则向量OM →的坐标为________.解析:M 1M 2→=(1,-7,-2),设M (x ,y ,z ), ∴MM 2→=(3-x ,-2-y ,-5-z ). 由M 1M 2→=4MM 2→,∴(1,-7,-2)=4(3-x ,-2-y ,-5-z ), ∴x =114,y =-14,z =-92.答案:(114,-14,-92)8.设AB →=(cos α+sin α,0,-sin α),BC →=(0,cos α,0),则|AC →|的最大值为________.解析:AC →=AB →+BC →=(cos α+sin α,cos α,-sin α),∴|AC →|=(cos α+sin α)2+cos 2α+(-sin α)2=2+sin 2α≤ 3. 答案: 39.已知关于x 的方程x 2-(t -2)x +t 2+3t +5=0有两个实根,a =(-1,1,3),b =(1,0,-2),c =a +t b .(1)当|c |取最小值时,求t 的值;(2)在(1)的情况下,求b 和c 夹角的余弦值.解:(1)因为关于x 的方程x 2-(t -2)x +t 2+3t +5=0有两个实根, 所以Δ=[-(t -2)]2-4(t 2+3t +5)≥0,即-4≤t ≤-43.又c =(-1,1,3)+t (1,0,-2)=(-1+t ,1,3-2t ), 所以|c |=(-1+t )2+12+(3-2t )2=5(t -75)2+65.因为t ∈[-4,-43]时,上述关于t 的函数单调递减,所以当t =-43时,|c |取最小值3473.(2)当t =-43时,c =(-73,1,173),所以cos 〈b ,c 〉=b ·c|b ||c |=-73+0-34312+02+(-2)2× (-73)2+12+(173)2=-411 735=-41 1 7351 735.10.在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为D 1D 、BD 的中点,G 在棱CD 上,且CG =14CD ,H 为C 1G 的中点,应用空间向量方法求解下列问题:(1)求证:EF ⊥B 1C ;(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值; (3)求FH 的长.解:如图所示,建立空间直角坐标系,则有E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,12、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0、C (0,1,0)、C 1(0,1,1)、B 1(1,1,1)、G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34,0.(1)证明:EF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0-⎝⎛⎭⎪⎫0,0,12=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,-12,B 1C →=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),∴EF →·B 1C →=12×(-1)+12×0+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×(-1)=0,∴EF →⊥B 1C →,即EF ⊥B 1C .(2)∵C 1G →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34,0-(0,1,1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-14,-1,∴|C 1G →|=174.又EF →·C 1G →=12×0+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-14+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×(-1)=38,|EF →|=32,∴cos 〈EF →,C 1G →〉=EF →·C 1G →|EF →|·|C 1G →|=5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0、H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,78,12, ∴FH →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,38,12,∴|FH →|=⎝ ⎛⎭⎪⎫-122+⎝ ⎛⎭⎪⎫382+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=418. [能力提升]1.△ABC 的顶点分别为A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AC 边上的高BD 等于( )A .5B .41C .4D .2 5解析:选A.设AD →=λAC →,其中λ∈R ,D (x ,y ,z ), 则(x -1,y +1,z -2)=λ(0,4,-3), ∴x =1,y =4λ-1,z =2-3λ. ∴BD →=(-4,4λ+5,-3λ). ∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0. ∴λ=-45,∴BD →=(-4,95,125).∴|BD →|=(-4)2+(95)2+(125)2=5.2.已知AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →=(x -1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则BP →的坐标为________.解析:因为AB →⊥BC →,所以AB →·BC →=0, 即1×3+5×1+(-2)z =0,所以z =4. 因为BP ⊥平面ABC , 所以BP →⊥AB →,且BP →⊥BC →,即1×(x -1)+5y +(-2)×(-3)=0, 且3(x -1)+y +(-3)×4=0.解得x =407,y =-157,于是BP →=(337,-157,-3).答案:(337,-157,-3)3.已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5). 求以向量AB →,AC →为一组邻边的平行四边形的面积S . 解:∵AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2), ∴cos ∠BAC =AB →·AC →|AB →||AC →|=12,∴∠BAC =60°,∴S =|AB →||AC →|sin 60°=7 3.4.已知A (4,10,9),B (3,7,5),C (2,4,1),D (10,14,17),M (1,0,1),N (4,4,6),Q (2,2,3).(1)求证:A ,B ,C 三点共线; (2)求证:M ,N ,Q ,D 四点共面.证明:(1)由题意,得AB →=(-1,-3,-4), AC →=(-2,-6,-8),显然AC →=2AB →,∴AC →与AB →共线.又AC →,AB →有共同的起点A ,∴A ,B ,C 三点共线. (2)MN →=(3,4,5),MQ →=(1,2,2),MD →=(9,14,16). 设MD →=xMN →+yMQ →,即(9,14,16)=(3x +y ,4x +2y ,5x +2y ), 则⎩⎪⎨⎪⎧3x +y =9,4x +2y =14,5x +2y =16,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =3.故MD →=2MN →+3MQ →,由共面向量定理知MN →,MQ →,MD →共面, 即M ,N ,Q ,D 四点共面.。
【小初高学习]2016-2017学年高中数学 学业分层测评2 弧度制和弧度制与角度制的换算(含解析)
学业分层测评(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.-25π6的角是( )A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】 因为-25π6=-π6-4π,所以-25π6与-π6的终边相同,为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ,则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm 2 B.2 cm 2C.4π cm 2D.2π cm 2【解析】 r =l|α|=42=2(cm),S =12lr =12×4×2=4(cm 2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm ,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )A.π2 cm 2B.3π2 cm 2C.π cm 2D.3π cm 2【解析】 15°=π12,则S =12|α|r 2=12×π12×62=3π2(cm 2).【答案】 B4.下列说法不正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关.【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π+π4≤α≤k π+π2,k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y =x 左上部分(包含边界),k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y =x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C二、填空题6.把-570°写成2k π+α(k ∈Z ,α∈(0,2π)的形式是________.【导学号:72010005】【解析】 法一:-570°=-⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad =-196πrad , ∴-196π=-4π+56π. 法二:-570°=-2×360°+150°,∴-570°=-4π+56π. 【答案】 -4π+56π 7.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是________弧度,扇形面积是________.【解析】 由题意知r =2,l +2r =πr ,∴l =(π-2)r ,∴圆心角α=l r =π-r r =π-2(rad),扇形面积S =12lr =12×(π-2)·r ·r =2(π-2). 【答案】 π-2 2(π-2)三、解答题8.已知α=2 000°.(1)把α写成2k π+β(k ∈Z ,β∈[0,2π)的形式;(2)求θ,使得θ与α的终边相同,且θ∈(4π,6π).【解】 (1)α=2 000°=5×360°+200°=10π+109π. (2)θ与α的终边相同,故θ=2k π+109π,k ∈Z , 又θ∈(4π,6π),所以k =2时,θ=4π+109π=46π9. 9.已知一个扇形的周长是40,(1)若扇形的面积为100,求扇形的圆心角;(2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l +2r =40,12lr =100, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ l =20,r =10,则α=l r=2(rad). 故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l +2r =40得l =40-2r ,故S =12lr =12(40-2r )·r =20r -r 2=-(r -10)2+100,故r =10时,扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的32倍,则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍 【解析】 设圆的半径为r ,弧长为l ,圆心角的弧度数为l r,将半径变为原来的一半,弧长变为原来的32倍,则弧度数变为32l 12r =3·l r ,即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【解】 (1)由⊙O 的半径r =10=AB ,知△AOB 是等边三角形,∴α=∠AOB =60°=π3. (2)由(1)可知α=π3,r =10, ∴弧长l =α·r =π3×10=10π3, ∴S 扇形=12lr =12×10π3×10=50π3, 而S △AOB =12·AB ·53=12×10×53=5032, ∴S =S 扇形-S △AOB =50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-32.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)
一、选择题1.已知平行六面体''''ABCD A B C D -中,4AB =,3AD =,'5AA =,90BAD ∠=,''60BAA DAA ∠=∠=.则'AC 的长为( )A .85B .97C .12D .230 2.如图,四边形ABCD 和ABEF 都是正方形,G 为CD 的中点,60DAF ∠=,则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是( )A .25B .105C .155D .2153.在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,G 为棱11A B 上的一点,且1(02)AG λλ=<<,则点G 到平面1D EF 的距离为( )A .23B .2C .223λD .2554.如图,已知平行六面体1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,12AA =, 011120A AB A AD ∠=∠=,则线段1AC 的长为( )A .2B .1C .2D .35.已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点,则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为( )A .105B .1010C .32D .626.如图是由16个边长为1的菱形构成的图形,菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A .5-B .1-C .3-D .6-7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21=S S 且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面的中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周)若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A .76 B .75 C .72 D .749.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点,则点1C 到平面1B EF 的距离等于( )A .23B .223C .33D .4310.如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形, Q 为BC 的中点,PQ ⊥面ABCD ,且2PQ =,动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动,点M 在面 ABCD内运动,且PM 5=,则MN 长度的最小值为( )A .352-B .23-C .25-+D .332- 11.如图,棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -,O 是底面1111D C B A 的中心,则O 到平面11ABC D 的距离是( )A .12B .24C .22D 312.在平面直角坐标系中,()2,3A -、()32B -,,沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角,则AB 的长为( )A 2B .211C .32D .42二、填空题13.在空间四边形ABCD 中,连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形,且E 为其中心,则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________. 14.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AA 1⊥面ABC ,AB ⊥AC ,且AA 1=AB=AC ,则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____.15.已知平面向量()21,3m =+a 与()2,m =b 是共线向量且0⋅<a b ,则=b __. 16.已知四边形ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则顶点D 的坐标为________.17.如图所示,在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA =,1AB BC ==,动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上,则线段PQ 长度的最小值是______.18.如图,空间四边形OABC 中,,M N 分别是对边,OA BC 的中点,点G 在线段MN 上,分MN 所成的定比为2,OG xOA yOB zOC =++,则,,x y z 的值分别为_____.19.在空间直角坐标系O xyz -中,点(1,2,3)A -到原点的距离为__________.20.三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形,则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21.在①()()DE CF DE CF +⊥-,②17||2DE =,③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并完成问题.问题:如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2,E 为棱11D C 上的动点,F 为棱11B C 上的动点,___________,试问是否存在点E ,F 满足1EF AC ⊥?若存在,求AE BF ⋅的值;若不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.22.如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形,BC ∥AD ,AB AD ,AD=2BC=2,四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.(1)证明;平面ABB 1A 1平面ABCD ;(2)求二面角B 1 CD-A 的余弦值.23.如图,在四棱锥S ABCD -中,SA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AD AB ⊥,4AB AS ==,3AD =,6BC =,E 为SB 的中点.(1)求证://AE 平面SCD .(2)求二面角B AE C --的余弦值.24.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=,已知2,6PB PD PA ===,E 为PA 的中点.(1)求证PC BD ⊥;(2)求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值.(3)求二面角B PC E --的余弦值.25.如图,平面ABCD ⊥平面ABEF ,其中四边形ABCD 为正方形,四边形ABEF 为直角梯形,1//902AB AF BE AF BE BAF ==∠=︒,,,M 为线段CE 上一点,//MF 平面ABCD .(1)确定点M 的位置,并证明你的结论;(2)求直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值.26.如图,四棱锥中P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,60DAB ∠=︒,2AB AD CD ==,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PAD △为等腰直角三角形,90APD ∠=︒.(Ⅰ)求证:AD PB ⊥;(Ⅱ)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】用空间向量基本定理表示出AC ',然后平方后转化为数量积的运算求得.【详解】记a AB =,b AD =,c AA '=,则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=,同理152b c ⋅=,10a c ⋅=,由空间向量加法法则得AC a b c '=++, ∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=, ∴85AC '=AC '=.故选:A .【点睛】方法点睛:本题考查求空间线段长,解题方法是空间向量法,即选取基底,用基底表示出向量,然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算.2.C解析:C【分析】 以A 为原点,以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向,过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系,设2AB =,利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值,再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点,以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向,过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.设2AB =,得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ,则()2,1,0AG =,(3AE =,()2,1,0BG =-,设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =, 则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取1x =,则2y =-,3z = 所以,平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-, 从而10cos ,225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅, 故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】方法点睛:计算线面角,一般有如下几种方法:(1)利用面面垂直的性质定理,得到线面垂直,进而确定线面角的垂足,明确斜线在平面内的射影,即可确定线面角;(2)在构成线面角的直角三角形中,可利用等体积法求解垂线段的长度h ,从而不必作出线面角,则线面角θ满足sin h lθ=(l 为斜线段长),进而可求得线面角; (3)建立空间直角坐标系,利用向量法求解,设a 为直线l 的方向向量,n 为平面的法向量,则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3.D解析:D【分析】以D 为原点,DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点,DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系, 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ,()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==,设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =,则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩,取1x =,得()1,0,2n =,∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG nd n ⋅===,故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离,是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离. 4.A解析:A【分析】由11AC AB BC CC =++,两边平方,利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值,从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,1112,120AA A AB A AD =∠=∠=, 11AC AB BC CC ∴=++,()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=, ∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长,考查向量数量积的运算法则,属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=;二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 5.A解析:A【分析】建立空间直角坐标系,求出向量AM 与1BC 的向量坐标,利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示:设正方体的棱长为1,则(1,0,0)A ,1(1,0,1)A ,(1,1,0)B ,1(1,1,1)B ,(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =,52AM =;1(1,0,1)B C =--,12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法,找出两异面直线所成的角∠AEM (或其补角),是解题的关键.如果异面直线所成的角不容易找,则可以通过建立空间直角坐标系,利用空间向量来求解.6.B解析:B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ,则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=,2a AB m n ==+,32b CD m n ==-+,()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-,故选B. 7.D解析:D 【分析】试题分析:结合其空间立体图形易知,112222=⨯⨯=S ,2312222S S ==⨯⨯=,所以23S S =且13S S ≠,故选D .考点:空间直角坐标系及点的坐标的确定,正投影图形的概念,三角形面积公式. 8.C 解析:C【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,设出动点的坐标,利用向量的坐标公式求出向量坐标,利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程,得到P 的轨迹是底面圆的弦,利用勾股定理求出弦长.【详解】建立空间直角坐标系.设A (0,﹣1,0),B (0,1,0),S (0,03M (0,0,3P (x ,y ,0). 于是有AM =(0,13MP =(x ,y ,3 由于AM ⊥MP ,所以(0,13•(x ,y ,30, 即y 34=,此为P 点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为2371()4-=.故选C .【点睛】本题考查通过建立坐标系,将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法.属中档题9.D解析:D【分析】建立空间直角坐标系,找到平面1B EF 的法向量,利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以1D 为坐标原点,分别以11D A ,11D C ,1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则1(2,2,0)B ,1(0,2,0)C ,(2,1,2)E ,(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =,1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =,得(2,2,1)n =.又11(2,0,0)BC =-,∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||2200|43||221n B C h n ⋅-⨯++===++, 故选:D .【点睛】 本题用向量法求点到平面的距离,我们也可以用等体积法求点到平面的距离,当然也可以找到这个垂线段,然后放在直角三角形中去求.10.C解析:C【分析】若要使MN 最短,点N 必须落在平面ABCD 内,且一定在DN 的连线上,此时应满足,,,D N M Q 四点共线,通过几何关系即可求解【详解】如图,当点N 落在平面ABCD 内,且,,,D N M Q 四点共线时,MN 距离应该最小,由PM 5=1MQ =,即点M 在以Q 为圆心,半径为1的圆上,由几何关系求得5DQ ,1DN MQ ==,故552NM DN MQ -=故答案选:C【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值,属于中档题11.B解析:B【分析】如图建立空间直角坐标系,可证明1A D ⊥平面11ABC D ,故平面11ABC D 的一个法向量为:1DA ,利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间直角坐标系,则:1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=-- 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥,又11AD A D ⊥,1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为:1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为: 1111||22||2OD DA d DA ⋅===故选:B【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示,考查了学生空间想象,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.12.D解析:D 【分析】作AC x ⊥轴于C ,BD x ⊥轴于D ,则AB AC CD DB =++,两边平方后代入数量积即可求得2||AB ,则AB 的长可求.【详解】如图,()2,3A -,()3,2B -,作AC x ⊥轴于C ,BD x ⊥轴于D ,则()2,0C -,()3,0D ,3AC ∴=,5CD =,2DB =,沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角,CA ∴<,60DB >=︒,且0AC CD CD DB ⋅=⋅=,222||()AB AB AC CD DB ∴==++ 222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 42AB ∴=即AB 的长为42故选:D .【点睛】本题主要考查了空间角,向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 二、填空题13.【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC 的中点F 连结DF 则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析:0【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.【详解】如图,取BC 的中点F ,连结DF ,则23DF DE =, ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14.【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1 解析:2π 【解析】连结A 1B ,∵AA 1⊥面ABC ,平面A 1B 1C 1∥面ABC ,∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1,∴AA 1⊥A 1C 1,∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形,AB ⊥AC ,∴A 1B 1⊥A 1C 1,∵A 1B 1∩AA 1=A 1,∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ,又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ,∴A 1C 1⊥AB 1,∵矩形AA 1B 1B 中,AA 1=AB ,∴四边形AA 1B 1B 为正方形,可得A 1B ⊥AB 1,∵A 1B∩A 1C 1=A 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1,结合BC 1⊂平面A 1BC 1,可得AB 1⊥BC 1,即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π. 故答案为2π.15.【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴即∴则∴故答案为解析:22【解析】∵向量(21,3)a m =+与(2,)b m =是共线向量∴(21)6m m +=∴32m =或2m =- ∵0a b ⋅<∴(21)230m m +⨯+<,即27m <-∴2m =-,则(2,2)b =-∴22(b =+=故答案为16.【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x =5y =13z =-3故D(513-3)解析:(5,13,3)-【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知,AC 的中点即为BD 的中点,AC 的中点7(,4,1)2O - ,设D (x ,y ,z ), 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x =5,y =13,z =-3,故D (5,13,-3).17.【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析:13【分析】以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度,即为所求.【详解】由题意可知,线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ,所以,()1,1,0AC =-,()10,1,2=DC ,()1,0,0DA =,设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥,1⊥n DC ,由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩,取2y =,则2x =,1z =-, 可得()2,2,1n =-, 因此,min 23DA n PQ n ⋅==. 故答案为:23. 【点睛】 关键点点睛:解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离,实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度,利用空间向量法求出两条异面直线间的距离,首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标,再利用距离公式求解即可. 18.【解析】∵∴∴故答案为解析:111,,633【解析】∵ O G OM MG =+,12OM OA =,2 ,3MG MN MN ON OM ==-,1 ()2ON OB OC =+,∴111 633OG OA OB OC =++,∴16x =,13y z ==,故答案为111,,63319.【解析】距离【解析】距离d ==20.【解析】分析:设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解:设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛:本题主要考查空间两点的距离余弦定解析:)【解析】分析:设AB 的中点为D ,连接,,VD CD VC ,由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠,利用三角函数的有界性可得结果. 详解:设AB 的中点为D ,连接,,VD CD VC ,则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角,可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<,在三角形VDC 中由余弦定理可得,2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<,即VC 的取值范围是(),为故答案为().点睛:本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用,意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用,属于中档题. 三、解答题21.答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标,设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤,进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标,利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅;若选① :利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解;若选② :利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果;若选③ :利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解:由题意,正方体1111ABCD A BC D -棱长为2,则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ,设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤,则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-, 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.选择①:()()DE CF DE CF +⊥-,所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==,得a b =,若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=, 则1a b ==,故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ,满足10EF AC ⋅=,826AE BF b ⋅=-=. 选择②:因为17||2DE =,=, 得12a =, 若10EF AC ⋅=, 即42()0a b -+=,得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 满足10EF AC ⋅=,825AE BF b ⋅=-=. 选择③:因为0cos ,1EF DB <〈〉<,所以EF 与DB 不共线,所以2b a ≠-,即2a b +≠,则142()0EF AC a b ⋅=-+≠,故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛:建立空间坐标系,利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.22.(1)详见解析;(2)66. 【分析】(1)根据四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形,得到11,AA AB AA AD ⊥⊥,再由线面垂直的判定定理证得1AA ⊥平面ABCD ,然后利用面面垂直的判定定理证明.(2)以A 为原点,以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,求得平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =,又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =,然后由cos ,m n m n m n ⋅=⋅求解.【详解】 (1)因为四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.所以11,,AA AB AA AD AB AD A ⊥⊥⋂=,所以1AA ⊥平面ABCD ;又因为1AA ⊂平面ABB 1A 1,所以平面ABB 1A 1平面ABCD ;(2)以A 为原点,以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系:则()()()()10,0,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2A C D B ,所以()()12,1,0,0,1,2CD CB =-=-,设平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =, 则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩, 令1,2,1x y z ===,则()1,2,1m =,又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =,所以16cos ,66m nm n m n ⋅===⋅, 二面角B 1CD-A 的余弦值是66【点睛】 方法点睛:求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.23.(1)证明见解析;(2)2211. 【分析】(1)取SC 的中点F ,连接,DF EF ,证明四边形ADFE 为平行四边形,可得//AE DF ,即可证//AE 平面SCD ;(2)建立如图所示空间直角坐标系,然后写出各点坐标,得平面ABE 的法向量为AD ,计算平面ACE 的法向量m ,利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.【详解】(1)证明:取SC 的中点F ,连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点,所以//EF BC 且132EF BC ==,又因为//AD BC ,3AD =,6BC =,所以//EF AD 且EF AD =,所以四边形ADFE 为平行四边形,所以//AE DF ,又AE ⊄平面SCD ,DF ⊂平面SCD ,所以//AE 平面SCD . (2)因为SA ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,所以建立如图所示空间直角坐标系, 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ,(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===,(0,3,0)AD = 由题意可知AD ⊥平面ABE ,设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩,得(3,2,3)m =-- 设二面角B AE C --的平面角为θ, 所以622cos cos ,322AD m θAD m AD m ⋅-====⨯,所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化,通过中位线平行证明线线平行,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.24.(1)证明见解析(2)22(3)155 【分析】(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥,再由菱形性质可得AC BD ⊥,即可证明BD ⊥平面POC ,可得PC BD ⊥;(2)先证明OP ⊥平面ABCD ,可以O 为原点,以OB ,OC ,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系,利用向量法求线面角;(3)由(2)利用向量法求二面角的余弦值.【详解】(1)设,AC BD 交点为O ,连接PO ,ABCD 是边长为2的菱形,,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点,,PD O B BD P P =∴⊥,又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ,PO AC O =,BD ∴⊥平面POC ,PC ⊂平面POC ,.C BD P ∴⊥(2)60,2,A D B D A A B ︒===∠ABD ∴是等边三角形,又AB PB PD ==PBD ∴是等边三角形, 3P OA O ∴== 222OP PA OA +∴=,OA OP ∴⊥又,OP OB OA OB O ⊥⋂=OP ∴⊥平面ABCD ,以O 为原点,以OB ,OC ,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则(1,0,0),3,0),3)B C P ,(0,3,3PC ∴=-,而3,0)OC →=是平面 PBD 的一个法向量,设直线PC 与平面PBD 所成角为θ, 则||2sin 263|||||PC OC PC OC θ→→→→⋅===⋅ 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为22. (3)由(2)知(3,0)BC →=-,(3,3PC =-设平面BPC 的法向量n (x,y,z)→=, 则.0.0n PC n BC ⎧=⎨=⎩,33030y z x y ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩, 令1y =,得3,1x z ==,所以(3,1,1)n →=,又BD ⊥平面EPC , (1,0,0)m ∴=是平面 EPC 的一个法向量,315cos ,||||515m n m n m n ⋅∴〈〉===⋅⋅, ∴二面角B PC E --的余弦值为155. 【点睛】关键点点睛:根据题目所给条件,利用平面几何知识证明OA OP ⊥,再根据OP OB ⊥,证明OP ⊥平面ABCD ,得以O 为原点,以OB ,OC ,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.25.(1)点M 在CE 的中点处,证明见解析;(2)32. 【分析】(1)首先观察图形的特征,确定点M 的位置,之后利用线面平行的判定定理证明即可; (2)建立空间直角坐标系,设出边长,写出点的坐标,利用向量法求得线面角的正弦值.【详解】(1)点M 在CE 的中点处,证明如下:取BC 中点P ,连接,BP AP ,根据题意,可知//,PM AF PM AF =,所以四边形AFMP 是平行四边形,所以//AP MF ,又因为FM ⊄平面ABCD ,AP ⊂平面ABCD ,所以//MF 平面ABCD ;(2)设1AF AB AD ===,如图建立空间直角坐标系,则有1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,),(0,0,0)2D F M B ,所以(0,1,1)DF =-,1(1,1,0),(0,1,)2BF BM ==,设平面BFM 的法向量为(,,)n x y z =, 则有00n BF n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取1y =,则有1,2x z =-=-, 所以平面BFM 的一个法向量为(1,1,2)n =--, 所以03cos ,26DF nDF n DF n ⋅+<>===⋅, 所以直线DF 与平面BFM 3 【点睛】 思路点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,解题思路如下:(1)首先根据图形的特征,判断出点的位置,之后利用线面平行的判定定理证明即可; (2)在证明的过程中,注意线在面外和线在面内的条件;(3)建立空间直角坐标系,求得平面的法向量和直线的方向向量;(4)利用向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.26.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)3913. 【分析】(Ⅰ)取AD 的中点G ,连结PG 、GB 、BD ,根据PA PD =和ABD △是正三角形,证明AD ⊥平面PGB 即可.(Ⅱ)根据侧面PAD ⊥底面ABCD ,PG AD ⊥,易得直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直,以G 为原点,直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系G xyz -,求得平面PBC 的一个法向量()000,,n x y z =,再由平面PAD 的一个法向量1(0,3,0)n GB a ==,设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,由11cos ||n n n n θ⋅=⋅求解. 【详解】(Ⅰ)如图所示:取AD 的中点G ,连结PG 、GB 、BD .PA PD =,PG AD ∴⊥AB AD =,且60DAB ∠=︒,ABD ∴是正三角形,BG AD ⊥,又PG BG G =,AD ∴⊥平面PGB .AD PB ∴⊥(Ⅱ)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,又PG AD ⊥,PG ∴⊥底面ABCD .PG BG ∴⊥.∴直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直,故以G 为原点,直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -.设PG a =,则可求得(0,0,)P a ,(,0,0)A a ,3,0)B a ,(,0,0)D a -,33,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 33,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭.(0,3,)PB a a ∴=-. 设()000,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量,则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=.0000330,230.ax ay az ⎧-=⎪∴⎪-=⎩解得00003,3.x y z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 取03y =(1,3,3)n =-.又∵平面PAD 的一个法向量13,0)n GB a ==,设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ, 则1139cos ||1393n n n n aθ⋅===⋅++⋅ 所以平面PAD 与平面PBC 39 【点睛】 方法点睛:求二面角最常用的方法:1、几何法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.向量法:分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.。
高中数学选修1-2学业分层测评1
学业分层测评(一)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.为了考查两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s,对变量y的观测数据的平均数都为t,那么下列说法中正确的是()
A.直线l1和l2都过点(s,t)
B.直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t)
C.直线l1和l2必平行
D.直线l1和l2必重合
【解析】线性回归方程y=bx+a恒过点(x,y),故直线l1和l2都过点(s,t).
【答案】 A
2.已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y=0.577x-0.448,如果某人36岁,那么这个人的脂肪含量()
A.一定是20.3%
B.在20.3%附近的可能性比较大
C.无任何参考数据
D.以上解释都无道理
【解析】将x=36代入回归方程得y=0.577×36-0.448≈20.3.由回归分析的意义知,这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大,故选B.【答案】 B
3.关于回归分析,下列说法错误的是()
A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B.线性相关系数可以是正的或负的。
2016-2017学年高二数学北师大版必修四学业分层测评:第1章 §7 正切函数 Word版含解析
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.若cot α=m ,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α=( )A .mB .-mC .1mD .-1m【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cot α=m . 【答案】 A2.函数y =2 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4的定义域是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π-π4,k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2+3π8,k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π+3π4,k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2+π8,k ∈Z【解析】 由2x -π4≠k π+π2,得x ≠k π2+3π8,k ∈Z ,所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2+3π8. 【答案】 B3.(2016·合肥高一检测)下列不等式正确的是( ) A .tan 4π7>tan 3π7B .tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12π5C.1tan 4 <1tan 3D.1tan 281°<1tan 665°【解析】 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13π4=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12π5=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π5,而-π2<-2π5<-π4<π2,y =tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上是增加的,故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π5,即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12π5.【答案】 B4.函数y =tan(sin x )的值域是( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,22C .[-tan 1,tan 1]D .[-1,1]【解析】 sin x ∈[-1,1],又-π2<-1<1<π2,且y =tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上是增加的,所以y min =tan(-1)=-tan 1,y max =tan 1.【答案】 C5.直线y =a (常数)与正切曲线y =tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A .πB .2πC.π|ω|D .与a 值有关【解析】 两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期,因而距离为 π|ω|. 【答案】 C 二、填空题 6.函数y =3-tan x 的定义域为________,值域为________.【导学号:66470024】【解析】 由⎩⎨⎧3-tan x ≥0,x ≠k π+π2,k ∈Z ,得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-π2+k π<x ≤π3+k π,k ∈Z,值域为{y |y ≥0}. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-π2+k π<x ≤π3+k π,k ∈Z{y |y ≥0}7.已知函数y =tan(2x +φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,0,则φ等于________.【解析】 由已知,可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12+φ=0,即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+φ=0,∴φ+π6=k π(k∈Z ),即φ=k π-π6(k ∈Z ).【答案】 -π6+k π(k ∈Z )8.化简:tan (α+π)tan (α+3π)tan (α-π)tan (-α-π)=________.【解析】 原式=tan α·tan αtan α·(-tan α)=-1.【答案】 -1 三、解答题9.已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45,-35. (1)求sin α的值;(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin (α+π)·tan (α-π)cos (3π-α)的值.【解】 (1)∵|OP |=⎝ ⎛⎭⎪⎫452+⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=1, ∴sin α=y |OP |=-351=-35.(2)原式=cos α-sin α·tan α-cos α=tan αsin α=sin αcos αsin α=1cos α.由余弦函数的定义,得cos α=45,故所求式子的值为54.10.已知函数f (x )=x 2+2x tan θ-1,x ∈[-1,3],其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.(1)当θ=-π6时,求函数f (x )的最大值与最小值;(2)求θ的取值范围,使y =f (x )在区间[-1,3]上是单调函数. 【解】 (1)当θ=-π6时,f (x )=x 2-233x -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -332-43,x ∈[-1,3].∴当x =33时,f (x )的最小值为-43; 当x =-1时,f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )=(x +tan θ)2-1-tan 2θ的图像的对称轴为x =-tan θ. ∴y =f (x )在区间[-1,3]上是单调函数, ∴-tan θ≤-1或-tan θ≥ 3. 即tan θ≥1或tan θ≤- 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴θ的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-π2,-π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4,π2. [能力提升]1.设a =sin 33°,b =cos 55°,c =tan 35°,则( )A .a >b >cB .b >c >aC .c >b >aD .c >a >b【解析】 b =cos 55°=sin 35°,又a =sin 33°,0°<33°<35°<90°, 所以y =sin x 在[0,90°]是增加的,所以sin 33°<sin 35°, 即b >a .tan 35°=sin 35°cos 35°,又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,所以tan 35°>sin 35°,故c >b >a . 【答案】 C2.已知f (α)=sin (π-α)cos (2π-α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α+3π2cos (-π-α),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-313π的值为( )A .12 B .-12 C.32D .-32【解析】 由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α+3π2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α+3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α+3π2 =-cos α-sin α=cos αsin α,所以f (α)=sin α·cos α·cos αsin α-cos α =-cos α,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-313π=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-313π=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-10π-π3=-cos π3=-12.【答案】 B3.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α-4π3=-5,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=________.【导学号:66470025】【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α-4π3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π-π3-α=-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=5.【答案】 54.设函数f (x )=tan(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,0<φ<π2,已知函数y =f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2,且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,0对称,求f (x )的解析式.【解】 由题意可知,函数f (x )的最小正周期T =π2,即πω=π2,∴ω=2,从而f (x )=tan(2x +φ).∵函数y =f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,0对称,∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8+φ=k π或π2+k π(k ∈Z ). 即φ=k π+π4或φ=k π+3π4(k ∈Z ).∵0<φ<π2, ∴φ=π4,故f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4.。
高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案 新人教B版选修2-1(2021年整理)
2016-2017学年高中数学3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2016-2017学年高中数学3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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3.1.4 空间向量的直角坐标运算1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点)3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.(难点、重点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的直角坐标运算阅读教材P89~P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容,完成下列问题.1.单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},这个基底叫做单位正交基底.单位向量i,j,k都叫做坐标向量.2.空间向量的直角坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量坐标运算法则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),a·b=a1b1+a2b2+a3b3.(2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则错误!=错误!-错误!=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).也就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是()A.a+b=(10,-5,-6)B.a-b=(2,-1,-6)C.a·b=10D.2a=(8,-4,-8)【解析】易验证A,B,C均不正确,D正确.【答案】D2.在空间直角坐标系中,若A(1,3,2),B(0,2,4),则向量错误!的坐标为______.【答案】(-1,-1,2)教材整理2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容,完成下列问题.a=(a,a2,a3),b=(b1,b2,b3)1平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔错误!(λ∈R)垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且k a+b与2a-b互相垂直,则k=()A.1 B.错误!C。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1.长方体1111ABCD A BC D -,110AB AA ==,25AD =,P 在左侧面11ADD A 上,已知P 到11A D 、1AA 的距离均为5,则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为( )A .六边形B .五边形C .四边形D .三角形2.如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABC ⊥平面BCD ,BAC 与BCD △均为直角三角形,且90BAC BCD ∠=∠=︒,AB AC =,112CD BC ==,点P 是线段AB 上的动点,若线段CD 上存在点Q ,使得异面直线PQ 与AD 成30的角,则线段PA 长的取值范围是( )A .2⎛ ⎝⎦B .6⎛ ⎝⎦C .(0,1]D .(2 3.正方体''''ABCD A B C D -棱长为6,点P 在棱AB 上,满足PA PB =,过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点,则EF =( )A .313B .95C .18D .214.如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下结论:①AN GC ⊥,②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ,④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .45.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,1AB AC AA ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点,平面AMN 与平面ABC 所成(锐)二面角为6π,当1B M 最小时,AMB ∠=( )A .512πB .3πC .4πD .6π 6.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A .26 B .36 C .56 D .137.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( )A .23B .33C .23D .138.如图,在正方体1111ABCD A B C D ﹣中,1A H ⊥平面11AB D ,垂足为H ,给出下面结论:①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等;②直线1A H 与该正方体各面所成角相等;③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形;④垂直于直线1A H 的平面截该正方体,所得截面可能为五边形,其中正确结论的序号为( )A .①③B .②④C .①②④D .①②③ 9.在直三棱柱111ABC A B C -中,1111122AA A B B C ==,且AB BC ⊥,点M 是11AC 的中点,则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A .13B .223C .324D .1210.下列命题中是真命题的是( )A .分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B .若a b =,则,a b 的长度相等而方向相同或相反C .若向量,AB CD ,满足AB CD >,且AB 与CD 同向,则AB CD >D .若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=,则//AB CD11.如图是由16个边长为1的菱形构成的图形,菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A .5-B .1-C .3-D .6- 12.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1,点E 为平面BCC 1B 1的中心,则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A .14B .13C 3D 23 二、填空题13.在长方体1111ABCD A BC D -中,若1AB BC ==,12AA =A 到平面11BD A 的距离为_______ .14.在三棱锥S -ABC 中,△ABC 是边长为6的正三角形,SA =SB =SC =15,平面DEFH 分别与AB ,BC ,SC ,SA 交于点D ,E ,F ,H.且D ,E 分别是AB ,BC 的中点,如果直线SB ∥平面DEFH ,那么四边形DEFH 的面积为________.15.已知四边形ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则顶点D 的坐标为________.16.已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--,点()1,3,0A --在平面α内,则点()2,1,4P -到平面α的距离为_________.17.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.18.如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,D 是棱1BC 上一点,且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ,则AD =_____________.19.正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2,若1AC 与底面ABCD 所成角为60°,则11AC 和底面ABCD 的距离是________20.已知60︒ 的二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB ,已知1AB = ,2AC = ,3BD = ,则线段CD 的长为__________.三、解答题21.已知直角梯形SBCD 中,//SD BC .BC CD ⊥,336SD BC CD ===,过点B 作//BA CD 交SD 于A (如图1),沿AB 把SAB 折起,使得二面角S AB C --为直二面角,连接SC ,E 为棱SC 上任意一点(如图2).(1)求证:平面EBD ⊥平面SAC ;(2)在棱SC 上是否存在点E ,使得二面角E BD S --的余弦值为223?若存在,求出点E 的位置;若不存在,请说明理由.22.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的,其中60BAD ∠=︒,22AB AD ==,45BAE GAD ∠=∠=︒.(Ⅰ)求证:平面ADG ⊥平面BDG ; (Ⅱ)求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.23.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面四边形ABCD 是一个菱形,3ABC π∠=,2AB =,23PA =(1)若Q 是线段PC 上的任意一点,证明:平面PAC ⊥平面QBD ;(2)求直线DB 与平面PBC 所成角θ的正弦值.24.如图,四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 为矩形,1DD ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是1BB ,1DC 的中点,1DA =,12DC DD ==.(1)求证://EF 平面ABCD ;(2)求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.25.如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形,对角线AC ,BD 交于点O ,4OA =,3OB =,4OP =,OP ⊥底面ABCD ,设点M 是PC 的中点.(1)直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值.(2)点A 到平面BDM 的距离.26.如图,在等腰直角三角形PAD 中,90A ∠=︒,8AD =,3AB =,B ,C 分别是PA ,PD 上的点,且//AD BC ,M ,N 分别为BP ,CD 的中点,现将BCP 沿BC 折起,得到四棱锥P ABCD -,连结MN .(1)证明://MN 平面PAD ;(2)在翻折的过程中,当4PA =时,求二面角B PC D --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点,再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ,过F 作//EF QM ,交1BB 于E ,即可判断截面形状.【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ,()125,10,10AC ∴=--, 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ,则()20,0,5Q PQ x =-, ()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=,解得18Q x =,即()18,0,10Q ,设截面与AD 交于(),0,0M M x ,则()20,0,5M PM x =--,()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=,解得22Mx =,即()22,0,0M , 设截面与AB 交于()25,,0N N y ,则()3,,0N MN y =,1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=,解得7.5Ny =,即()25,7.5,0N , 过Q 作//QF MN ,交11B C 于F ,设(),10,10F F x ,则()18,10,0F QF x =-, 则存在λ使得QF MN λ=,即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=,解得22F x =,故F 在线段11B C 上,过F 作//EF QM ,交1BB 于E ,设()25,10,E E z ,则()3,0,10E EF z =--,则存在μ使得EF QM μ=,即()()3,0,104,0,10E z μ--=-,解得 2.5E z =,故E 在线段1BB 上,综上,可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF .故选:B.【点睛】本题考查截面的形状的判断,解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点,即可利用平面的性质找出其它点的位置.2.C解析:C【分析】以C 为原点,CD 为x 轴,CB 为y 轴,过C 作平面BCD 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出PA 长的取值范围.【详解】如图,以C 为原点,CD 为x 轴,CB 为y 轴,过C 作平面BCD 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ,设(),0,0Q q ()01q ≤≤,设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤,则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---,(1,1,1)AD =--,异面直线PQ 与AD 成30的角,||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅, 22182516q q λ∴+=-+,201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈,即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩,解得22λ-≤≤, 01,0λλ<≤∴<≤, 可得||||2(0,1]PA AP λ===∈.故选:C.【点睛】利用向量求解空间角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.3.C解析:C【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可.【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩. 故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则18EF ==.故选:C【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.4.C解析:C【分析】根据题意画出正方体直观图,建立空间直角坐标系,计算0AN GC ⋅=,由此判断①正确.根据线线角的知识,判断②正确.根据线线的位置关系,判断③错误.根据二面角的知识,判断④正确.【详解】画出正方体的直观图,如下图所示,设正方体边长为2,以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ,所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=,所以AN GC ⊥,故①正确.由于//EN AC ,所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠,而在FAC ∆中,AF FC CA ==,也即FAC ∆是等边三角形,故60FCA ∠=,所以②正确.由于//EN AC ,而AC 与BD 相交,故,BD MN 不平行,③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥,所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形,所以45EBF ∠=,故④正确.综上所述,正确的命题个数为3个.故选:C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断,属于中档题.5.B解析:B 【分析】以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AMB ∠的大小. 【详解】以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 设1=1AB AC AA ==,设CN b =,BM a =,则(1N ,0,)b ,(0M ,1,)a ,(0A ,0,0),(0B ,1,0),(0AM =,1,)a ,(1AN =,0,)b , 设平面AMN 的法向量(n x =,y ,)z ,·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩,取1z =,得(n b =-,a -,1), 平面ABC 的法向量(0m =,0,1),平面AMN 与平面ABC 所成(锐)二面角为6π, 22||cos6||||1m n m n a b π∴==++, 解得22331a b +=,∴当|1|B M 最小时,0b =,3BM a ==1tan 333AB AMB BM ∴∠===, 3AMB π∴∠=.故选B .【点睛】本题考查角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.6.A解析:A 【分析】以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26. 【详解】以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则A (2,0,0),E (0,2,1),D 1(0,0,2),C (0,2,0), ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos <1,AE DC >=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26. 故选A . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.A解析:A 【详解】试题分析:设1AB =112,5BD BC DC ∴===, 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点:线面角8.D解析:D 【解析】 【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1,直线A 1H 与直线A 1C 重合,结合线线角和线面角的定义,可判断①②;由四边形A 1ACC 1为矩形,可判断③;由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行,可判断④. 【详解】如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,A 1H ⊥平面AB 1D 1,垂足为H , 连接A 1C ,可得A 1C ⊥AB 1,A 1C ⊥AD 1,即有A 1C ⊥平面AB 1D 1, 直线A 1H 与直线A 1C 重合,直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等,均为2①正确; 直线A 1H 与该正方体各面所成角相等,均为2②正确; 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形,故③正确; 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行,截该正方体, 所得截面为三角形或六边形,不可能为五边形.故④错误. 故选:D . 【点睛】本题考查线线角和线面角的求法,以及正方体的截面的形状,考查数形结合思想和空间想象能力,属于中档题.9.B解析:B 【分析】以B 为原点,BA 为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系,求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,()10,? 02AA =,,利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB与1AA 所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中,1111122AA A B B C ==,且AB BC ⊥,点M 是11AC ,∴以B 为原点,BA 为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系,设11111222AA A B B C ===, 则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭,(0,00B ,),(1,00A ,),1(1,02A ,),11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,1(0,02AA ,)=, 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ,则11cos 18MB AA MB AA θ⋅===⋅ ∴异面直线MB 与1AA B .【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解.10. D解析:D 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共面,选项A 错误; 因为a b =仅表示a 与b 的模相等,与方向无关,选项B 错误;因为空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有AB CD >这种写法,选项C 错误;∵0AB CD +=,∴AB CD =-,∴AB 与CD 共线,故AB //CD ,选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质,向量模的定义的理解,向量共线的定义及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.B解析:B 【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ,则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=,2a AB m n ==+,32b CD m n ==-+,()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-,故选B. 12.B解析:B 【分析】如图所示,建立空间之间坐标系,设正方体边长为1,则()0,0,0D ,11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =,计算夹角得到答案. 【详解】如图所示,建立空间之间坐标系,设正方体边长为1,则()0,0,0D ,11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =,11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅,故1sin 3α=, 直线DE 与平面ACD 1所成角θ,满足1cos sin 3θα==. 故选:B .【点睛】本题考查了线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13.【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为:【点睛】本题主要考查了 解析:63【分析】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法,即可求解A 到平面11BD A 的距离 【详解】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系, 则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-, 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =,则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩,取1z =,得(0,2,1)n =, 所以A 到平面11BD A 的距离2633n BA d n⋅===. 故答案为:63.【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法,其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用,合理利用空间向量运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14.【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角解析:452【解析】 【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DH SB ,从而H 为SA 中点,同理可得F 为SC 中点,再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥,故四边形HDEF 为矩形,从而可计算其面积. 【详解】因为SA SB SC ==,故S 在底面上的射影为底面三角形的外心,又ABC ∆为等边三角形,故S 在底面上的射影为底面三角形的中心,所以三棱锥S ABC -为正三棱锥,所以SB AC ⊥.因SB 平面DEFH ,SB ⊂平面ABS ,平面ABS平面DEFH DH =,故SB DH ,因AD DB =,故AH HS =,1,2DH BS DH BS =,同理1,2EF BS EF BS =, 故,DHEF DH EF =,所以四边形DEFH 为平行四边形,又由,D E 为中点可得DE AC ,故DH DE ⊥,故四边形DEFH 为矩形.又153,2DE DH ==,故矩形DEFH 的面积为452. 【点睛】(1)正三棱锥中,对棱是相互垂直的,且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心. (2)通过线面平行可以得到线线平行,注意利用线面平行这个条件时,要合理构建过已知直线的平面(该平面与已知平面有交线).15.【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x =5y =13z =-3故D(513-3)解析:(5,13,3)- 【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知,AC 的中点即为BD 的中点,AC 的中点7(,4,1)2O - ,设D (x ,y ,z ), 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x =5,y =13,z =-3,故D (5,13,-3).16.【分析】由题意算出根据向量是平面的一个法向量算出向量在上的投影的绝对值即可得到到的距离【详解】解:根据题意可得又平面的一个法向量点A 在内到的距离等于向量在上的投影的绝对值即故答案为:【点睛】本题给出解析:23【分析】由题意算出()1,4,4AP =-,根据向量()2,2,1n =--是平面α的一个法向量,算出向量AP 在n 上的投影的绝对值,即可得到P 到α的距离. 【详解】解:根据题意,可得()()1,3,0,1,4,2A P ---, ()1,4,4AP =-,又平面α的一个法向量()2,2,1n =--,点A 在α内,()2,1,4P ∴-到α的距离等于向量AP 在n 上的投影的绝对值, ()()1242412P n A -⨯-+⨯-∴⨯=-=+即(232AP n d n ===- 故答案为:23【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点,求平面外一点到平面的距离;着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识,属于中档题.17.【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值. 【解析】如图,将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称,则1EC 就是所求的最小值,1EC ===. 18.【解析】试题分析:考点:平面向量基本定理解析:122333a b c ++【解析】 试题分析:()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+=++=+-+ ()21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点:平面向量基本定理19.【解析】分析:确定A1C1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解:∵正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1∴平面ABCD ∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B解析: 【解析】分析:确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高,即可求得结论. 详解:∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1, ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1, ∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1, ∴A 1C 1∥平面ABCD∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,AC 1与底面ABCD 成60°角,∴A 1A=22tan60°=26 故答案为26.点睛:本题考查线面距离,确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键.如果直线和已知的平面是平行的,可以将直线和平面的距离,转化为直线上一点到平面的距离.20.【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为: 解析:22【解析】根据题意画图,由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++1421462 2.CA BD =+⋅=-=故答案为:22三、解答题21.(1)证明见解析;(2)存在,点E 为棱SC 的中点. 【分析】(1)由翻折的性质结合二面角的定义可得SA AD ⊥,再由线面垂直的判定与性质可得SA BD ⊥,再结合平面几何的知识可得BD AC ⊥,进而可得BD ⊥平面SAC ,结合面面垂直的判定即可得证;(2)建立空间直角坐标系,表示点()2,2,44E λλλ-,由线面垂直的性质结合二面角的定义可得SOE ∠为二面角E BD S --的平面角,再由22cos 3OS OE SOE OS OE⋅∠==⋅可得解. 【详解】(1)证明:由翻折的性质可知:SA AB ⊥,AD AB ⊥, 所以SAD ∠为二面角S AB C --的平面角, 又因为二面角S AB C --为直二面角, 所以90SAD ∠=︒,即SA AD ⊥,又AB AD A ⋂=,所以SA ⊥平面ABCD ,所以SA BD ⊥,由题意可知四边形ABCD 为正方形,所以BD AC ⊥,又因为AC SA A ⋂=,所以BD ⊥平面SAC ,又BD ⊂平面EBD ,所以平面EBD ⊥平面SAC ;(2)存在;连接,OS OE ,以A 为原点,AB ,AD ,AS 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间坐标系,如图,则()2,0,0B ,()0,2,0D ,()2,2,0C ,()0,0,4S ,又知点E 在线段SC 上, 设()2,2,4SE λSC λλλ==-(01λ≤≤),因此()2,2,44E λλλ-,又因为()1,1,0O ,所以()1,1,4OS =--,()21,21,44OE λλλ=---,由BD ⊥平面SAC 可得OE BD ⊥,OS BD ⊥,所以SOE ∠为二面角E BD S --的平面角, 所以()()22121244422cos 33222144λλλOS OESOE OS OE λλ-+-+-⋅∠===⋅⋅-+- 即29102244018λλλ-=-+,解得12λ=或92λ=, 因为01λ≤≤,所以12λ=, 即棱SC 上存在点E ,使得二面角E BD S --的余弦值为23, 此时点E 为棱SC 的中点.【点睛】关键点点睛:(1)利用空间位置关系的判定与性质判定面面垂直; (2)由二面角的定义找到二面角的平面角,建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量解决夹角问题.22.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)7【分析】 (Ⅰ)证明:AD DB ⊥,GD DB ⊥,即可证明BD ⊥平面ADG ,从而得到平面ADG ⊥平面BDG ;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.【详解】(Ⅰ)证明:在BAD 中,22AB AD ==,60BAD ∠=︒.由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒,BD ,222AB AD DB =+,AD DB ∴⊥,在直平行六面体中,GD ⊥平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD ,GD DB ∴⊥,又AD GD D =,,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG .又因为BD ⊂平面BDG ,所以平面ADG ⊥平面BDG ;(Ⅱ)解:如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -,45BAE GAD ∠=∠=︒,22AB AD ==,(1A ∴,0,0),(0,3,0)B ,E ,(0G ,0,1),(1AE =-,(1,0,1)AG =-,(0,1)GB =-,设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =,·20·0n AE x z n AG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =,得3y =,1z =, ∴3(1,3n =-, 设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ, ∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==,所以直线GB 与平面AEFG .【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.23.(1)证明见解析;(25. 【分析】(1)通过证明,PA BD AC BD ⊥⊥证得BD ⊥平面PAC ,由此证得平面PAC ⊥平面QBD .(2)建立空间直角坐标系,利用直线DB 的方向向量和平面PBC 的法向量,计算出直线DB 与平面PBC 所成角θ的正弦值.【详解】(1)证明:PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂面ABCD ,PA BD ∴⊥,底面ABCD 是一个菱形,AC BD ∴⊥,又AC PA A ⋂=,BD ∴⊥平面PAC ,BD ⊂平面QBD ,∴平面PAC ⊥平面QBD .(2)设AC BD O =,取PC 中点E ,连结OE ,则//OE PA ,故OE AC ⊥, 如图,建立空间直角坐标系, 则(3,0,0)B ,(0,1,0)C ,(3,0,0)D -,(0,1,23)P -,(3,1,0)CB ∴=-,(0,2,23)CP =-,(23,0,0)DB =,设(,,)m x y z =为平面PBC 的一个法向量,则302230m CB x y m CP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 取3y =(1,3,1)m =,5cos ,5m m n nDB m ⋅∴<>==⋅,5sin |cos ,|5m DB θ∴=<>=.【点睛】在利用向量法计算线面角时,要注意利用公式计算所得为线面角的正弦值,而不是余弦值. 24.(1)证明见解析;(210 【分析】(1)取CD 的中点G ,连接FG ,BG ,证明四边形FGBE 是平行四边形得出//EF BG 即可证明;(2)以点D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出1DC 和平面EAD 的法向量,利用向量关系即可求出.【详解】 解:(1)证明:取CD 的中点G ,连接FG ,BG .因为F 是1DC 的中点,所以1FG//CC ,112FG CC =. 因为E 是1BB 的中点,所以1//EB CC ,112EB CC =. 所以//FG EB ,FG EB =.所以四边形FGBE 是平行四边形.所以//EF BG .因为EF ⊄平面ABCD ,BG ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD .(2)因为底面ABCD 为矩形,1DD ⊥平面ABCD ,所以DA DC ⊥,1DD DA ⊥,1DD DC ⊥.以点D 为坐标原点,分别以直线DA ,DC ,1DD 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .因为1DA =,12DC DD ==,所以()0,0,0D ,()1,0,0A ,()1,2,1E ,()10,2,2C .所以()1,0,0DA =,()1,2,1DE =,()10,2,2DC =.设平面EAD 的法向量为(),,n x y z =,所以00n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020x x y z =⎧⎨++=⎩, 令1y =,则2z =-.所以()0,1,2n =-. 所以1210cos ,225DC n -==⨯ 所以直线1DC 与平面EAD 10 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.25.(1)225;(2)22 【分析】(1)根据题意可知OA ,OB ,OP 两两垂直,建立空间直角坐标系,根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标,再根据线面夹角的向量法,代入公式可得最后答案.(2)根据(1)可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标,根据公式n n AM ⋅,即可求出点A 到平面BDM 的距离.(1)∵四边形ABCD 为菱形,AC BD ∴⊥,又OP ⊥面ABCD ,OA ∴,OB ,OP 两两垂直,∴以OA 为x 轴,OB 为y 轴,OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,根据题可知4OA =,3OB =,4OP =,且M 为PC 中点,(4,0,0)A ∴,(0,3,0)B ,(0,3,0)D -,(0,0,4)P ,(4,0,0)C -,(2,0,2)M -, (0,3,4)PB ∴=-,(2,3,2)BM =--,(0,6,0)BD =-,设面BDM 的法向量为(),,n x y z =,00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩,232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩,0y ∴=,令1x =,则1z =,()1,0,1n ∴=, 422cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅, ∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25; (2)由(1)可知(6,0,2)AM =-,面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =,∴点A 到平面BDM 的距离4|||cos |22||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为22【点睛】方法点睛:(1)求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法:建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PB n PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解; (2)求点A 到平面BDM 的距离用向量法:建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.26.(1)证明见解析;(2)63-.(1)取AB 的中点E ,连结EM ,EN ,根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理,先证明平面//MNE 平面PAD ,进而可证//MN 平面PAD ;(2)根据题中条件,以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,分别求出两平面的法向量,由向量夹角公式,即可求出结果.【详解】(1)证明:在四棱锥P ABCD -中,取AB 的中点E ,连结EM ,EN .因为M ,N 分别为BP ,CD 的中点,//AD BC .所以//ME PA ,//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ,ME ⊄平面PAD ,所以//ME 平面PAD ,同理,//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=,ME 、NE ⊂平面MNE ,所以平面//MNE 平面PAD .因为MN ⊂平面MNE ,所以//MN 平面PAD ;(2)因为在等腰直角三角形PAD 中,90A ∠=︒,//AD BC ,所以BC PA ⊥,即在四棱锥P ABCD -中,BC PB ⊥,BC AB ⊥.因为//AD BC ,所以AD PB ⊥,AD AB ⊥,因为PB AB B ⋂=,PB 、AB 平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,所以PA AD ⊥. 又因为8AD =,3AB =,4PA =,所以5PB =.所以222AB PA PB +=,所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则()3,0,0B ,()0,0,4P ,()0,8,0D ,()3,5,0C ,所以(3,0,4)PB =-,(3,5,4)PC =-,(0,4)8,PD =-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量,则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩, 令14x =,得1(4,0,3)n =;设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量,则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩, 令21y =,得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,4n n n n nn ⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角,所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】方法点睛:立体几何体中空间角的求法:(1)定义法:根据空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的定义,通过作辅助线,在几何体中作出空间角,再解对应三角形,即可得出结果;(2)空间向量的方法:建立适当的空间直角坐标系,求出直线的方向向量,平面的法向量,通过计算向量夹角(两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角)的余弦值,来求空间角即可.。
2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案:1.2.1 条件概率与独立事件 Word版含解析
§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件1.了解条件概率的概念及计算.(重点)2.理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式.(重点)3.掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 条件概率阅读教材P 17~P 18部分,完成下列问题.1.概念已知事件B 发生的条件下,A 发生的概率,称为B 发生时A 发生的条件概率,记为P (A |B ).2.公式当P (B )>0时,P (A |B )=.P (AB )P (B)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个数均为偶数”,则P (B |A )=( )A . B . 1814C . D .2512【解析】 从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法,事件A 包含(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个基本事件,事件B 包含(2,4)一个基本事件,故P (A )=,P (AB )=.所以P (B |A )==.410110P (AB )P (A )14【答案】 B教材整理2 相互独立事件阅读教材P 19“练习”以上部分,完成下列问题.1.定义对两个事件A ,B ,如果P (AB )=P (A )P (B ),则称A ,B 相互独立.2.性质如果A ,B 相互独立,则A 与,与B ,与也相互独立.B A A B 3.如果A 1,A 2,…,A n 相互独立,则有P (A 1A 2…A n )=P (A 1)P (A 2)…P (A n ).甲袋中装有2个白球,2个黑球,乙袋中装有2个白球,4个黑球,从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A .B .1625C .D .21556【解析】 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ,“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ,则事件A ,B 是相互独立事件,故P (AB )=P (A )P (B )=×=.242616【答案】 A[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_________________________________________解惑:___________________________________________________疑问2:___________________________________________________解惑:___________________________________________________疑问3:___________________________________________________解惑:___________________________________________________[小组合作型],条件概率 一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A ,事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ,B ,AB 发生的概率;(2)求P (B |A ).【精彩点拨】 解答本题可先求P (A ),P (B ),P (AB ),再用公式P (B |A )=求概率.P (AB )P (A )【自主解答】 由古典概型的概率公式可知:(1)P (A )=,25P (B )===,2×1+3×25×482025P (AB )==.2×15×4110(2)P (B |A )===.P (AB )P (A )1102514用定义法求条件概率P (B |A )的步骤是:(1)分析题意,弄清概率模型;(2)计算P (A ),P (AB );(3)代入公式求P (B |A )=.P (AB )P (A)[再练一题]1.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是( )A . B .1423C .D .1213【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能:(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).记事件A 为“其中一个是女孩”,事件B 为“另一个是女孩”,则A ={(男,女),(女,男),(女,女)},B ={(男,女),(女,男),(女,女)},AB ={(女,女)}.于是可知P (A )=,P (AB )=.问题是求在事件A 发生的情况下,事件B 发3414生的概率,即求P (B |A ),由条件概率公式,得P (B |A )==.143413【答案】 D,事件独立性的判断 判断下列各对事件是否是相互独立事件:(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.【精彩点拨】 利用相互独立事件的定义判断.【自主解答】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件58发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;47若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,57对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.判断两事件是否具有独立性的三种方法:(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:检验P (AB )=P (A )P (B )是否成立.(3)条件概率法:当P (A )>0时,可用P (B |A )=P (B )判断.[再练一题]2.(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A :“甲击中目标”,事件B :“乙击中目标”,则事件A 与事件B ( )A .相互独立但不互斥B .互斥但不相互独立C .相互独立且互斥D .既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次,设事件A :“出现偶数点”,事件B :“出现3点或6点”,则事件A ,B 的关系是( )A .互斥但不相互独立B .相互独立但不互斥C .互斥且相互独立D .既不相互独立也不互斥【解析】 (1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A 与B 相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A 与B 可能同时发生,所以事件A 与B 不是互斥事件.(2)事件A ={2,4,6},事件B ={3,6},事件AB ={6},基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}.所以P (A )==,P (B )==,P (AB )==×,即P (AB )=P (A )P (B ),因36122613161213此,事件A 与B 相互独立.当“出现6点”时,事件A ,B 同时发生,所以A ,B 不是互斥事件.【答案】 (1)A (2)B[探究共研型],相互独立事件同时发生的概率探究1 甲、乙同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求:甲、乙都未击中的概率.【提示】 记A =“甲击中”,B =“乙击中”,C =“甲、乙都没有击中”.由题意,甲击中与否并不影响乙,由此可认为A 与B 是相互独立的,则,A 也是相互独立的,则B P (C )=P ( )=P ()·P ()=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2.A B A B 探究2 上述问题中如何求敌机被击中的概率?【提示】 记D =“敌机被击中”,则P(D)=1-P()=1-0.2=0.8.A B 某商场推出两次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:【导学号:67720003】(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.明确已知事件的概率及其关系【精彩点拨】 →把待求事件的概率表示成已知事件的概率选择公式计算求值→【自主解答】 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.(1)由于两次抽奖结果互不影响,因此事件A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.B A(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)+(B)表示.由于事件A与B互斥,根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得,所求事B A件的概率为B A B AP(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.B(3)法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)+(A)+(A B AB)表示.由于事件AB,A和B两两互斥,根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得,所求事件的概率为P (AB )+P (A )+P (B )=0.002 5+0.095=0.097 5.B A 法二 1-P ( )=1-(1-0.05)2=0.097 5.A B 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P (AB )时注意事件A ,B 是否相互独立,求P (A +B )时同样应注意事件A ,B 是否互斥,对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路:(1)分类讨论;(2)求对立事件,利用P ()=1-P (A )来运算.A [再练一题]3.甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求:1314(1)两个人都破译出密码的概率;(2)两个人都破译不出密码的概率;(3)恰有一人破译出密码的概率;(4)至多一人破译出密码的概率;(5)至少一人破译出密码的概率.【解】 记事件A 为“甲独立地破译出密码”,事件B 为“乙独立地破译出密码”.(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )=P (A )P (B )=×=.1314112(2)两个人都破译不出密码的概率为P ( )=P ()P ()A B A B =[1-P (A )][1-P (B )]==.(1-13)(1-14)12(3)恰有一人破译出密码分为两类:甲破译出乙破译不出;乙破译出甲破译不出,即A +B ,B A ∴P (A +B )=P (A )+P (B )B A B A =P (A )P ()+P ()P (B )B A =×+×=.13(1-14)(1-13)14512(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码,∴1-P (AB )=1-=.1121112(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码,∴1-P ( )AB=1-=.1212[构建·体系]1.已知P (B |A )=,P (A )=,则P (AB )等于( )1325A . B . 56910C . D .215115【解析】 由P (B |A )=,得P (AB )P (AB )P (A )=P (B |A )·P (A )=×=.1325215【答案】 C2.一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( )A .1-a -bB .1-abC .(1-a )(1-b )D .1-(1-a )(1-b )【解析】 ∵2道工序相互独立,∴产品的正品率为(1-a )(1-b ).【答案】 C3.把一枚硬币投掷两次,事件A ={第一次出现正面},B ={第二次出现正面},则P (B |A )等于________.【解析】 P (AB )=,P (A )=,∴P (B |A )==.1412141212【答案】 124.在同一时间内,两个气象台预报天气准确的概率分别为,,两个气象91045台预报准确的概率互不影响,则在同一时间内,至少有一个气象台预报准确的概率为________.【解析】 P =1-=.(1-910)(1-45)4950【答案】 49505.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为,,,求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率.131223【解】 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ,B ,C ,则P (A )=,P (B )=,P (C )=.131223停车一次即为事件BC +A C +AB ,A B C 故概率为P =××+××+××=.(1-13)122313(1-12)231312(1-23)718我还有这些不足:(1) ___________________________________(2)___________________________________我的课下提升方案:(1) ___________________________________(2) ___________________________________学业分层测评(二) (建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.两人打靶,甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都中靶的概率是( )A .0.56B .0.48C .0.75D .0.6【解析】 设甲击中为事件A ,乙击中为事件B .∵A ,B 相互独立,则P (AB )=P (A )·P (B )=0.8×0.7=0.56.【答案】 A2.下列说法正确的是( )A .P (B |A )<P (AB )B .P (B |A )=是可能的P (B )P (A )C .0<P (B |A )<1D .P (A |A )=0【解析】 由条件概率公式P (B |A )=及0<P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB ),P (AB )P (A )故A 选项错误;当事件A 包含事件B 时,有P (AB )=P (B ),此时P (B |A )=,故B 选项正确,由于0≤P (B |A )≤1,P (A |A )=1,故C ,D 选项错P (B )P (A )误.故选B .【答案】 B3.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是( )A .B .110210C .D .810910【解析】 某人第一次失败,第二次成功的概率为P ==,所以9×110×9110选A .【答案】 A4.一袋中装有5只白球和3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与是( )A 2A .相互独立事件B .不相互独立事件C .互斥事件D .对立事件【解析】 由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”,即表示“第A 2A 2二次摸到的是黄球”,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球或白球互不影响,故事件A 1与是相互独立事件.A 2【答案】 A2.如图121,A ,B ,C 表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统的可靠性是( )图121A .0.504B .0.994C .0.496D .0.06【解析】 系统可靠即A ,B ,C 3种开关至少有一个能正常工作,则P =1-[1-P (A )][1-P (B )][1-P (C )]=1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.1×0.2×0.3=0.994.【答案】 B 二、填空题6.将两枚均匀的骰子各掷一次,已知点数不同,则有一个是6点的概率为________.【解析】 设掷两枚骰子点数不同记为事件A ,有一个是6点记为事件B .则P (B |A )==.2×53013【答案】 137.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】 设A =“两个闹钟至少有一个准时响”,∴P (A )=1-P ()=1-(1-0.80)×(1-0.90)A=1-0.2×0.1=0.98.【答案】 0.988.如图122,四边形EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”.则: 【导学号:67720004】图122(1)P (A )=________;(2)P (B |A )=________.【解析】 正方形的面积为2,圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,∴P (A )=.2π(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”,∴P (AB )=,12π∴P (B |A )==.P (AB )P (A )14【答案】 (1) (2)2π14三、解答题9.有红色、蓝色两颗骰子,设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”,设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”,求在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率.【解】 画示意图如图所示,横轴表示抛红骰子所得点数,纵轴表示抛蓝骰子所得点数.∴P (A )==,183612P (A ∩B )==,63616∴P (B |A )===.P (A ∩B )P (A )161213则在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为.1310.集合A ={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A 中任取一个数,若甲先取,乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.【解】 将甲抽到数字a ,乙抽到数字b ,记作(a ,b ),则所有可能的抽取结果为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30个.其中甲抽到奇数的情形有15个,在这15个数中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个,所以所求概率P ==.91535[能力提升]1.从甲口袋内摸出1个白球的概率是,从乙口袋内摸出1个白球的概率13是,从两个口袋内各摸出1个球,那么等于( )1256A .2个球都是白球的概率B .2个球都不是白球的概率C .2个球不都是白球的概率D .2个球中恰有1个是白球的概率【解析】 记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ,从乙口袋内摸出1个白球为事件B ,则A ,B 是独立事件,于是P (AB )=P (A )P (B )=×=,它表示从131216甲、乙口袋中摸出来的都是白球,故为2个球不都是白球的概率.56【答案】 C2.如图123,已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立,灯亮的12概率为( )图123A . B .31634C .D .131614【解析】 因为灯不亮的概率为××1212(1-12×12)=,所以灯亮的概率为1-=.3163161316【答案】 C3.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A ,则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】 设第1次抽到A 为事件M ,第2次也抽到A 为事件N ,则MN 表示两次都抽到A ,P (M )==,452113P (MN )==,4×352×51113×17P (N |M )==.P (MN )P (M )117【答案】 1174.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且455623三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率.【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,4556(1-23)29只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,45(1-56)23445只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,(1-45)562319∴恰有两个项目成功的概率为++=.29445191945(2)三个项目全部失败的概率为××=,(1-45)(1-56)(1-23)190∴至少有一个项目成功的概率为1-=.1908990。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1.若圆锥曲线C :221x my +=的离心率为2,则m =( )A .BC .13-D .132.若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为( )A B C D 3.(),0F c 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点,过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点,若2PQ c =,则椭圆的离心率为( )A .12B 1C D 4.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ,斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ,B 两点,且2ABF 的内切圆的面积是π,若椭圆C 离心率的取值范围为[42,,则线段AB 的长度的取值范围是( )A .B .[1 , 2]C .[4 8],D .5.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,M 为E 上一点.若126MF F π∠=,21212F F F M F F +=,则E 的离心率为( )A B C 1 D 16.已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点,则a =( )A B .C .2D .47.已知抛物线22y px =(0p >)的焦点F 到准线的距离为2,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,则点A 到y 轴的距离为( ) A .5B .4C .3D .28.点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点,直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q两点,记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ,则21221k k +的最小值为( ) A .14B .12C .2D .49.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOBp =( ) A .1B .32C .2D .310.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点,过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点,1PQ PF ⊥,且112QF PF =,则12PFF △与12QF F 的面积之比为( ) A.2B1 C1D.2+11.若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称,过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程为( )A .24480y x y -++=B .22220y x y +-+=C .2210y x y ---=D .24250y x y +-+=12.已知1F ,2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点,若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF,则离心率e 的取值范围是( )A.1,2⎛ ⎝⎭ B.2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ C.1,2⎛ ⎝⎭ D.2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题13.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左,右焦点分别是1F ,2F,直线:(l y k x =过点2F ,且与双曲线C 在第一象限交于点P .若(22()0OP OF PF +⋅=(O 为坐标原点),且()121PF a PF +=,则双曲线C 的离心率为__________. 14.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示,下列结论:①直线AB 的方程为:20x y ++=; ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12; ④曲线C 恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点). 其中正确的是:________.(填写所有正确结论的编号)15.设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点,P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1,则12PF F △的内切圆的半径为__________.16.点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点,则23x y +的取值范围为______.17.如图,圆O 与离心率为32的椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ,过点M 引两条互相垂直的直线1l ,2l ,两直线与两曲线分别交于点A ,C 与点B ,D (均不重合).若P 为椭圆上任一点,记点P 到两直线的距离分别为1d ,2d ,则2212d d +的最大值是__________.18.已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点,且焦点均在x 轴上,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:x0 426y22 2-22-则2C 的虚轴长为______.19.抛物线24y x =的焦点为F ,经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,与准线l 交于点B ,且AK l ⊥于K ,如果AF BF =,那么AKF ∆的面积是______.20.已知1F ,2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,第一象限的点P 在渐近线上,满足12F PF 2π∠=,直线1PF 交双曲线左支于点Q ,若点Q 是线段1PF 的中点,则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21.已知椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32,椭圆1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C :24x y =的焦点F . (1)求椭圆1C 的方程;(2)过点F 的直线交抛物线2C 于,M N 两点,连接NO ,MO ,线段NO ,MO 的延长线分别交椭圆1C 于A ,B 两点,记OMN 与OAB 的面积分别为OMN S △、OAB S,设OMNOAB SSλ=-,求λ的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率63e =,一条准线方程为362x =. (1)求椭圆C 的方程;(2)设,G H 为椭圆上的两个动点,G 在第一象限,O 为坐标原点,若OG OH ⊥,GOH 的面积为3155,求OG 的斜率. 23.如图,设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点.(1)若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为1P ,2P ,3P ,4P ,求1234PP P P +的值;(2)若直线m 与抛物线相交于M ,N 两点,且与圆相切,切点D 在劣弧AB 上,求MF NF +的取值范围.24.已知圆22:12O x y +=,P 为圆O 上的动点,点M 在x 轴上,且M 与P 的横坐标相等,且()21PN NM =-,点N 的轨迹记为C .(1)求C 的方程;(2)设()2,2A ,()4,0B ,过B 的直线(斜率不为±1)与C 交于,D E 两点,试问直线AD 与AE 的斜率之和∑是否为定值?若是,求出该定值;若不是,求∑的取值范围.25.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0-线y x m =-+交椭圆于不同的两点A 、B .(1)求椭圆M 的方程;(2)设点()2,2C -,是否存在实数m ,使得ABC 的面积为1?若存在,求出实数m 的值;若不存在,说明理由.26.点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1(0)y C x b b-=>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p . (1)求双曲线2C 的方程;(2)若直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点,求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【详解】因为圆锥曲线C :221x my +=的离心率为2, 所以,该曲线是双曲线,2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-, 故选C.2.A解析:A【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=,根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =,即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意,双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =,即0bx ay -=,因为点)0到双曲线C==2232b c =,即222332c a c -=,即223c a =,所以==ce a故选:A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出,a c ,代入公式ce a=;②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,转化为,a c 的齐次式,然后转化为关于e 的方程,即可得e 的值(范围).3.B解析:B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ,连接1,PF PF ,由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形,表示出1,PF PF ,利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示,设椭圆的左焦点为1F ,连接1,PFPF , 2PQ c =,则PO c =,则1PF PF ⊥,又60POF ∠=,则POF 是等边三角形,即PF c =,12PF PF a +=,12PF a c ∴=-,又22211PF PFF F +=,即()()22222a c c c -+=,整理可得22220c ac a +-=,即2220e e+-=,解得1e =. 故选:B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程或不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式,建立关于a ,b ,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4.C解析:C 【分析】 由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=,2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=,即可得出2aAB c=,再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ,半径为r ,则2r ππ=,解得1r =,21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c a∴=,2a AB c ∴=, 22c e a =∈⎣⎦,,2,22a c ⎤∴∈⎦,则[]24,8ac∈,即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选:C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围,解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积,得出22aAB c=⋅可求解. 5.B解析:B 【分析】先取线段1F M 中点P ,连接2PF ,得到2c P F =,结合正弦定理证明12F PF ∠是直角,求出12,F M MF ,再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系,即求得离心率. 【详解】如图椭圆中,取线段1F M 中点P ,连接2PF ,则21222F F F M F P+=,因为21212F F F M F F +=,所以21222F F F P c ==,则2c P F =,12F F P 中,1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠,即122sin sin6c P F F c π=∠,解得12in 1s P F F =∠,又()120,F PF π∠∈,12F PF ∠=2π,故13F P c =,2PF 是线段1F M 的中垂线,故121223,2FM c MF F F c ===,结合椭圆定义122FM MF a +=, 故2322c c a +=,即)31c a =,故离心率31231c e a ===+. 故选:B. 【点睛】求椭圆离心率(或取值范围)的常见方法: (1)直接法:由a ,c 直接计算离心率c e a=; (2)构建齐次式:利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ,b ,c 的方程和不等式,利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式,通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6.C解析:C 【分析】先求出椭圆焦点坐(椭圆的半焦距),再由双曲线中的关系计算出a . 【详解】椭圆22183x y +=的半焦距为c∴双曲线中215a +=,∴2a =(∵0a >).故选:C . 【点睛】晚错点睛:椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ,但它们的关系不相同:椭圆中222a b c =+,双曲线中222+=a b c ,不能混淆.这也是易错的地方.7.C解析:C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立,得出12x x ,再由焦半径公式表示出3AF FB =,得到1232x x =+,结合这两个关系式可求解13x = 【详解】已知焦点F 到准线的距离为2,得2p =, 可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ,:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得:2440y my --=124y y ∴=-,()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =,()12131x x ∴+=+,1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选:C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下:抛物线()220y px p =>的焦点为F ,()11,A x y 为抛物线上的一点,则12pAF x =+,解题时可灵活运用,减少计算难度.8.B解析:B 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ,将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,计算出12k k 的值,利用基本不等式可求得21221k k +的最小值. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ,联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩,消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=, 由韦达定理可得()1221254y y m +=-+,()12264254y y m =-+,设直线AQ 的斜率为k ,则222y k x =+,2222y k x =-,所以,()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----,214k k ∴=-, 而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++,因此,222112211162k k k k +=+≥==, 当且仅当18k =±时,等号成立, 因此,21221k k +的最小值为12. 故选:B.【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于求得214AQ k k =-,进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值,再结合基本不等式求得最值.9.C解析:C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程,进而求出A ,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,AOBp 的值. 【详解】解:双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±,又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-, 故A ,B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±, 又由双曲线的离心率为2,所以2c a =2=,则b a = A ,B两点的纵坐标分别是2=±y , 又AOB=,得2p =, 故选:C . 【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程,解出A ,B 两点的坐标,考查离心率公式和三角形的面积公式.10.D解析:D 【分析】设1PF t =,则1122QF PF t ==,由已知条件得出130PQF ∠=,利用椭圆的定义可得22PF a t =-,222QF a t =-,则43PQ a t =-,利用勾股定理可求得t a =,进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△,代入t =计算即可得解. 【详解】可设1PF t =,则1122QF PF t ==,1PQ PF ⊥,则130PQF ∠=,由椭圆的定义可得22PF a t =-,222QF a t =-,则43PQ a t =-, 则22211PQ PF QF +=,即()222434a t t t -+=,即有433a t t -=,解得33t =+, 则12PF F △与12QF F 的面积之比为()121222223123323822231233PF F QF F a a S PF a t S QF a t a --+=====+---+△△.故选:D. 【点睛】方法点睛:椭圆上一点与两个焦点构成的三角形,称为椭圆的“焦点三角形”,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.11.D解析:D 【分析】首先根据两圆的对称性,列式求a ,再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1,并且圆心连线所在直线的斜率是1-,()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=,,圆心(),1a -,22r a =,所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得:1a =,即()2,1C -设(),P x y ,由条件可知PC x =()()2221x y x ++-=,两边平方后,整理为24250y x y +-+=. 故选:D 【点睛】方法点睛:一般求曲线方程的方法包含以下几种:1.直接法:把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法:运用解析几何中以下常用定义(如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发,直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.3.相关点法:首先要有主动点和从动点,主动点在已知曲线上运动,则可以采用此法.12.D解析:D 【分析】设直线1AF 的方程,利用点2F 到直线的距离建立等式,解出斜率k ,因为0bk a<<,从而求出,a c 的不等关系,进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF :()y k x c =+,因为点A 在右支上,则0b k a<<,,所以222222343a b k c a a =<-,即2247c a >,解得:e >故选:D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率,属于中档题.方法点睛:(1)利用点到直线的距离建立等量关系; (2)解出斜率k 与,a b 的关系;(3)由点在右支和左焦点的位置关系,求出斜率k 的范围; (4)利用斜率k 的范围,建立,a c 的不等式,求出离心率的范围.二、填空题13.【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故【分析】取2PF 的中点H ,则22OP OF OH +=,根据22()0OP OF PF +⋅=,得2OH PF ⊥,则12PF PF ⊥,设2PF m =,根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =,122PF a =+,然后在12Rt PF F 中,利用勾股定理求解即可.【详解】 如图,取2PF 的中点H ,则22OP OF OH +=, 因为22()0OP OF PF +⋅=,所以20OH PF ⋅=,即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线,所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =,设2PF m =,则()11PF a m =+, 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=,则2am a =,即2m =, 故2||2PF =,122PF a =+.在12Rt PF F 中,由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=, 即()242240a ++=,整理得2280a a +-=, 解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 故答案为:102【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识,平面向量垂直问题,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.14.②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①;联立方程可求出交点坐标即可判断②;在曲线上取点由可判断③;求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则;令则;所以点所以直线AB 的方程为:即故①错误;对于②解析:②③ 【分析】求出点()2,0A ,()0,2B ,结合直线方程的知识可判断①;联立方程可求出交点坐标,即可判断②;在曲线上取点()2,2D ,()2,2E -,()2,0F -,()0,2G -,由ADEFG S 可判断③;求出整点即可判断④. 【详解】 对于①,曲线22:4C xy x y +=+,令0x =,则2y =±;令0y =,则2x =±; 所以点()2,0A ,()0,2B ,所以直线AB 的方程为:221x y+=即20x y +-=, 故①错误;对于②,由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩, 所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2,()2,2-,故②正确;对于③,在曲线上取点()2,2D ,()2,2E -,()2,0F -,()0,2G -,顺次连接各点,如图,则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=, 所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12,故③正确;对于④,曲线经过的整点有:()2,0±,()0,2±,()2,2±,有6个,故④错误. 故答案为:②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,合理转化条件是解题关键,属于中档题.15.【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为:【点睛】本题考查椭圆 解析:333【分析】由点P 的横坐标为1,代入得出点P 的纵坐标,继而求得12PF F △的面积S ,再设12PF F △的内切圆的半径为r ,由()(12121232S F F PF PF r r =++⨯=+,可得答案.因为点P 的横坐标为1,所以点P 的纵坐标为2P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==,设12PF F △的内切圆的半径为r ,所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+,即(322r +=,所以3r =.故答案为:3 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义,以及焦点三角形的相关性质,属于中档题.16.【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为:【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题 解析:[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==,则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+,其中4tan 3α=,可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点,可设2cos ,x y θθ==,[0,2)θπ∈,则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+,其中4tan 3α=,又5sin()θα+[5,5]∈-,则2x [5,5]∈-. 故答案为:[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用,辅助角公式,三角函数的值域,属于中档题.17.【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知:解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为:【点睛】本题主要考查直线与椭 解析:163首先根据题意求出椭圆的标准方程,设()00,P x y ,根据勾股定理和12l l ⊥得到()2222012201PMx d y d ==+-+,再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】由题知:2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2a =,1b =,椭圆22:14xT y +=.设()00,P x y ,因为12l l ⊥,则()2222012201PMx d y d ==+-+又因为220014x y +=,即220044x y =-.所以()22222120001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭+-.因为011y -≤≤,所以当031y =-时,2212d d +取得最大值为163. 故答案为:163【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用,同时考查了学生的计算能力,属于中档题.18.【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析:4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.19.【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l :由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为:【点睛】本题 解析:43【分析】计算得到AF AK =,FK AF =,故AKF ∆为正三角形,4AK =,计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ,准线为l :1x =-,由抛物线的定义可得AF AK =, 由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可得FK AF =, 即有AKF ∆为正三角形,由F 到l 的距离为2d =,则4AK =,AKF ∆的面积是316434⨯=. 故答案为:43.【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题,确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.20.【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为:【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ,则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭,把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=,化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=,点P 在第一象限且在双曲线渐近线上,∴121||2OP F F c ==, 又直线OP 的斜率为ba,∴(,)P a b , 又 1(,0)F c -,点Q 是线段1PF 的中点,∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭, 又 ,22a c b Q -⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上, ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=,化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=, ∴2240e e --=,因为1e >,故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解,考查了计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)2214x y +=;(2)[1,)+∞.【分析】(1)解关于,,a b c 的方程组即得解;(2)求出OMNS =1OABS=,即得λ的取值范围.【详解】解:(1)因为椭圆1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C :24x y =焦点()0,1F ,所以1b =.由2c a =,222a b c =+,解得2a =, 所以椭圆1C 的方程为2214x y +=.(2)因为过F 的直线交2C 于M ,N 两点,所以直线的斜率存在, 设直线方程为1y kx =+,()11,M x y ,()22,N x y ,联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩,故2440x kx --=.216160k ∆=+>恒成立,121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩,由121211122OMNS OF x x x x =⨯-=⨯⨯-, 故()22221212121144444OMNSx x x x x x k ⎡⎤=-=+-=+⎣⎦,所以OMNS=不妨设()22,N x y 在第一象限,所以设直线ON :11(0)y k x k =>,则12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得A ⎛⎫, 设直线OM :2y k x =,同理B ⎛⎫, 又因为22121212121212144164x x y y x x k k x x x x =⋅===-⋅,可得B ⎛⎫. 又因为点A 到直线OB的距离d ==所以11122OABSd OB =⋅⋅==.所以211OMNOABS Sλ=-=≥.综上:λ的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中的最值范围问题常用的方法有:(1)函数法;(2)数形结合法;(3)导数法;(4)基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.22.(1)22193x y += (2)k =k =【分析】(1)由离心率可得c a =2a c ,结合222b a c =-可得答案.(2)设直线OG 的方程为y kx =,则0k >,可得出点G 的坐标,求出OG 的长度,由OG OH ⊥,则1OHk k=-,从而可得OH 的长度,由125GOHS OH OG =⨯⨯=建立方程可得答案. 【详解】 (1)由离心率3c e a ==,一条准线方程为x =2a c两式相乘可得23c a a a c ⨯===,所以c则222963b a c =-=-=所以椭圆C 的方程为:22193x y +=(2)由G 在第一象限,设直线OG 的方程为y kx =,则0k >由22193y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22931x k =+,则222931k y k =+所以OG == 由OG OH ⊥,则1OHk k =-,所以OH ==所以2119225GOHSOH OG =⨯⨯=⨯=化简得4231030k k -+=,解得23k =或213k =所以直线OG的斜率为k =3k =【点睛】关键点睛:本题考查求椭圆方程和根据三角形面积求直线斜率,解答本题的关键是设出直线OG 的方程为y kx =,表示出OG =OH =的长度,由12GOHSOH OG =⨯⨯=建立方程,属于中档题. 23.(1)1234PP P P +=2)2,22⎡⎤⎣⎦. 【分析】(1)由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ,()222,P x y ,()333,P x y ,()444,P x y,则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦,然后分别联立直线与圆的方程,直线与抛物线的方程,得到两个方程组,消元后利用根与系数的关系,可得结果; (2)将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ,B 两点的坐标,设()00,D x y ,则切线00:12m x x y y +=,直线方程式与抛物线方程式联立方程组,消元后,再由根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-,而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围,进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】解:由题意,()0,1F ,直线l 的方程为1y x =+设()111,P x y ,()222,P x y ,()333,P x y ,()444,P x y,则)1221PP x x =-,)3443P P x x =-,∴)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=+--=+-+⎤⎦故分别联立直线与圆的方程,直线与抛物线的方程,得到两个方程组:22112y x x y =+⎧⎨+=⎩;214y x x y=+⎧⎨=⎩,分别消去y ,整理得:222110x x +-=;2440x x --= ∴131x x +=-,244x x +=,∴1234PP P P +=(2)由222124x y x y⎧+=⎨=⎩解得:()2A -,()2B ,设()00,D x y ,则220012x y +=;切线00:12m x x y y +=,其中02y ≤≤;设(),M M M x y ,(),N N N x y ,则002124x x y y x y+=⎧⎨=⎩,消去x ,整理得: ()2220004241440y y x y y -++=,∴22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-∵02y ≤≤∴20M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦∵2M N MF NF y y +=++,∴MF NF +的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛:此题考查直线与圆的位置关系,考查直线与抛物线的位置关系,第2问解题的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩,进而利用根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-,再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围,考查数学转化思想和计算能力,属于中档题24.(1)221126x y +=;(2)不是定值;()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)设(),N xy ,()00,P x y ,利用()21PN NM =-,根据向量的坐标运算可得00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩,代入圆O 方程可得C 的方程; (2)设()():41DE y k x k =-≠±,()11,D x y ,()22,E x y ,将DE 方程代入椭圆方程可得韦达定理的形式,利用0∆>可得k 的取值范围,将AD AE k k +整理为121kk --,根据k 的范围可求得∑的取值范围. 【详解】(1)设(),N x y ,()00,P x y ,则()0,0M x ,()21PN NM =-,2PM PN NM NM ∴=+=,又()00,PM y =-,()0,NM x xy =--,由2PM NM =得:))00x x y y -=-=-,则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,点P 在圆22:12O x y +=上,)2212x ∴+=,即221126x y +=, C ∴的方程为221126x y +=.(2)依题意,设()11,D x y ,()22,E x y ,过点B 的直线DE 斜率必存在, 可设直线DE 的方程为()()41y k x k =-≠±,由()2241126y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得:()2222211632120k x k x k +-+-=,其中()()()4222256421321216320k k k k∆=-+-=->,解得:22k -<<,()611,11,22k ⎛⎫⎛⎫∴∈--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 21221621k x x k ∴+=+,2122321221k x x k -=+,()()121212124242222222AD AE k x k x y y k k x x x x ------∴+=+=+----()()()()121222122122k x k k x k x x --+--+=+--()121122122k k x x ⎛⎫=-++ ⎪--⎝⎭()()()121212422124x x k k x x x x +-=-+⋅-++()22222216421221321216242121k k k k k k k k -+=-+⋅--⋅+++()()2221642112221881k k kk k k k -+-=-+⋅=--. ()66,11,11,22k ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()121332,464,,1122k k k -⎛⎫⎛⎫∴=--∈-∞---+∞ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,AD AE k k ∴+不是定值,且∑的取值范围是()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】思路点睛:本题考查直线与椭圆综合应用中的定值、取值范围问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:①假设直线方程,与椭圆方程联立,整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式; ②利用0∆>求得变量的取值范围,得到韦达定理的形式;③利用韦达定理表示出所求量,将所求量转化为关于变量的函数的形式; ④化简所得函数式,消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围.25.(1)2214x y +=;(2)存在,且=m 【分析】(1)由已知条件求出a 的值,结合离心率可求得c 的值,再由a 、b 、c 的关系可求得b 的值,由此可求得椭圆M 的方程;(2)设点()11,A x y 、()22,B x y ,将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立,列出韦达定理,利用弦长公式求出AB ,求出点C 到直线AB 的距离d ,利用三角形的面积公式可得出关于实数m 的等式,解出m 的值,并验证是否满足0∆>,由此可得出结论. 【详解】(1)由于椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个顶点坐标为()2,0-,则2a =,又因为该椭圆的离心率为c a =c =1b ∴=, 因此,椭圆M 的方程为2214x y +=;(2)设点()11,A x y 、()22,B x y ,联立2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 并整理得2258440x mx m -+-=, ()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->,解得m <<由韦达定理可得1285m x x +=,212445m x x -=,由弦长公式可得12AB x x =-===,点C 到直线AB的距离为d =,所以,ABC的面积为11122ABCS AB d =⋅===△, 整理可得42420250m m -+=,即()22250m -=,可得252m =,满足0∆>. 因此,存在2=±m ,使得ABC 的面积为1. 【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,必要时计算∆; (3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式; (5)代入韦达定理求解.26.(1)2214y x -=;(2)(【分析】(1)取双曲线的一条渐近线:y bx =,与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标,再利用点A 到抛物线的准线的距离为p ,即可得到p ,b 满足的关系式,进而可得答案. (2)根据直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点,利用韦达定理、判别式列不等式组求解即可. 【详解】(1)取双曲线的一条渐近线y bx =, 联立22y px y bx ⎧=⎨=⎩解得222p x b py b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故222(,)p p A b b .点A 到抛物线的准线的距离为p ,∴222p pp b+=,可得24b = 双曲线222:14y C x -=;(2)联立22114y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()224250k x kx -+-=因为直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点, 所以()22222045{0442040kk k k k ->-->-∆=+->,解得2k << 所以,k的取值范围(. 【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组,解出,,a b ,从而写出双曲线的标准方程.解决直线与双曲线的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程或不等式,解决相关问题.。
2017-2018学年高中数学 选修1-1学业分层测评19 含答案 精品
学业分层测评(十九) 最大值与最小值(建议用时:45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知函数f (x )=x 3-3x ,|x |≤1,f (x )的最小值为________.【解析】 f ′(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1),当x ∈[-1,1]时,f ′(x )≤0,所以f (x )在[-1,1]上是单调递减函数,f (x )的最小值为f (1)=-2.【答案】 -22.函数y =xe x 在[0,2]上的最大值是________.【解析】 由f (x )=xe x 得f ′(x )=1-x e x ,当x ∈[0,1]时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,2]时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,∴当x =1时,函数取得最大值f (1)=1e .【答案】 1e3.函数y =x -sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π的最大值是________.【解析】 因为y ′=1-cos x ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π时,y ′>0,则函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π上为增函数, 所以y 的最大值为y max =π-sin π=π. 【答案】 π 4.函数f (x )=1x +1+x (x ∈[1,3])的值域为________. 【解析】 f ′(x )=-1(x +1)2+1=x 2+2x (x +1)2,所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立,即f (x )在[1,3]上单调递增,所以f (x )的最大值是f (3)=134,最小值是f (1)=32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,134.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,1345.已知函数y =-x 2-2x +3在区间[a,2]上的最大值为154,则a 等于________. 【解析】 当a ≤-1时,最大值为4,不合题意,当-1<a <2时,f (x )在[a,2]上是减函数,f (a )最大,-a 2-2a +3=154,解得a =-12或a =-32(舍去). 【答案】 -126.函数f (x )=12x 2-ln x 的最小值为________.【解析】 f ′(x )=x -1x =x 2-1x ,且x >0.令f ′(x )>0,得x >1; 令f ′(x )<0,得0<x <1.∴f (x )在x =1处取得极小值也是最小值,且f (1)=12-ln 1=12.【答案】 12 7.下列结论:①在区间[a ,b ]上,函数的极大值就是最大值; ②在区间[a ,b ]上,函数的极小值就是最小值;③在区间[a ,b ]上,函数的最大值、最小值在x =a 和x =b 时达到; ④在区间[a ,b ]上的连续函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值和最小值. 其中正确的是________(填序号).【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值,极小值也不一定就是最小值,最值不一定在区间端点取到,所以①②③都不正确,而连续函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值和最小值,所以④正确.【答案】 ④8.已知函数f (x )=ax 2+2ln x ,若当a >0时,f (x )≥2恒成立,则实数a 的取值范围是________.【解析】 由f (x )=ax 2+2ln x 得f ′(x )=2(x 2-a )x 3,又函数f (x )的定义域为(0,+∞),且a >0,令f ′(x )=0,得x =-a (舍去)或x =a .当0<x <a 时,f ′(x )<0;当x >a 时,f ′(x )>0.故x =a 是函数f (x )的极小值点,也是最小值点,且f (a )=ln a +1. 要使f (x )≥2恒成立,需ln a +1≥2恒成立,则a ≥e. 【答案】 [e ,+∞) 二、解答题9.求函数f (x )=-x 3+3x ,x ∈[-3,3]的最大值和最小值.【解】 f ′(x )=-3x 2+3=-3(x -1)(x +1),令f ′(x )=0,得x =1或x =-1.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:max 当x =-1时,f (x )取得最小值,f (x )min =f (-1)=-2.10.已知函数f (x )=1-x x +k ln x ,k ≤0,求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上的最大值和最小值.【解】 因f (x )=1-x x +k ln x ,f ′(x )=-x -1+x x 2+k x =kx -1x 2.①若k =0,则f ′(x )=-1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上恒有f ′(x )<0,∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上单调递减.∴f (x )min =f (e)=1-e e ,f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =e -1.②若k <0,f ′(x )=kx -1x 2=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1k x 2,则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1k x 2<0,∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上单调递减,∴f (x )min =f (e)=1-e e +k ln e =1e +k -1,f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =e -k -1. 综上,当k =0时,f (x )min =1-ee ,f (x )max =e -1; 当k <0时,f (x )min =1e +k -1,f (x )max =e -k -1.[能力提升]1.已知a 为实数,f (x )=(x 2-4)(x -a ).若f ′(-1)=0,函数f (x )在[-2,2]上的最大值为________,最小值为________.【解析】 由原式可得f (x )=x 3-ax 2-4x +4a ,f ′(x )=3x 2-2ax -4.由f ′(-1)=0得a =12,此时f (x )=x 3-12x 2-4x +2,f ′(x )=3x 2-x -4.令f ′(x )=0,得x =-1或x =43.又f (-1)=92,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43 =-5027,f (-2)=f (2)=0,所以函数f (x )在[-2,2]上的最大值为92,最小值为-5027. 【答案】92 -50272.已知函数f (x )的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图3-3-9所示图3-3-9下列关于函数f (x )的命题: ①函数f (x )的值域为[1,2]; ②函数f (x )在[0,2]上是减函数;③如果当x ∈[-1,t ]时,函数f (x )的最大值是2,那么t 的最大值为4;④当1<a <2时,函数y =f (x )-a 最多有4个零点. 其中正确命题的序号是________.【解析】 由导函数的图象可知,当-1<x <0或2<x <4时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增,当0<x <2和4<x <5时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,当x =0和x =4时,函数f (x )取得极大值f (0)=2,f (4)=2,当x =2时,函数f (x )取得极小值f (2)=1.5,又f (-1)=f (5)=1,所以函数f (x )的最大值为2,最小值为1,值域为[1,2],①正确,②正确;要使x ∈[-1,t ]时,函数f (x )的最大值是2,则0≤t ≤5,所以t 的最大值为5,所以③不正确;因为函数f (x )的极小值为f (2)=1.5,极大值为f (0)=f (4)=2. 所以当1<a <2时,函数y =f (x )-a 最多有4个零点,所以④正确. 【答案】 ①②④3.设函数f (x )=ax 3-3x +1(x ∈R ),若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立,则实数a 的取值范围为________.【解析】 因为x ∈(0,1],所以f (x )≥0可化为a ≥3x 2-1x 3.设g (x )=3x 2-1x 3,则g ′(x )=3(1-2x )x 4.令g ′(x )=0,得x =12.当0<x <12时,g ′(x )>0;当12<x ≤1时,g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=4,它也是最大值,故a ≥4.【答案】 [4,+∞)4.已知函数f (x )=e x +ax 2-e 2x ,若x >0时,总有f (x )>-e 2x ,求实数a 的取值范围.【解析】 由f (x )>-e 2x 得:a >-e x x 2,设g (x )=-e xx 2,x >0,则g ′(x )=e x(2-x )x 3,令g ′(x )=0,得x =2.∴当x ∈(0,2)时,g ′(x )>0,g (x )在(0,2)上单调递增; 当x ∈(2,+∞)时,g ′(x )<0,g (x )在(2,+∞)上单调递减.当x=2时,y(x)取最大值为-e2 4,∴g(x)≤g(2)=-e24,因此,a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫-e24,+∞.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1.在四面体OABC 中,空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++,若MA ,MB ,MC 共面,则λ=( )A .12B .13C .512D .7122.定义向量的外积:a b ⨯叫做向量a 与b 的外积,它是一个向量,满足下列两个条件: (1)a a b ⊥⨯,b a b ⊥⨯,且a ,b 和a b ⨯构成右手系(即三个向量两两垂直,且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致);(2)a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅(,a b 表示向量a 、b 的夹角); 如图,在正方体1111ABCD A BC D -,有以下四个结论:①1AB AC ⨯与1BD 方向相反; ②AB AC BC AB ⨯=⨯;③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等; ④()1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中,正确的结论有( )个 A .4B .3C .2D .13.如图,在几何体111ABC A B C -中,ABC ∆为正三角形,111////AA BB CC ,1AA ⊥平面ABC ,若E 是棱11B C 的中点,且1112AB AA CC BB ===,则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为( )A .1313B .21313C .2613D .226134.在边长为2的菱形ABCD 中,23BD =,将菱形ABCD 沿对角线AC 对折,使二面角B AC D --的余弦值为13,则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为( ) A .43π B .πC .23π D .2π 5.已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形,1AA a =,AB b =,且a b >,侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =,设异面直线1A B 与1AD ,1A B 与11D B ,AE 与11D B 的所成角分别为α,β,γ,则 A .αβγ<<B .γβα<<C .βαγ<<D .αγβ<<6.如图,已知平行六面体1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,12AA =, 011120A AB A AD ∠=∠=,则线段1AC 的长为( )A 2B .1C .2D 37.若向量(3,1,0)a =,(1,0,)b z =,,3a b π=,则实数z 的值为( )A 2B .2C .2±D .2±8.已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--,则b a -的最小值是( ) A 2B 3C 5D 69.记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点,记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时,则λ的取值范围为( ) A .(0,1)B .1(,1)3C .1(0,)3D .(1,3)10.如图,在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中,D 是棱1CC 的中点,E 是棱1AA 上的动点.设AE x =,随着x 增大,平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是( )A .增大B .先增大再减小C .减小D .先减小再增大11.如图,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,DC =2,DA =DD 1=1,点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点,若MN ∥平面AA 1C 1C ,则MN 的最小值为( )A .53B .23C .56D .5212.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1,点E 为平面BCC 1B 1的中心,则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A .14B .13C .33D .233二、填空题13.在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,12AA =,1AC BC ==,则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________.14.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点,则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______.15.正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等,SB 的中点是E ,则异面直线AE ,SD 所成角的余弦为__________.16.在正方体1111ABCD A BC D -中,M 为棱11A B 的中点,则异面直线AM 与1BC 所成的角的大小为________(结果用反三角函数值表示).17.已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底,向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底.若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3,则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________18.已知平行六面体中,则____.19.在棱长为2的正方体△ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是A 1B 1、CD 的中点,则点B 到截面AMC 1N 的距离为_____.20.已知平面α⊥平面β,且l αβ⋂=,在l 上有两点A ,B ,线段AC α⊂,线段BD β⊂,并且AC l ⊥,BD l ⊥,6AB =,24BD =,8AC =,则CD =______.三、解答题21.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,E 、F 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、11A B 、11A D 的中点,点P 、Q 分别在棱1DD 、1BB 上移动,且()02DP BQ λλ==<<.(1)当1λ=时,证明:直线1//BC 平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.22.如图,四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,且AB AD ⊥,BC //AD ,BC AB =112AD ==,10PA PD ==,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 为棱PD 上动点.(1)当M 为PD 的中点时,平面PAB ⋂平面PCD =l ,求证:l //平面ACM ; (2)是否存在点M 使二面角M AC D --的余弦值为2211,若存在,请确定M 的位置;若不存在,请说明理由.23.如图,在四棱锥E ABCD -中,平面ADE ⊥平面ABCD O M ,,分别为线段AD DE ,的中点.四边形BCDO 是边长为1的正方形,,AE DE AE DE =⊥.(Ⅰ)求证://CM 平面ABE ;(Ⅱ)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值;(Ⅲ)点N 在直线AD 上,若平面BMN ⊥平面ABE ,求线段AN 的长.24.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,且2AE =.(1)求直线DE 与直线AC 所成的角; (2)求二面角B ED C --的余弦值.25.已知三棱锥,A BCD ABD -和BCD △是边长为2的等边三角形,平面ABD ⊥平面BCD(1)求证:AC BD ⊥;(2)设G 为BD 中点,H 为ACD △内的动点(含边界),且//GH 平面ABC ,求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.26.如图,四棱锥中P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,60DAB ∠=︒,2AB AD CD ==,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PAD △为等腰直角三角形,90APD ∠=︒.(Ⅰ)求证:AD PB ⊥;(Ⅱ)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据向量共面定理求解. 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--, 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-,11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-,∵MA ,MB ,MC 共面,∴在在实数唯一实数对(,)m n ,使得MA mMB nMC =+,1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩,解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.故选:B . 【点睛】结论点睛:本题考查空间向量共面定理.空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底,其他向量都可用基底表示,且表示方法唯一.,,OA OB OC 是不共面的向量,OM xOA yOB zOC =++,则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=. 2.D解析:D 【分析】根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】对于①,根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同,故①错误; 对于②,根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反,不会相等,故②错误;对于③,根据向量外积的第二个性质可知sin4ABCDBC AC BC AC Sπ⨯=⋅⋅=,则6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等,故③正确;对于④,1AB AB ⨯与CB 的方向相反,则()10AB AB CB ⨯⋅<,故④错误. 故选:D. 【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移,解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证,属难题.3.C解析:C 【解析】 【分析】以C 为原点,在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴,CB 为y 轴,CC 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点,在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴, CB 为y 轴,CC 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设AB =AA 1=CC 1=2BB 1=2,则A 1(3,1,2),A (310,,),C 1(0,0,2),B 1(0,2,1),E (0,1,32), 1A E =(3-,0,12-),1AC =(3-,﹣1,2),设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ,则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅. ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613. 故选C .【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.C解析:C 【分析】作出图形,利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ,BN ⊥AC ,可得出二面角B ﹣AC﹣D 的平面角为∠BND ,再利用余弦定理求出BD ,可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体,可得出内切球的半径R ,再利用球体的表面积公式可得出答案. 【详解】 如下图所示,易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形,取AC 的中点N ,则DN ⊥AC ,BN ⊥AC . 所以,∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角,过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ,可得BO ⊥平面ACD .因为在△BDN 中,3BN DN ==,所以,BD 2=BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=, 则BD =2.故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体,则其内切球半径为正四面体高的14,又正四面体的高为棱6,故662R ==因此,三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(3R πππ=⨯=. 故选C . 【点睛】本题考查几何体的内切球问题,解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状,考查了二面角的定义与余弦定理,考查计算能力,属于中等题.5.A解析:A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面,再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中,如上图,显然α,β,(0,]2πγ∈,因为a b >,异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ,根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++,故(0,)3πα∈,同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到:2221cos 222()1a a b bβ==<⋅+⋅+,故(,)32ππβ∈, 连接AC ,则AC 垂直于BD ,CE 垂直于BD ,AC 交CE 于C 点,故可得到BD 垂直于面ACE ,进而得到BD 垂直于AE ,而BD 平行于11D B .从而得到2πγ=,故αβγ<<. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法,一般是将异面直线平移到同一平面中,转化到三角形中进行计算,或者建立坐标系,求解两直线的方向向量,两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.6.A解析:A 【分析】由11AC AB BC CC =++,两边平方,利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值,从而可得结果. 【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,1112,120AA A AB A AD =∠=∠=,11AC AB BC CC ∴=++, ()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=,∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长,考查向量数量积的运算法则,属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=;二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.7.C解析:C 【解析】分析:根据两个向量的数量积的定义式,推导出其所成角的余弦公式,从而利用cos ,a b a b a b⋅<>=,结合22a a =,将有关量代入求得z 的值,得到结果.详解:根据题意得31cos ,23a b ⨯===+,化简得22z =,解得z = C.点睛:该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题,在解题的过程中,需要把握住向量夹角余弦公式,再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的,还有就是向量的模的坐标运算式.8.A解析:A 【解析】解:由题意可知:()1,1,b a t t t -=---- ,则:(b a t -=--= ,即b a - 本题选择A 选项.点睛:本题的模长问题最终转化为二次函数求最值的问题.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.9.B解析:B 【分析】建立空间直角坐标系,利用∠APC 不是平角,可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC <0,即 ,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),1D (0,0,1) ∴ =(1,1,-1),∴ =(λ,λ,-λ),∴=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1) =+ =(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1)显然∠APC 不是平角,所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC <0 ∴ 0PA PC ⋅<∴(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)(λ-1)=(λ-1)(3λ-1)<0,得 <λ<1 因此,λ的取值范围是( ,1),故选B.点评:本题考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,属于中档题.10.D解析:D 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2,设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α,,02AE x x =≤≤,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,确定出,,B D E 点的坐标,求出平面BDE 的法向量m ,底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =,将cos α表示为关于x 的函数,通过讨论cos α的增减变化,即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2,,02AE x x =≤≤, 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α,以A 为坐标原点,过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴,1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系,则(3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-,设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =,则m BDm ED ⎧⊥⎨⊥⎩,即302(1)0s t k t x k ⎧-++=⎪⎨+-=⎪⎩,令23k =,则33,1t x s x =-=+,所以平面BDE 的一个法向量(1,33,23)m x x =+-, 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =,222233cos |cos ,|115(1)3(1)12()24m n x x x α=<>==++-+-+当1(0,)2x ∈,cos α随着x 增大而增大,则α随着x 的增大而减小, 当1(,2)2x ∈,cos α随着x 增大而减小,则α随着x 的增大而增大. 故选:D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角,应用函数思想讨论二面角的大小,考查直观想象、数学计算能力,素养中档题.11.A解析:A 【分析】先建立空间坐标系,设出(),0,M m m ,()0,22,N n n -+,转化条件得1m n +=,利用函数即可得解. 【详解】如图建系,由题意可设(),0,M m m ,()0,22,N n n -+,∴(),22,MN m n n m =---,又 ()10,0,1AA =,()1,2,0AC =-,∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =,又 //MN 面11AACC ,∴=0MN n ⋅即1m n +=,∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+,∴MN 最小值为故选:A. 【点睛】本题考查了空间向量的应用,考查了转化化归和函数思想,属于中档题.12.B解析:B 【分析】如图所示,建立空间之间坐标系,设正方体边长为1,则()0,0,0D ,11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =,计算夹角得到答案. 【详解】如图所示,建立空间之间坐标系,设正方体边长为1,则()0,0,0D ,11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =,11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅,故1sin 3α=, 直线DE 与平面ACD 1所成角θ,满足1cos sin 3θα==. 故选:B .【点睛】本题考查了线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13.【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象能力运算 解析:3010【分析】先找出线面角,运用余弦定理进行求解 【详解】连接1AB 交1A B 于点D ,取11B C 中点E ,连接DE ,则1DE AC ,连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111RtAC B 中,111AC =,1111122C E C B == 15A E ∴=同理可得1A D =DE =2221cos A DE +-∠==, ∴异面直线1A B 与1AC所成角的余弦值是10【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角,考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于基础题.14.【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为【解析】 【分析】由题意,设正方体的棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系,利用空间向量求解,即可得到答案. 【详解】设正方体的棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,2,0),M(2,1,2),N(1,1,2),()BM 0,1,2∴=-,()AN 1,1,2=-,BM AN cos BM,AN 5BM AN⋅∴===⋅∴异面直线BM 与AN【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用,其中解答中根据几何体的结构特征,建立适当的空间直角坐标系,利用向量的夹角公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15.【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为解析:33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点,平行于AB 的直线为x 轴,平行于AD 的直线为y 轴,SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,设四棱锥S ABCD -棱长为2,则(1,1,0)A --,(1,1,0)B -,2)S ,(1,1,0)D -,112,22E ⎛- ⎝⎭, 所以312,22AE ⎛= ⎝⎭,(1,1,2)SD =--,∴311322cos ,3911112442AE SD -+-==-++⋅++故异面直线AE ,SD 所成角的余弦值为33. 16.【分析】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出异面直线AM 与B1C 所成的角【详解】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系设正方体ABCD ﹣ 解析:10arccos5【分析】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AM 与B 1C 所成的角. 【详解】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2,则A (2,0,0),M (2,1,2),B 1(2,2,2),C (0,2,0),AM =(0,1,2),1BC =(﹣2,0,2), 设异面直线AM 与B 1C 所成的角为θ, cosθ11410558AM B C AM B C⋅===⨯⋅. ∴θ105arccos=. ∴异面直线AM 与B 1C 所成的角为arccos 105. 故答案为:105arccos.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.17.【解析】由题意可知:即在基底下的坐标为解析:31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知:()()3123322m a b c a b a b c =++=+--+ , 即m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫-⎪⎝⎭. 18.【解析】试题分析:因为在平行六面体中所以则考点:本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构造向量将空间两点之间的距离转化为向量模的运算是解答本题的关键 解析:【解析】试题分析:因为在平行六面体中,,所以,则.考点:本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算,考查空间两点之间的距离运算,根据已知条件,构造向量,将空间两点之间的距离转化为向量模的运算,是解答本题的关键.19.【分析】建立空间直角坐标系利用香炉峰能求出点B 到截面的距离得到答案【详解】如图所示建立空间直角坐标系因为棱长为2的正方体中分别是的中点所以则设平面的法向量为则取得所以点B 到截面的距离为【点睛】本题主 26【分析】建立空间直角坐标系D xyz -,利用香炉峰能求出点B 到截面1AMC N 的距离,得到答案. 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系D xyz -,因为棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,,M N 分别是11,A B CD 的中点, 所以(2,0,0),(2,1,2),(0,1,0),(2,2,0)A M N B , 则(0,1,2),(2,1,0),(0,2,0)AM AN AB ==-=, 设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =,则2020y z x y +=⎧⎨-+=⎩,取1x =,得(1,2,1)n =-,所以点B 到截面1AMC N 的距离为42636AB n d n⋅===.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解点到平面的距离问题,其中解答中建立适当的空间直角坐标系,正确求解平面的法向量,利用向量法准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于中档试题.20.26【分析】推导出=从而=()2=由此能出CD 【详解】∵平面α⊥平面β且α∩β=l 在l 上有两点AB 线段AC ⊂α线段BD ⊂βAC ⊥lBD ⊥lAB=6BD=24AC=8∴=∴=()2==64+36+57解析:26 【分析】推导出CD =CA AB BD ++,从而2CD =(CA AB BD ++)2=222CA AB BD ++,由此能出CD . 【详解】∵平面α⊥平面β,且α∩β=l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α,线段BD ⊂β, AC ⊥l ,BD ⊥l ,AB=6,BD=24,AC=8, ∴CD =CA AB BD ++, ∴2CD =(CA AB BD ++)2 =222CA AB BD ++ =64+36+576 =676, ∴CD=26.故答案为26. 【点睛】本题考查两点间距离的求法,考查线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)存在,212λ=±. 【分析】(1)以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,证明出1//BC FP ,利用线面平行的判定定理可证得1//BC 平面EFPQ ; (2)计算出面EFPQ 与面PQMN 的法向量,由已知条件得出这两个平面的法向量垂直,结合02λ<<求出实数λ的值,即可得解. 【详解】(1)证明:以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则()2,2,0B 、()10,2,2C 、()2,1,0E 、()1,0,0F ,当1λ=时,()0,0,1P ,()12,0,2BC =-,()1,0,1FP =-,12BC FP ∴=,1//BC FP ∴, 1BC ⊄平面EFPQ ,FP ⊂平面EFPQ ,因此,1//BC 平面EFPQ ;(2)()2,1,0E 、()1,0,0F 、()0,0,P λ、()1,0,2N 、()2,1,2M ,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,m x y z =,()1,1,0EF =--,()1,0,FP λ=-,由00m EF m FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,可得111100x y x z λ--=⎧⎨-+=⎩,取1x λ=,则1y λ=-,11z =,(),,1m λλ=-,设平面PQMN 的一个法向量为()222,,n x y z =,()1,1,0MN =--,()1,0,2NP λ=--,由00n MN n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,可得()2222020x y x z λ--=⎧⎨-+-=⎩,取22x λ=-,则22y λ=-,21z =,()2,2,1n λλ∴=--,若存在λ,使得面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角,则m n ⊥. 且()()2210m n λλλλ⋅=---+=,整理可得22410λλ-+=,02λ<<,解得1λ=±因此,存在1λ=±EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 【点睛】方法点睛:立体几何开放性问题求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.22.(1)证明见解析;(2)M 为PD 的靠近点P 三等分点时,二面角M AC D --的. 【分析】(1)延长,AB DC 交于Q ,连接PQ ,PQ 即为直线l ,证明//MC PQ 即可得线面平行; (2)取AD 的中点O ,连接OP ,OC ,分别以OC ,OD ,OP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系-O xyz .设DM DP λ=,利用空间向量法求二面角的余弦,由已知余弦值可求得λ,即存在. 【详解】(1)延长,AB DC 交于Q ,连接PQ .则易知PQ 为平面PAB 与平面PCD 的交线, 即:PQ 与l 重合.由题意,在ADQ △中://BC AD ,且12BC AD =, 故C 为DQ 的中点.又∵M 为PD 的中点,∴//MC PQ . 又∵MC ⊂平面ACM ,PQ ⊄平面ACM , ∴//PQ 平面ACM ,即//l 平面ACM .(2)取AD 的中点O ,连接OP ,OC ,由题意可得:OP AD ⊥,OC AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ,则OP ⊥平面ABCD ,∴分别以OC ,OD ,OP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系-O xyz . 则()0,1,0A -,()1,0,0C ,()0,1,0D ,()0,0,3P ,()0,1,3DP =-,()0,2,0AD =,()1,1,0AC =∵M 在棱PD 上,不妨设()()0,1,30,,3DM DP λλλλ==-=-, 其中01λ≤≤.∴AM AD DM =+()()0,2,00,,3λλ=+-()0,2,3λλ=-, 设平面MAC 的一个法向量为(),,m x y z =,则00m AM m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()2300y z x y λλ⎧-+=⎨+=⎩,令2z λ=-解得:3y λ=-,3x λ=.即()3,3,2m λλλ=--. 又∵平面ACD 的一个法向量()0,0,1m =. ∴()()()222222cos ,332m n λλλλ-<>==+-+-23λ=. 所以,M 为PD 的靠近点P 三等分点时,二面角M AC D --的余弦值为2211. 【点睛】方法点睛:本题考查证明线面平行,求二面角.求二面角的方法:(1)几何法(定义法):根据定义作出二面角的平面角并证明,然后解三角形得出结论; (2)空间向量法:建立空间直角坐标系,写出各点为坐标,求出二面角两个面的法向量,由两个平面法向量的夹角得二面角(它们相等或互补). 23.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ6;(Ⅲ)53.【分析】(Ⅰ)取AE 中点P ,连接BP 、MP ,根据题意可得四边形BCMP 为平行四边形,根据线面平行的判定定理,即可得证;(Ⅱ)连接EO ,根据面面垂直的性质定理,可证得EO OB ⊥, EO OD ⊥,以O 为原点,分别以OB ,OD ,OE 为x ,y ,z 轴正方向建系,分别求得CM ,BD 的坐标,利用夹角公式,即可求得结果;(Ⅲ)设ON OD λ=,则可得N 点坐标,即可求得平面BMN 的法向量n ,同理可求得平面ABE 的法向量m ,根据题意,可得0m n ⋅=,即可求得λ的值,即可得答案. 【详解】解:(Ⅰ)取AE 中点P ,连接MP BP ,,因为M 为线段DE 的中点, 所以1//2MP AD MP AD =,, 因为四边形BCDO 是正方形, O 为线段AD 的中点,所以1//2BC AD BC AD =,,即//BC OD BC OD =,, 所以//BC MP BC MP =,所以四边形BCMP 为平行四边形.所以//MC BP ,又因为MC ⊂/平面ABE ,BP ⊂平面ABE , 所以//CM 平面ABE ;(Ⅱ)因为AE DE O =,为线段AD 的中点,连接EO ,则⊥EO AD , 因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE平面ABCD AD =,EO ⊂平面ADE所以EO ⊥平面ABCD ,又因为OB ⊂平面ABCD ,所以EO OB ⊥, 又因为OB OD ⊥,所以OE OB OD ,,三线两两垂直.以O 为原点,以OB 为x 轴,以OD 为y 轴,以OE 为z 轴建立直角坐标系,如图所示,依题意可知(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B E D -设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =,因为(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==,因为00AB m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,所以0x y y z +=⎧⎨+=⎩,令1z =得11y x =-=,,所以(1,1,1)m =- 因为(0,1,1)DE =-,设DE 与平面ABE 所成角为θ, 则6sin |cos ,|32m DE θ=〈〉==⨯, 所以直线DE 与平面ABE 6; (Ⅲ)设(0,,0)ON OD λλ==,则(0,,0)N λ, 因为11110,,,1,,,(1,,0)2222M MB BN λ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,因为00MB n BN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,所以11022x y z x y λ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩, 令1y =得21x z λλ==-,,所以(,1,21)n λλ=-, 因为平面BMN ⊥平面ABE ,所以0m n ⋅= 故1210λλ-+-=,解得23λ=,即2(0,,0)3N , 故线段25133AN AO ON =+=+=. 【点睛】 方法点睛:求空间角的常用方法:(1)定义法,由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应三角形,即可求出结果;(2)向量法:建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量,平面法向量与平面法向量)余弦值,即可求出结果. 24.(1)2π;(2)12.【分析】由题意可得AB AD ⊥,AE AB ⊥,AE AD ⊥,以A 为坐标原点,分别以AB ,AD ,AE 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,分别求出所用点的坐标.(1)分别求出,DE AC 的坐标,由0DE AC =可得直线DE 与直线AC 所成的角; (2)分别求出平面BED 的一个法向量与平面EDC 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ED C --的余弦值. 【详解】如图,由题意,AB AD ⊥,AE AB ⊥,AE AD ⊥,以A 为坐标原点,分别以AB ,AD ,AE 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系:则()0,0,0A ,()2,0,0B ,(2C ,()0,2,0D ,(2E , (1)(0,2DE =-,(2AC =,220DE AC ⋅=-+=,∴直线DE 与直线AC 所成的角为π2;(2)设平面BED 的一个法向量为()111,,m x y z =,(2BE =-,(0,2DE =-,由1111220220m BE x z m DE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,取12z (2m =; 设平面EDC 的一个法向量为()222,,n x y z =,(0,2DE =-,()1,1,0EC =,由2222200n DE y n EC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2z =(1,1,n =-.21cos ,222m n m n m n⋅∴===⨯⋅, ∴二面角B ED C --的余弦值为12. 【点睛】本题考查了立体几何中的异面直线所成的角和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.25.(1)证明见解析;(2)⎣⎦. 【分析】()1证明:取BD 中点G ,连接,AG CG .根据三角形的性质和线面垂直的判定和性质可得证;()2以G 为原点,以GC 所在直线为x 轴,以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ,连接,,GE GF EF ,则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动,设1)0(EH EF λλ=≤≤,运用线面角的空间向量求解方法和二次函数的性质可求得范围. 【详解】()1证明:取BD 中点G ,连接,AG CG .ABD 和BCD △是等边三角形,AG BDCG BD AG BD G ⊥⎧⎪∴⊥⇒⎨⎪⋂=⎩BD ⊥面ACG ,AC ⊂面ACG ⇒AC BD ⊥; ()2以G 为原点,以GC 所在直线为x 轴,以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ,连接,,GE GF EF ,则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动, 则()(),0,0,00,1,0G B -,)()0,1,,,(00,CD A ,,110,,,02222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1)0(EH EFλλ=≤≤,31,,2222GH λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACD 的一个法向量(),,n x y z =,则00n AC n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3303+0x z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,平面的一个法向量()1,3,1n =,设直线GH 与平面ACD 所成角为θ,则231526sin ,55335122GH n GH nθλλ⎡⎤⋅==∈⎢⎥⎣⎦⋅-+.所以直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的范围为1526,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质,以及运用向量法求线面角的方法,关键在于得出动点运动的轨迹,运用向量的线性关系,设出动点的坐标,属于中档题. 26.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ39. 【分析】(Ⅰ)取AD 的中点G ,连结PG 、GB 、BD ,根据PA PD =和ABD △是正三角形,证明AD ⊥平面PGB 即可.(Ⅱ)根据侧面PAD ⊥底面ABCD ,PG AD ⊥,易得直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直,以G 为原点,直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系G xyz -,求得平面PBC 的一个法向量()000,,n x y z =,再由平面PAD 的一个法向量13,0)n GB a ==,设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,由11cos ||n n n n θ⋅=⋅求解.【详解】 (Ⅰ)如图所示:取AD 的中点G ,连结PG 、GB 、BD .PA PD =,PG AD ∴⊥AB AD =,且60DAB ∠=︒,ABD ∴是正三角形,BG AD ⊥, 又PG BG G =,AD ∴⊥平面PGB . AD PB ∴⊥(Ⅱ)∵侧面PAD ⊥底面ABCD , 又PG AD ⊥,PG ∴⊥底面ABCD .PG BG ∴⊥.∴直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直,故以G 为原点,直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系G xyz -.设PG a =,则可求得(0,0,)P a ,(,0,0)A a ,3,0)B a ,(,0,0)D a -,33,,022C a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.3,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭.(0,,)PB a ∴=-. 设()000,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量,则0n BC ⋅=且0n PB⋅=.000030,220.ax ay az ⎧--=⎪∴-=解得0000,.x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 取0y =(1,3,3)n =-.又∵平面PAD 的一个法向量1,0)n GB ==,设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos ||1313n nn n θ⋅===⋅+ 所以平面PAD 与平面PBC 【点睛】 方法点睛:求二面角最常用的方法:1、几何法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.向量法:分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.。
北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数z=a+i的实部与虚部相等,则实数a=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】z=a+i的虚部为1,故a=1,选B.【答案】B2.已知复数z=11+i,则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z=11+i=1-i2,∴z=12+12i,∴z·i=-12+1 2i.【答案】B3.观察:6+15<211, 5.5+15.5<211,4-2+17+2<211,……,对于任意的正实数a,b,使a+b<211成立的一个条件可以是()A.a+b=22B.a+b=21C.ab=20D.ab=21【解析】由归纳推理可知a+b=21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)=()A.-eB.-1C.1D.e【解析】∵f(x)=2xf′(1)+ln x,∴f′(x)=2f′(1)+1x,∴f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1.【答案】B5.由①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图像是一条直线;③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为:一次函数的图像是一条直线(大前提),y=2x+5是一次函数(小前提),y=2x+5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图像如图1所示,则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点,1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点,2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点,1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点,3个极小值点【解析】 根据极值的定义及判断方法,检查f ′(x )的零点左右值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个点处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个点处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见,x 2是函数f (x )的极大值点,x 3是极小值点,x 1,x 4不是极值点. 【答案】 A7.曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )=e x ,∴曲线在点(2,e 2)处的切线的斜率为k =f ′(2)=e 2,切线方程为y -e 2=e 2(x -2),即e 2x -y -e 2=0,切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0),B (0,-e 2),则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2=e 22.【答案】 D8.已知数列1,a +a 2,a 2+a 3+a 4,a 3+a 4+a 5+a 6,…,则数列的第k 项是( ) A.a k +a k +1+…+a 2k B.a k -1+a k +…+a 2k -1 C.a k -1+a k +…+a 2k D.a k -1+a k +…+a 2k -2【解析】 由归纳推理可知,第k 项的第一个数为a k -1,且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )=ax 3-x 在R 上为减函数,则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13 【解析】 由题意可知f ′(x )=3ax 2-1≤0在R 上恒成立,则a ≤0. 【答案】 A10.设a =⎠⎛10x -13d x ,b =1-⎠⎛01x 12d x ,c =⎠⎛10x 3d x ,则a ,b ,c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】 由题意可得a =⎠⎛01x -13dx =32x 23⎪⎪⎪10=32;b =1-⎠⎛01x 12dx =1-23x 32⎪⎪⎪10=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23-0=13;c =⎠⎛01x 3dx =x 44⎪⎪⎪1=14.综上,a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中,由假设n =k 时成立推导n =k +1时成立时,f (n )=1+12+13+…+12n -1增加的项数是( )A.1B.2k +1C.2k -1D.2k【解析】 ∵f (k )=1+12+13+…+12k -1,又f (k +1)=1+12+13+…+12k -1+12k +12k +1+…+12k +1-1.从f (k )到f (k +1)是增加了(2k +1-1)-2k +1=2k 项.【答案】 D12.已知函数f (x )=x 3-ln (x 2+1-x ),则对于任意实数a ,b (a +b ≠0),则f (a )+f (b )a +b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】 可知函数f (x )+f (-x )=x 3-ln (x 2+1-x )+(-x )3-ln (x 2+1+x )=0,所以函数为奇函数,同时, f ′(x )=3x 2+1x 2+1>0,f (x )是递增函数,f (a )+f (b )a +b=f (a )-f (-b )a -(-b ),所以f (a )+f (b )a +b>0,所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3+ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3+ii 2=-3-i ,∴其实部为-3.【答案】 -314.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……,根据上述规律,第五个等式为________.【解析】 第n 个等式左边为1到n +1的立方和,右边为1+2+3+…+(n +1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】 13+23+33+43+53+63=21215.曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】 由于曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12的交点的横坐标分别为x =π6及x =5π6,因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -12dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫-cos x -12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6=3-π3.【答案】3-π316.已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1-x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的切线方程是________.【解析】 设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1+x . ∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ),∴f (x )=e x -1+x . ∵当x >0时,f ′(x )=e x -1+1, ∴f ′(1)=e 1-1+1=1+1=2.∴曲线y =f (x )在点(1,2)处的切线方程为 y -2=2(x -1),即2x -y =0.【答案】 2x -y =0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z =(1+i )2+3(1-i )2+i,若z 2+az +b =1+i ,求实数a ,b 的值.【解】 z =(1+i )2+3(1-i )2+i =2i +3-3i 2+i =3-i2+i=(3-i )(2-i )5=5-5i5=1-i .因为z 2+az +b =(1-i )2+a (1-i )+b =-2i +a -ai +b =(a +b )-(2+a )i =1+i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a +b =1,-(2+a )=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3x +1. (1)当a =-2时,讨论f (x )的单调性;(2)若x ∈[2,+∞)时,f (x )≥0,求a 的取值范围. 【解】 (1)当a =-2时,f (x )=x 3-32x 2+3x +1, f ′(x )=3x 2-62x +3.令f ′(x )=0,得x 1=2-1,x 2=2+1.当x ∈(-∞, 2-1)时,f ′(x )>0,f (x )在(-∞,2-1)上是增函数; 当x ∈(2-1,2+1)时,f ′(x )<0,f (x )在(2-1, 2+1)上是减函数;当x ∈(2+1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(2+1,+∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0,得a ≥-54.当a ≥-54,x ∈(2,+∞)时,f ′(x )=3(x 2+2ax +1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-52x +1=3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12(x -2)>0, 所以f (x )在(2,+∞)上是增函数,于是当x ∈[2,+∞)时,f (x )≥f (2)≥0.综上,a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-54,+∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ,S n 是{a n }中从第2n -1项开始的连续2n -1项的和,即 S 1=a 1, S 2=a 2+a 3,S 3=a 4+a 5+a 6+a 7, ……S n =a 2n -1+a 2n -1+1+…+a 2n -1, ……若S 1,S 2,S 3成等比数列,问:数列{S n }是否成等比数列?请说明你的理由.【解】 ∵S 1,S 2,S 3成等比数列, ∴S 1=a 1≠0,且S 1·S 3=S 22,由S 1·S 3=S 22,得a 1(a 4+a 5+a 6+a 7)=(a 2+a 3)2,即a 1(4a 1+18d )=(2a 1+3d )2,2a 1d =3d 2.∴d =0或a 1=32d . 当d =0时,S n =2n -1a 1≠0,S n +1S n =2n a 12n -1a 1=2(常数),n ∈N +,{S n }成等比数列; 当a 1=32d 时,S n =a 2n -1+a 2n -1+1+a 2n -1=2n -1a 2n -1+2n -1(2n -1-1)2d=2n -1[a 1+(2n -1-1)d ]+2n -1(2n -1-1)2d=2n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n -1+a 1-32d =32d ·4n -1≠0, S n +1S n =32d ·4n32d ·4n -1=4(常数),n ∈N +,{S n }成等比数列.综上所述,若S 1,S 2,S 3成等比数列,则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )=x -m 2+2m +3(m ∈Z )为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=14f (x )+ax 3+92x 2-b (x ∈R ),其中a ,b ∈R ,若函数g (x )仅在x =0处有极值,求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0,+∞)上是单调增函数, 所以-m 2+2m +3>0,即m 2-2m -3<0, 所以-1<m <3,又m ∈Z ,所以m =0,1,2. 而m =0,2时,f (x )=x 3不是偶函数,m =1时, f (x )=x 4是偶函数, 所以f (x )=x 4.(2)由(1)知g (x )=14x 4+ax 3+92x 2-b ,则g ′(x )=x (x 2+3ax +9),显然x =0不是方程x 2+3ax +9=0的根. 为使g (x )仅在x =0处有极值, 必须x 2+3ax +9≥0恒成立,即有Δ=9a 2-36≤0,解不等式得a ∈[-2,2]. 这时,g (0)=-b 是唯一极值,所以a ∈[-2,2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中,数列的前n 项和S n 满足S n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +1a n . (1)求a 1,a 2,a 3;(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1=a 1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1+1a 1,得a 21=1, 因为a n >0,所以a 1=1.由S 2=a 1+a 2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+1a 2,得a 22+2a 2-1=0,所以a 2=2-1,由S 3=a 1+a 2+a 3=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3+1a 3,得a 23+22a 3-1=0,所以a 3=3- 2. (2)猜想a n =n -n -1(n ∈N +).证明:①当n =1时, a 1=1-0=1,命题成立; ②假设n =k (k ≥1,k ∈N +)时, a k =k -k -1成立,则n =k +1时, a k +1=S k +1-S k=12⎝⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +1a k , 即a k +1=12⎝⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1 -12⎝⎛⎭⎪⎫k -k -1+1k -k -1 =12⎝⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-k , 所以a 2k +1+2ka k +1-1=0. 所以a k +1=k +1-k ,则n =k +1时,命题成立. 则①②知,n ∈N +,a n =n -n -1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )=a e x ln x +b ex -1x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =e(x -1)+2.(1)求a ,b ; (2)证明:f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=a e x ln x +a x e x -b x 2e x -1+bx e x -1.由题意可得f (1)=2,f ′(1)=e.故a =1,b =2.(2)证明:由(1)知,f (x )=e x ln x +2x e x -1,从而f (x )>1等价于x ln x >x e -x -2e .设函数g (x )=x ln x ,则g ′(x )=1+ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 时,g ′(x )<0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞时,g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞上单调递增,从而g (x )在(0,+∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-1e .设函数h (x )=x e -x -2e ,则h ′(x )=e -x (1-x ).所以当x ∈(0,1)时,h ′(x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h (x )在(0,+∞)上的最大值为h (1)=-1e . 综上,当x >0时,g (x )>h (x ),即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知,A项属于类比推理,B项和D项属于归纳推理,而C项中各个学生的成绩不能类比,不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|P A|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知,选B.【答案】B4.用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都小于0B.假设a,b,c都大于0C.假设a,b,c中都不大于0D.假设a,b,c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为:“假设a,b,c中都不大于0”,故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.(5k-2k)+4·5k-2kB.5(5k-2k)+3·2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-3·5k【解析】5k+1-2k+1=5k·5-2k·2=5k·5-2k·5+2k·5-2k·2=5(5k-2k)+3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…-1n=2⎝⎛⎭⎪⎫1n+2+1n+4+…+12n时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证n=________时等式成立.()A.k+1B.k+2C.2k+2D.2(k+2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n=k+2,故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列,b5=2,则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9=29.若{a n}为等差数列,a5=2,则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+a3+…+a9=29C.a1a2a3…a9=2×9D.a1+a2+a3+…+a9=2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知,a1+a2+…+a9=2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况:①红+红,则乙盒中红球数加1;②黑+黑,则丙盒中黑球数加1;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1;④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多,所以①和②的情况一样多,③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上,选B.【答案】 B9.在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n <19且n ∈N +)成立,类比上述性质,在等比数列{b n }中,若b 11=1,则有( )A.b 1·b 2·…·b n =b 1·b 2·…·b 19-nB.b 1·b 2·…·b n =b 1·b 2·…·b 21-nC.b 1+b 2+…+b n =b 1+b 2+…+b 19-nD.b 1+b 2+…+b n =b 1+b 2+…+b 21-n 【解析】 令n =10时,验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 016项与5的差,即a 2 016-5=( )图1 A.2 018×2 014 B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n -5表示第n 个梯形有n -1层点,最上面一层为4个,最下面一层为n +2个.∴a n -5=(n -1)(n +6)2,∴a 2 016-5=2 015×2 0222=2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中,一个质点从A (a 1,a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3,a 4),C (a 5,a 6),D (a 7,a 8),…,按此规律一直运动下去,则a 2 015+a 2 016+a 2 017=( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】 依题意a 1=1,a 2=1;a 3=-1,a 4=2;a 5=2,a 6=3;…,归纳可得a 1+a 3=1-1=0,a 5+a 7=2-2=0,…,进而可归纳得a 2 015+a 2 017=0,a 2=1,a 4=2,a 6=3,…,进而可归纳得a 2 016=12×2 016=1 008,a 2 015+a 2 016+a 2 017=1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110+a 2102+a 3103+a 4104|a i ∈T ,i =1,2,3,4,将M 中的元素按从大到小排列,则第2 016个数是( )A.710+9102+8103+4104B.510+5102+7103+2104C.510+5102+7103+3104D.710+9102+9103+1104【解析】 因为a 110+a 2102+a 3103+a 4104 =1104(a 1×103+a 2×102+a 3×101+a 4),括号内表示的10进制数,其最大值为9 999,从大到小排列,第2 016个数为9 999-2 016+1=7 984,所以a 1=7,a 2=9,a 3=8,a 4=4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,则经过圆上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.类比上述性质,可以得到椭圆x 2a 2+y 2b 2=1类似的性质为__________.【解析】 圆的性质中,经过圆上一点M (x 0,y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0,y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2+y 2b 2=1类似的性质为:过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点P (x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1.【答案】 经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点P (x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2+y 0yb 2=1 14.观察下列等式: 13=1, 13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100, ……照此规律,第n 个等式可为__________.【解析】 依题意,注意到13=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×(1+1)2,13+23=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×(2+1)2=9,13+23+33=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×(3+1)2=36,……,照此规律,第n 个等式可为13+23+33+…+n 3=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n +1)2. 【答案】 13+23+33+…+n 3=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n +1)2 15.当n =1时,有(a -b )(a +b )=a 2-b 2,当n =2时,有(a -b )(a 2+ab +b 2)=a 3-b 3,当n =3时,有(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3)=a 4-b 4,当n ∈N +时,你能得到的结论是__________.【解析】 根据题意,由于当n =1时,有(a -b )(a +b )=a 2-b 2,当n =2时,有(a -b )(a 2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当n∈N+时,左边第二个因式可知为a n+a n-1b+…+ab n-1+b n,那么对应的表达式为(a -b)·(a n+a n-1b+…+ab n-1+b n)=a n+1-b n+1.【答案】(a-b)(a n+a n-1b+…+ab n-1+b n)=a n+1-b n+116.如图3,如果一个凸多面体是n(n∈N+)棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条,这些直线共有f(n)对异面直线,则f(4)=________,f(n)=__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数+底边数+对角线数=n+n+n(n-3)2=n(n+1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)=4×2+4×12×2=12,所以f(n)=n(n-2)+n(n-3)2·(n-2)=n(n-1)(n-2)2.【答案】n(n+1)212n(n-1)(n-2)2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明:(1)如果a,b>0,则lg a+b2≥lg a+lg b2;(2)6+10>23+2.【证明】(1)当a,b>0时,有a+b2≥ab,∴lg a+b2≥lg ab,∴lg a+b2≥12lg ab=lg a+lg b2.(2)要证6+10>23+2,只要证(6+10)2>(23+2)2,即260>248,这是显然成立的,所以,原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式:sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=3 4,sin 220°+cos 250°+sin 20°cos 50°=34, sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45°=34.分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.【解】 猜想:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34. 证明如下:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=sin 2α+⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α-12sin α2+sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α-12sin α=sin 2α+34cos 2α-32sin αcos α+14sin 2α+ 32sin α·cos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α =34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥BB 1交AA 1于点M ,PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证:CC 1⊥MN ;(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.【解】 (1)证明:因为PM ⊥BB 1,PN ⊥BB 1,又PM ∩PN =P , 所以BB 1⊥平面PMN ,所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1,所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中,有S 2ABB 1A 1=S 2BCC 1B 1+S 2ACC 1A 1-2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下:因为CC 1⊥平面PMN ,所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中,因为PM 2=PN 2+MN 2-2PN · MN cos ∠MNP ,所以PM 2·CC 21=PN 2·CC 21+MN 2·CC 21-2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ,由于S BCC 1B 1=PN ·CC 1,S ACC 1A 1=MN ·CC 1, S ABB 1A 1=PM ·BB 1=PM ·CC 1,所以S 2 ABB 1A 1=S 2 BCC 1B 1+S 2 ACC 1A 1-2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4,在三棱锥P ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知P A ⊥AC ,P A =6,BC =8,DF =5.求证:图4(1)直线P A ∥平面DEF ; (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点,所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ,DE 平面DEF , 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,P A =6,BC =8,所以DE ∥P A ,DE =12P A =3,EF =12BC =4.又因为DF =5,故DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠DEF =90°,即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ,DE ∥P A ,所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF =E ,AC 平面ABC ,EF 平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE , 所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=14,且a n +1=(n -1)a n n -a n(n ≥2).(1)求a 3,a 4,猜想a n 的表达式,并加以证明;(2)设b n =a n ·a n +1a n +a n +1, 求证:对任意的n ∈N +,都有b 1+b 2+…+b n <n3.【解】 (1)容易求得:a 3=17,a 4=110.故可以猜想a n =13n -2,n ∈N +.下面利用数学归纳法加以证明: ①显然当n =1,2,3,4时,结论成立, ②假设当n =k (k ≥4,k ∈N +)时,结论也成立,即a k =13k -2.那么当n =k +1时,由题设与归纳假设可知:a k +1=(k -1)a kk -a k=(k -1)×13k -2k -13k -2=k -13k 2-2k -1=k -1(3k +1)(k -1)=13k +1=13(k +1)-2. 即当n =k +1时,结论也成立,综上,对任意n ∈N +,a n =13n -2成立.(2)证明:b n =a n ·a n +1a n +a n +1=13n -2·13n +113n -2+13n +1=13n +1+3n -2=13(3n +1-3n -2),所以b 1+b 2+…+b n =13[(4-1)+(7-4)+(10-7)+…+(3n +1-3n -2)] =13(3n +1-1),所以只需要证明13(3n +1-1)<n3⇔3n +1<3n +1⇔3n +1<3n +23n +1⇔0<23n (显然成立),所以对任意的n ∈N +,都有b 1+b 2+…+b n <n 3.22.(本小题满分12分)记U ={1,2,…,100},对数列{a n }(n ∈N +)和U 的子集T ,若T =∅,定义S T =0;若T ={t 1,t 2,…,t k },定义S T =at 1+at 2+…+at k .例如:T ={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ∈N +)是公比为3的等比数列,且当T ={2,4}时,S T =30.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意正整数k (1≤k ≤100),若T ⊆{1,2,…,k },求证:S T <a k +1; (3)设C ⊆U ,D ⊆U ,S C ≥S D ,求证:S C +S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n =a 1·3n -1,n ∈N +.于是当T ={2,4}时,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1. 又S T =30,故30a 1=30,即a 1=1.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -1,n ∈N +.(2)证明:因为T ⊆{1,2,…,k },a n =3n -1>0,n ∈N +,所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k -1=12(3k -1)<3k .因此,S T <a k +1.(3)证明:下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D . ②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集. 令E =C ∩∁U D ,F =D ∩∁U C , 则E ≠∅,F ≠∅,E ∩F =∅.于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l . 由(2)知,S E <a k +1.于是3l -1=a l ≤S F ≤S E <a k +1=3k , 所以l -1<k ,即l ≤k . 又k ≠l ,故l ≤k -1.从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l -1=3l -12≤3k -1-12=a k -12≤S E -12,故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1, 即S C +S C ∩D ≥2S D +1. 综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )=-2x 2+1,那么该质点从x =1到x =2的平均速度为( )A.-4B.-5C.-6D.-7【解析】Δy Δx =f (2)-f (1)2-1=(-2×22+1)-(-2×12+1)1=-6.【答案】 C2.设曲线y =ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( )A.1B.12C.-12 D.-1【解析】 y ′=2ax ,于是切线斜率k =f ′(1)=2a ,由题意知2a =2,∴a =1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′=cos α(α为常数) B.(cos x )′=sin xC.(sin x)′=cos xD.(x-5)′=-15x-6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′=0;选项B中(cos x)′=-sin x;选项D中(x -5)′=-5x-6.【答案】C4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于()【解析】令f(x)=ax-ln(x+1),则f′(x)=a-1x+1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=a-1.又切线方程为y=2x,则有a-1=2.∴a=3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示,则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)=ax2+c(a<0),∴f′(x)=2ax(a<0),故选B.【答案】B6.已知函数y=x-1,则它的导函数是()A.y′=12x-1 B.y′=x-12(x-1)C.y′=2x-1x-1 D.y′=-x-12(x-1)【解析】u=x-1,y′=(u)′·u′=12u=12x-1=x-12(x-1).【答案】B7.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0【解析】切线l的斜率k=4,设y=x4的切点的坐标为(x0,y0),则k=4x30=4,∴x0=1,∴切点为(1,1),即y-1=4(x-1),∴4x-y-3=0.【答案】A8.设函数f (x )=x m+ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N +)的前n 项和是( )A.n n +1 B.n +2n +1 C.n n -1 D.n +1n 【解析】 ∵f ′(x )=mx m -1+a =2x +1,∴m =2,a =1,∴f (x )=x 2+x ,∴1f (n )=1n 2+n =1n (n +1)=1n -1n +1,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N +)的前n 项和为1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1.故选A.【答案】 A9.如图2,下列图像中,有一个是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x +1(a ∈R ,a ≠0)的导函数f ′(x )的图像,则f (-1)等于( )图2A.-13B.13C.73D.-13或73【解析】 f ′(x )=x 2+2ax +(a 2-1)=[x +(a -1)][x +(a +1)].显然(2)(4)不符合,若(1)是f ′(x )的图像,则有a =0,与已知矛盾,故(3)是f ′(x )的图像,∴a =-1.∴f (-1)=-13-1+1=-13.【答案】 A10.过点(-1,0)作抛物线y =x 2+x +1的切线,则其中一条切线为( ) A.2x +y +2=0 B.3x -y +3=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0 【解析】 y ′=2x +1,设所求切线的切点为(x 0,x 20+x 0+1), 则x 20+x 0+1x 0+1=2x 0+1,∴x 0=0或x 0=-2.当x 0=0时,曲线y =x 2+x +1在点(0,1)处的切线斜率为1,方程为y -1=x ,即x -y +1=0.当x 0=-2时,切线方程为3x +y +3=0. 【答案】 D11.点P 是曲线x 2-y -2ln x =0上任意一点,则点P 到直线4x +4y +1=0的最短距离是( )A.22(1-ln 2)B.22(1+ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12+ln 2D.12(1+ln 2)【解析】 y ′=2x -1x =-1⇒x =12⇒y =14+ln 2,所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14+ln 2,切点到直线的距离就是两平行线间的距离,由点到直线的距离公式求得d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12+4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14+ln 2+142+42=22(1+ln 2),故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4,π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π 【解析】 因为y =4e x+1, 所以y ′=-4e x(e x +1)2=-4e xe 2x +2e x +1=-4e x +1ex +2. 因为e x >0,所以e x +1e x≥2,所以y ′∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y =f (x )是一次函数,若f (1)=-1,且f ′(2)=-4,则f (x )=________. 【解析】 ∵y =f (x )是一次函数,∴设f (x )=ax +b , ∴f ′(x )=a ,则f (1)=a +b =-1,又f ′(2)=a =-4.即a =-4,b =3,∴f (x )=-4x +3. 【答案】 -4x +314.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标为-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.【解析】 ∵y ′=2x -1, ∴当x =-2时,y ′=-5. 又P (-2,6+c ), ∴6+c -2=-5,∴c =4. 【答案】 415.设函数f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )(a ,b ,c 是两两不等的常数),则a f ′(a )+bf ′(b )+cf ′(c )=________. 【解析】 ∵f ′(x )=(x -b )(x -c )+(x -a )·(x -c )+(x -a )·(x -b ), ∴f ′(a )=(a -b )(a -c ), 同理f ′(b )=(b -a )(b -c ), f ′(c )=(c -a )(c -b ),代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )=cos(3x +φ)(0<φ<π),若f (x )+f ′(x )是奇函数,则φ=____. 【解析】 f ′(x )=-sin (3x +φ)·(3x +φ)′=-3sin (3x +φ),∴f (x )+f ′(x )=cos(3x +φ)-3sin(3x +φ)=2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +φ+π3,当f (x )+f ′(x )为奇函数时,φ+π3=k π+π2,k ∈Z ,∴φ=k π+π6,k ∈Z ,∵0<φ<π,∴φ=π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y =3x 2+x cos x ;(2)y =tan x x ;(3)y =x 2-2x +5x 3.【解】 (1)y ′=(3x 2)′+(x cos x )′ =6x +x ′cos x +x (cos x )′ =6x +cos x -x sin x .(2)法一:y ′=(tan x )′·x -tan xx 2=xcos 2x -tan x x 2=x -cos 2x ·tan x x 2cos 2x =x -sin x cos x x 2cos 2x .法二:y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′=(sin x )′x cos x -sin x (x cos x )′x 2cos 2x=x cos 2x -sin x (cos x -x sin x )x 2cos 2x=x -sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y =1x -2x 2+5x 3=x -1-2x -2+5x -3,∴y ′=-x -2-2×(-2)x -3+5×(-3)x -4=-1x 2+4x 3-15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y =f (x )=x 3-8x +2. (1)求曲线在点(0,2)处的切线方程;(2)过原点作曲线的切线l :y =kx ,求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )=x 3-8x +2,∴f ′(x )=3x 2-8,则f ′(0)=-8,所以曲线在点(0,2)处的切线方程为y -2=-8(x -0),即8x +y -2=0.(2)设切点为P (a ,a 3-8a +2),切线斜率k =3a 2-8,则切线方程y -(a 3-8a +2)=(3a 2-8)(x -a ),又因为切线过原点,所以0-(a 3-8a +2)=(3a 2-8)(0-a ),即2a 3-2=0,所以a =1,即切线l 斜率为k =-5,切线l 方程为y =-5x ,即5x +y =0.19.(本小题满分12分)已知曲线y =x 3+x -2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x -y -1=0,且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标;(2)若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程.【解】 (1)由y =x 3+x -2,得y ′=3x 2+1,由已知得3x 2+1=4,解得x =±1.当x =1时,y =0;当x =-1时,y =-4.又因为点P 0在第三象限,所以切点P 0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,所以直线l 的斜率为-14, 因为l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4),所以直线l 的方程为y +4=-14(x +1),即x +4y +17=0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )=x e a -x +bx ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =(e -1)x +4.(1)求a ,b 的值;(2)求过点(2,f (2))且与切线y =(e -1)x +4垂直的直线方程l .【解】 (1)因为f (x )=x e a -x +bx , 所以f ′(x )=(1-x )e a -x +b .依题设,⎩⎪⎨⎪⎧f (2)=2e +2,f ′(2)=e -1,即⎩⎪⎨⎪⎧2e a -2+2b =2e +2,-e a -2+b =e -1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =e.(2)由(1)知k l =11-e ,且f (2)=2e +2, ∴y -(2e +2)=11-e(x -2).即所求直线l 的方程为y =11-e x +21-e +2e +2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2. (1)若a =1,求f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立,求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a =1时,f (x )=ln x +x 2,则f ′(x )=1x +2x ,故在点(1,f (1))处的切线斜率为k =f ′(1)=3,又f (1)=1,即切点为(1,1),故切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0.(2)当x ≥2时,f ′(x )≥x ,即ax +2x ≥x (x ≥2)恒成立,即a ≥-x 2在x ∈[2,+∞)上恒成立. 令t =-x 2,当x ∈[2,+∞)时,易知t max =-4,为使不等式a ≥-x 2恒成立,则a ≥-4,故实数a 的取值范围为[-4,+∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )=x 3+ax ,g (x )=ax 2+bx +c 都经过点P (1,2),且在点P 有公切线.(1)求a ,b ,c 的值;(2)设k (x )=f (x )g (x ),求k ′(-2)的值.【解】 (1)依题意,⎩⎪⎨⎪⎧1+a =2,a +b +c =2,即⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b +c =1.故f (x )=x 3+x ,g (x )=x 2+bx +1-b ,所以f ′(x )=3x 2+1,g ′(x )=2x +b ,由于两曲线在点P (1,2)处有公切线,故f ′(1)=g ′(1),即4=2+b , 所以b =2. 故c =1-b =-1.(2)由(1)可得f (x )=x 3+x ,g (x )=x 2+2x -1, 故k (x )=f (x )g (x )=x 3+x x 2+2x -1,故k ′(x )=(x 3+x )′(x 2+2x -1)-(x 3+x )(x 2+2x -1)′(x 2+2x -1)2=(3x 2+1)(x 2+2x -1)-(x 3+x )(2x +2)(x 2+2x -1)2=x 4+4x 3-4x 2-1(x 2+2x -1)2. 故k ′(-2)=16-32-16-1(4-4-1)2=-33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s =14t 4-3,则t =5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 ∵v =s ′=t 3,∴t =5时的瞬时速度为53=125. 【答案】 C2.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)【解析】 f ′(x )=(x -2)e x ,由f ′(x )>0,得x >2,所以函数f (x )的单调递增区间是(2,+∞). 【答案】 D3.函数f (x )=ax 3+x +1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )=3ax 2+1,当a =0时,f ′(x )=1>0,f (x )单调增加,无极值;当a ≠0时,只需Δ=-12a >0,即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示,那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(-∞,-2),(-1,+∞)上,f ′(x )<0,f (x )是减函数;在(-2,-1)上,f ′(x )>0,f (x )是增函数,从而得出结论.【答案】 B5.若函数y =a (x 3-x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-33,⎝ ⎛⎭⎪⎫33,+∞,则a 的取值范围是( )A.a >0B.-1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′=a (3x 2-1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-33,⎝ ⎛⎭⎪⎫33,+∞,∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导,且满足f (x )-xf ′(x )>0,则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)=f (3) D.f (1)=f (3) 【解析】 由于f (x )>xf ′(x ),⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′=f ′(x )x -f (x )x 2<0恒成立,因此f (x )x 在R 上是单调递减函数,∴f (3)3<f (1)1,即3f (1)>f (3),故选B.【答案】 B7.若函数f (x )=-x 3+3x 2+9x +a 在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为( )A.-5B.7C.10D.-19【解析】 ∵f (x )′=-3x 2+6x +9=-3(x +1)(x -3), 所以函数在[-2,-1]内单调递减, 所以最大值为f (-2)=2+a =2, ∴a =0,最小值为f (-1)=a -5=-5. 【答案】 A8.函数y =12x -2sin x 的图像大致是( )【解析】 因为y ′=12-2cos x ,所以令y ′=12-2cos x >0,得cos x <14,此时原函数是增函数;令y ′=12-2cos x <0,得cos x >14,此时原函数是减函数,结合余弦函数图像,可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1)【解析】 f ′(x )=-x +bx +2,由题意知f ′(x )≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x 2+2x 在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤(x +1)2-1,则b ≤-1,故选C.【答案】 C10.已知y =f (x )是定义在R 上的函数,且f (1)=1,f ′(x )>1,则f (x )>x 的解集是( ) A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】 不等式f (x )>x 可化为f (x )-x >0, 设g (x )=f (x )-x ,则g ′(x )=f (x )′-1, 由题意g ′(x )=f ′(x )-1>0,∴函数g (x )在R 上单调递增,又g (1)=f (1)-1=0, ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1),∴x >1,故选C. 【答案】 C11.当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-5,-3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-6,-98C.[-6,-2]D.[-4,-3] 【解析】 当x =0时,ax 3-x 2+4x +3≥0变为3≥0恒成立,即a ∈R . 当x ∈(0,1]时,ax 3≥x 2-4x -3,a ≥x 2-4x -3x 3,∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2-4x -3x 3max . 设φ(x )=x 2-4x -3x 3,φ′(x )=(2x -4)x 3-(x 2-4x -3)3x 2x 6=-x 2-8x -9x 4=-(x -9)(x +1)x 4>0,∴φ(x )在(0,1]上递增,φ(x )max =φ(1)=-6. ∴a ≥-6.当x ∈[-2,0)时,a ≤x 2-4x -3x 3,∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2-4x -3x 3min . 仍设φ(x )=x 2-4x -3x 3,φ′(x )=-(x -9)(x +1)x 4.当x ∈[-2,-1)时,φ′(x )<0.当x ∈(-1,0)时,φ′(x )>0.∴当x =-1时,φ(x )有极小值,即为最小值. 而φ(x )min =φ(-1)=1+4-3-1=-2,∴a ≤-2.综上知-6≤a ≤-2. 【答案】 C12.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <-4 C.a ≥0或a ≤-4 D.a >0或a <-4【解析】 f ′(x )=2x +2+ax ,x ∈(0,1), ∵f (x )在(0,1)上单调,∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立,∴2x +2+a x ≥0或2x +2+ax ≤0在(0,1)上恒成立,即a ≥-2x 2-2x 或a ≤-2x 2-2x 在(0,1)上恒成立.设g (x )=-2x 2-2x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+12,则g (x )在(0,1)上单调递减,∴g (x )max =g (0)=0,g (x )min =g (1)=-4.∴a ≥g (x )max =0或a ≤g (x )min =-4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )=(2x +1)e x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为________. 【解析】 因为f (x )=(2x +1)e x , 所以f ′(x )=2e x +(2x +1)e x =(2x +3)e x ,所以f ′(0)=3e 0=3. 【答案】 314.函数f (x )=12e x (sin x +cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f ′(x )=e x cos x ≥0,∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12,12e π2 15.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2,在x =1时有极值10,则a +b =________. 【解析】 f ′(x )=3x 2+2ax +b ,f ′(1)=2a +b +3=0,f (1)=a 2+a +b +1=10,⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =-3,a 2+a +b =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =-11,当a =-3时,x =1不是极值点,a ,b 的值分别为4,-11,∴a +b =-7.【答案】 -716.周长为20 cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ,则宽为10-x (0<x <10),由题意可知所求圆柱的体积V =πx 2(10-x )=10πx 2-πx 3,∴V ′(x )=20πx -3πx 2.由V ′(x )=0,得x =0(舍去),x =203,且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,203时,V ′(x )>0,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203,10时,V ′(x )<0,∴当x =203时,V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +3既有极大值又有极小值,求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )=3x 2+6ax +3(a +2), 令3x 2+6ax +3(a +2)=0,即x 2+2ax +a +2=0,∵函数f (x )有极大值和极小值,∴方程x 2+2ax +a +2=0有两个不相等的实数根,即Δ=4a 2-4a -8>0,解得a >2或a <-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )=x 3-3ax 2+3bx 的图像与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11).(1)求a ,b 的值;(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )=3x 2-6ax +3b .由于f (x )的图像与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11),所以f (1)=-11,f ′(1)=-12, 即⎩⎪⎨⎪⎧1-3a +3b =-11,3-6a +3b =-12,解得a =1,b =-3. (2)由a =1,b =-3得f ′(x )=3x 2-6x -9=3(x 2-2x -3) =3(x +1)(x -3).令f ′(x )>0,解得x <-1或x >3; 又令f ′(x )<0,解得-1<x <3.故当x ∈(-∞,-1)和x ∈(3,+∞)时,f (x )是增函数,当x ∈(-1,3)时,f (x )是减函数.。
北师大版高中数学选修2-1学案:第1章 充分条件与必要条件 充分条件与判定定理 必要条件与性质定理
§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件与必要条件2.2 充分条件与判定定理2.3 必要条件与性质定理学习目标:1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 2.掌握充分条件、必要条件的判断.(易混点、难点)充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考:(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件?[提示]判定定理给出了结论成立的充分条件.(2)性质定理给出了结论成立的什么条件?[提示]性质定理给出了结论成立的必要条件.1.判断正误(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件,则若p则q是真命题.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )[答案](1)√(2)√(3)×2.下列命题中,真命题是( )A.“x2>0”是“x>0”的充分条件B.“xy=0”是“x=0”的必要条件C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件D.“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件B[“x2>0”是“x>0”的必要条件;“xy=0”是“x=0”的必要条件;“|a|=|b|”是“a=b”的必要条件;“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件.故选B.]3.若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的________条件.充分[∵p⇒q,q⇒r,∴p⇒r.]4.“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件(填“充分”或“必要”).必要[∵a>0,b>0,∴ab>0.反之,不一定成立,故“ab>0”是“a>0,b>0”的必要条件.]充分条件【例1】(1) “a+b>2c”的一个充分条件是( )A.a>c或b>c B.a>c或b<cC.a>c且b<c D.a>c且b>c(2)下列各题中,p是q的充分条件的是________.①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.(1)D (2)③[(1)a>c且b>c⇒a+b>2c,a+b>2c a>c且b>c,故选D.(2)①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形相似,不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴Δ=12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.]1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p⇒q问题.2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A ⊆B,则p是q的充分条件.1.(1)“a>b,b>2”是“a+b>4,ab>4”的________条件.(2)设命题甲为0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的________条件.(1)充分(2)充分[(1)由a>b,b>2⇒a+b>4,ab>4,∴是充分条件.(2)解不等式|x-2|<3得-1<x<5,∵0<x<5⇒-1<x<5,∴甲是乙的充分条件.]必要条件的判断(1)p:x>2且y>3,q:x+y>5;(2)p:y=x2,q:函数是偶函数;(3)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形.[思路探究]要判断p与q的关系,主要看是p⇒q,还是q⇒p.[解](1)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.(3)由于q⇒p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件.1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p⇒q为真,则p是q的充分条件,若q⇒p为真,则p是q的必要条件.2.可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”.若A⊇B,则甲是乙的必要条件.2.“0<x<5”的一个必要条件是( )A.x>5 B.x2-5x>0C.0<x<4 D.x<5D[∵0<x<5⇒x<5,∴x<5是0<x<5的一个必要条件.故选D.]充分条件与必要条件的应用1.从集合的角度如何判断充分条件、必要条件?[提示]设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.若A⊆B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇒q,p是q的充分条件.同理,若B⊆A,即q⇒p,p 是q的必要条件.2.“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗?[提示]不同. 若p是q的充分条件则p是条件,q是结论;若p的充分条件是q,则p是结论,q是条件.【例3】已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0.若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.[思路探究]q是p的必要条件等价于p⇒q,可借助集合的知识求解.[解]由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a<x<a,所以p:3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a}.由x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以q:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.因为q是p的必要条件,所以p⇒q,所以A⊆B,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥-2,a ≤3,a<0⇒-23≤a<0,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-23,0.1.(变条件)本例中条件“a<0”改为“a>0”,若q 是p 的充分条件,求实数a 的取值范围. [解] 由x 2-4ax +3a 2<0且a>0得a<x<3a, 所以p :a<x<3a,即集合A ={x|a<x<3a}. 由x 2-x -6≤0得-2≤x≤3,所以q :-2≤x≤3,即集合B ={x|-2≤x≤3}. 因为q 是p 的充分条件,所以q ⇒p,所以B ⊆A, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3,a ≤-2,⇒a ∈.a>02.(变条件)将“q:实数x 满足x 2-x -6≤0”改为“q:实数x 满足x 2+3x≤0”,其他条件不变,求实数a 的取值范围.[解] 由x 2-4ax +3a 2<0且a<0得3a<x<a. 所以p :3a<x<a,即集合A ={x|3a<x<a}. 由x 2+3x≤0得-3≤x≤0,所以q :-3≤x≤0,即集合B ={x|-3≤x≤0}. 因为q 是p 的必要条件,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥-3,a ≤0,a<0⇒-1≤a<0.所以a 的取值范围是[-1,0).充分条件与必要条件的应用技巧1.应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. 2.求解步骤:先把p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.1.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.无法判断A[由(a-1)(a-2)=0得a=1或a=2,所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分条件,故选A.] 2.设x∈R,则x>2的一个必要条件是( )A.x>1 B.x<1C.x>3 D.x<3A[x>2⇒x>1,∴x>1是x>2的必要条件.]3.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件D.无法判断A[∵乙⇒甲,丙⇒乙,乙丙,∴丙⇒甲,甲丙,∴丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.故选A.]4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________.(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________.(1)必要条件(2)充分条件[(1) 当ac<0时,Δ=b2-4ac>0,此时ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,反之不一定成立,故“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件.(2)△ABC≌△A′B′C′可推出△ABC∽△A′B′C′,反之不一定成立,故“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件.]5.若“x<m”是“(x-1)(x-2)>0”的充分不必要条件,求m的取值范围.[解]由(x-1)(x-2)>0可得x>2或x<1,由已知条件,知{x|x<m}{x|x>2或x<1}.∴m≤1.。
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学业分层测评(十九)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.方程|x |+|y |=1表示的曲线是( )
【解析】 原方程可化为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0,y ≥0,x +y =1,或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≤0,x -y =1,或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0,y ≤0,x +y =-1,或 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0,y ≥0,-x +y =1. 作出其曲线为D. 【答案】 D
2.方程4x 2-y 2+4x +2y =0表示的曲线是( ) A .一个点
B .两条互相平行的直线
C .两条互相垂直的直线
D .两条相交但不垂直的直线 【解析】 ∵4x 2-y 2+4x +2y =0, ∴(2x +1)2-(y -1)2=0, ∴2x +1=±(y -1),
∴2x +y =0或2x -y +2=0,这两条直线相交但不垂直. 【答案】 D
3.已知定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足直线P A,PB的斜率之积为-1,则动点P满足的方程是()
A.x2+y2=1B.x2+y2=1(x≠±1)
C.x2+y2=1(x≠0) D.y=1-x2(x≠±1)
【解析】设动点P的坐标为(x,y),则k P A=
y
x+1
(x≠-1),
k PB=
y
x-1
(x≠1).
∵k P A·k PB=-1,
∴y x+1·
y
x-1
=-1,整理得x2+y2=1(x≠±1).
【答案】 B
4.已知两定点A(-2,0)、B(1,0),如果动点P满足|P A|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
A.πB.4π
C.8πD.9π
【解析】根据题意,用直译法.设动点P的坐标为(x,y),由已知|P A|=2|PB|,得(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,两边平方,得x2+4x+4+y2=4x2-8x +4+4y2,化简得(x-2)2+y2=4.
所以P点的轨迹是半径为2的圆,所以面积是4π.
【答案】 B
5.(2015·长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为()
A.4x2
21-
4y2
25=1 B.
4x2
21+
4y2
25=1
C.4x2
25-
4y2
21=1 D.
4x2
25+
4y2
21=1
【解析】 ∵M 为AQ 垂直平分线上一点,则|AM |=|MQ |,
∴|MC |+|MA |=|MC |+|MQ |=|CQ |=5,故M 的轨迹是以定点C 、A 为焦点的椭圆,∴a =52,c =1,则b 2=a 2-c 2=21
4,
∴其标准方程为4x 225+4y 2
21=1. 【答案】 D 二、填空题
6.若曲线C :xy +3x +ky +2=0,当k =________时,曲线经过点(2,-1).
【导学号:32550093】
【解析】 将点(2,-1)代入曲线C 的方程xy +3x +ky +2=0,由曲线与方程的概念知,方程成立,即2×(-1)+3×2+k ×(-1)+2=0,解得k =6.
【答案】 6
7.(2016·温州高二检测)已知点M 到定点F (1,0)的距离和它到定直线l :x =4的距离的比是常数12,设点M 的轨迹为曲线C ,则曲线C 的轨迹方程是________.
【解析】 设点M (x ,y )则 (x -1)2+y 2|x -4|
=12整理得x 24+y 2
3=1.
【答案】 x 24+y 2
3=1
8.下列结论正确的是________.(填序号) ①方程
x
y -2
=1表示斜率为1,在y 轴上的截距是2的直线; ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3),B (-2,0),C (2,0),则中线AD 的方程是x =0;
③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y =5;
④曲线2x 2-3y 2-2x +m =0通过原点的充要条件是m =0.
【解析】 ①③不符合曲线与方程概念中的条件(1);②不满足曲线与方程概念中的条件(2);只有④正确.
【答案】 ④ 三、解答题
9.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入,遇直线l :3x -2y +7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +5=0,3x -2y +7=0,得⎩⎪⎨⎪⎧
x =-1,
y =2.
即反射点M 的坐标为(-1,2).
又取直线x -2y +5=0上一点P (-5,0),设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0),由PP ′⊥l 可知,k PP ′=-23=y 0
x 0+5
.
而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 0-52,y 02,Q 点在l 上,
即3·x 0-52-2·
y 0
2+7=0. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y 0x 0+5=-23,32(x 0-5)-y 0+7=0.
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0=-17
13,y 0=-32
13.
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x -2y +33=0.
10.A 为定点,线段BC 在定直线l 上滑动,已知|BC |=4,A 到l 的距离为3,
求△ABC的外心的轨迹.
【解】建立平面直角坐标系,使x轴与l重合,A点在y轴上(如图所示),则
A(0,3).
设外心P(x,y).
∵P在BC的垂直平分线上,
∴B(x+2,0),C(x-2,0).
∵P也在AB的垂直平分线上,∴|P A|=|PB|,
即x2+(y-3)2=22+y2.
化简,得x2-6y+5=0.
故外心的轨迹方程为x2-6y+5=0.
所以,△ABC的外心的轨迹是抛物线x2-6y+5=0.
[能力提升]
1.如图3-4-1,△P AB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹是()
图3-4-1
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D .抛物线的一部分
【解析】 由题意可得P
A AD +2PB
BC =10,则P A +PB =40>AB =6,又因P 、A 、B 三点不共线,故点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分,
故选B. 【答案】 B
2.(2014·福建高考)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2 |=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|,则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )
【解析】 设F 1(-c,0),F 2(c,0),P (x ,y ),则点P 满足:||PF 1|+||PF 2|=2a (2a >||F 1F 2|),代入坐标,得|x +c |+|x -c |+2|y |=2a .当y >0时,y =⎩⎪⎨⎪
⎧
x +a ,x <-c ,a -c ,-c ≤x ≤c ,-x +a ,x >c ;
当y ≤0时,y =⎩⎪⎨⎪
⎧
-x -a ,x <-c ,c -a ,-c ≤x ≤c ,
x -a ,x >c .
所以图像应为A. 【答案】 A
3.曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C 过坐标原点;②曲线C 关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于1
2a 2.
其中,所有正确结论的序号是________.
【解析】设曲线C上任一点P(x,y),由|PF1|·|PF2|=a2,可得(x+1)2+y2·(x-1)2+y2=a2(a>1),将原点(0,0)代入等式不成立,故①不正确.
∵点P(x,y)在曲线C上,点P关于原点的对称点P′(-x,-y),将P′代
入曲线C的方程等式成立,故②正确.设∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=1
2|PF1||PF2|·
sin θ=1
2a
2sin θ≤
1
2a
2,故③正确.
【答案】②③
4.如图3-4-2所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点,使得|PM|=2|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
图3-4-2
【解】以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的坐标系,
则O1(-2,0),O2(2,0).
由已知|PM|=2|PN|,
∴|PM|2=2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1,
∴|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).
设P(x,y),
则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.
∴所求动点P的轨迹方程为
(x-6)2+y2=33.。