立体几何二面角问题

立体证明题（2）

1 •如图，直二而角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，AE二EB, F为CE上的点，且BF丄

平面ACE.

（1）求证:AE丄平面BCE：

（2）求二面角B - AC - E的余弦值.

2•等腰△ABC中，AC=BC=V5t AB=2, E、F分别为AC、BC的中点，将AEFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥P-ABFE,且AP=Bpd.

（1）求证：平而EFP丄平而ABFE；

（2）求二而角B-AP-E的大小・

3•如图，在四棱锥P-ABCD中，底而是正方形，侧面PAD丄底而ABCD,且V2

PA二PD二2 AD,若E、F分別为PC、BD的中点.

(I )求证：EF〃平面PAD；

(II)求证：EF丄平面PDC.

4•如图:正AABC与RtABCD所在平而互相垂直，且ZBCD二90° , ZCBD二30° .

(1)求证：AB丄CD：

(2)求二面角D-AB-C的正切值.

5•如图，在四棱锥P-ABCD中，平而PAD丄平而ABCD, APAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，ZADC二120° , AB=2AD・

(1)求证：平而PAD丄平而PBD：

(2)求二而角A - PB - C的余弦值.

6•如图,在直三棱柱ABC - AxBxCx 中，ZACB=90° , AC二CB二CG二2, E 是AB 中点.

(I )求证:AB：±平而AXE：

(II)求直线AG与平而A’CE所成角的正弦值.

7•如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平而ABCD, ZDAB 为直角，AB〃CD, AD二CD二2AB二2, E, F分别为PC, CD的中点.

(I )证明:AB丄平面BEF：

8•如图，在四棱锥P - ABCD中，PA丄平而ABCD. PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足

AB丄AD, BC〃AD 且BC=4,点M 为PC 中点.

(1)求证：DM丄平而PBC：

RF

(2)若点E为BC边上的动点，且— = 是否存在实数入，使得二而角P - DE - B的

余弦值为彳？若存在，求出实数入的值：若不存在，请说明理由.

B E u

9•如图，ABED是长方形，平而ABED丄平面ABC, AB二AC二

5, BC二BE二6,且M是BC的中点

(I )求证：AM丄平jfii BEC；

(II)求三棱锥B-ACE的体积;

(【【【)若点Q是线段AD上的一点，且平而QEC丄平而

BEC,求线段AQ的长.

20•如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平而互相垂直，AB〃CD, AB丄BC, AB二2CD二2BC, EA丄EB

(1)求证：EA丄平面EBC

(2)求二而角C - BE - D的余弦值. 口如图，在四棱锥P - ABCD中，底而ABCD为直角梯形.AD〃BC, ZADC二90°,平而PAD丄底面ABCD, 0为AD中点，M是棱PC上的点，AD二2BC・

(1)求证：平而P0B丄平而PAD：

12•如图,三棱柱ABC - AtBxCt中，侧棱AAi丄平而ABC, A ABC为等腰直角三角形,Z

BAC二90。,且AB=AAu E、F 分别是CG, BC 的中点.

(1)求证：平而AB：F丄平而AEF：

(2)求二面角B厂AE - F的余弦值.

A

23•如图，在菱形ABCD中，ZABC二60。，AC与BD相交于点0, AE丄平面ABCD, CF〃AE, AB 二AE 二2 ・

(I)求证：BD丄平而ACFE；

(II)当直线F0与平而BDE所成的角为45°时，求二而角B - EF - D的余弦角.

14•如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE - BCF和一个正四棱锥P・ABCD组合而成, AD丄AF, AE=AD=2・

(1)证明：平而PAD丄平而ABFE；

(2)求正四棱锥P - ABCD的髙h,使得二而角C-AF-P的余弦值是臭2

15•如图,已知斜三棱柱ABC —ABC” ZBCA=90° , AC=BC=2, A,在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA：丄AG.

(I )求证：AG丄平ffi AxBC；

(II)求二面角A-AxB-C的平面角的余弦值.

1. 【考点】与二而角有关的立体几何综合题：直线与平而垂直的判左・

【分析】（1）由已知中直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是正方形，且BF 丄平而ACE, 我们可以证得BF 丄AE, CB 丄AE,进而由线面垂直的判泄定理可得AE 丄平而BCE.

（2）连接BD 与AC 交于G,连接FG,设正方形ABCD 的边长为2,由三垂线定理及二而角 的平而角的定义，可得ZBGF 是二而角B - AC - E 的平而角，解RtABFG 即可得到答案.

【解答】证明：（1） TBF 丄平面ACE

•••BF 丄 AE …

•••二而角D-AB-E 为直二而角，且CB 丄AB,

•••CB 丄平而ABE •••CB 丄 AE …

•••AE 丄平而BCE.…

解：（2）连接BD 与AC 交于G,连接FG,设正方形ABCD 的边长为2, •••BG 丄AC, BG=V2，… •••BF 垂宜于平而ACE,由三垂线左理逆立理得FG 丄AC

••• ZBGF 是二面角B - AC - E 的平面角…

由（1） AE 丄平而BCE,得AE 丄EB,

•••AE 二EB, BE=V2・

•••在 RtABCE 中，E C R BC S BE J/^ …

故二而角B - AC - E 的余弦值为誓■.…

试卷答案

由等面枳法求得BF 耳尹 2^3

•••在 RtABFG 中 cosZ BGF _GF _ 3 _V3

=GB 5 = 3

则 GF =V GB 2 - BF