立体几何二面角问题

立体证明题（2）1 •如图，直二而角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，AE二EB, F为CE上的点，且BF丄平面ACE.（1）求证:AE丄平面BCE：（2）求二面角B - AC - E的余弦值.2•等腰△ABC中，AC=BC=V5t AB=2, E、F分别为AC、BC的中点，将AEFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥P-ABFE,且AP=Bpd.（1）求证：平而EFP丄平而ABFE；（2）求二而角B-AP-E的大小・3•如图，在四棱锥P-ABCD中，底而是正方形，侧面PAD丄底而ABCD,且V2PA二PD二2 AD,若E、F分別为PC、BD的中点.(I )求证：EF〃平面PAD；(II)求证：EF丄平面PDC.4•如图:正AABC与RtABCD所在平而互相垂直，且ZBCD二90° , ZCBD二30° .(1)求证：AB丄CD：(2)求二面角D-AB-C的正切值.5•如图，在四棱锥P-ABCD中，平而PAD丄平而ABCD, APAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，ZADC二120° , AB=2AD・(1)求证：平而PAD丄平而PBD：(2)求二而角A - PB - C的余弦值.6•如图,在直三棱柱ABC - AxBxCx 中，ZACB=90° , AC二CB二CG二2, E 是AB 中点.(I )求证:AB：±平而AXE：(II)求直线AG与平而A’CE所成角的正弦值.7•如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平而ABCD, ZDAB 为直角，AB〃CD, AD二CD二2AB二2, E, F分别为PC, CD的中点.(I )证明:AB丄平面BEF：8•如图，在四棱锥P - ABCD中，PA丄平而ABCD. PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB丄AD, BC〃AD 且BC=4,点M 为PC 中点.(1)求证：DM丄平而PBC：RF(2)若点E为BC边上的动点，且— = 是否存在实数入，使得二而角P - DE - B的余弦值为彳？若存在，求出实数入的值：若不存在，请说明理由.B E u9•如图，ABED是长方形，平而ABED丄平面ABC, AB二AC二5, BC二BE二6,且M是BC的中点(I )求证：AM丄平jfii BEC；(II)求三棱锥B-ACE的体积;(【【【)若点Q是线段AD上的一点，且平而QEC丄平而BEC,求线段AQ的长.20•如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平而互相垂直，AB〃CD, AB丄BC, AB二2CD二2BC, EA丄EB(1)求证：EA丄平面EBC(2)求二而角C - BE - D的余弦值. 口如图，在四棱锥P - ABCD中，底而ABCD为直角梯形.AD〃BC, ZADC二90°,平而PAD丄底面ABCD, 0为AD中点，M是棱PC上的点，AD二2BC・(1)求证：平而P0B丄平而PAD：12•如图,三棱柱ABC - AtBxCt中，侧棱AAi丄平而ABC, A ABC为等腰直角三角形,ZBAC二90。

,且AB=AAu E、F 分别是CG, BC 的中点.(1)求证：平而AB：F丄平而AEF：(2)求二面角B厂AE - F的余弦值.A23•如图，在菱形ABCD中，ZABC二60。

，AC与BD相交于点0, AE丄平面ABCD, CF〃AE, AB 二AE 二2 ・(I)求证：BD丄平而ACFE；(II)当直线F0与平而BDE所成的角为45°时，求二而角B - EF - D的余弦角.14•如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE - BCF和一个正四棱锥P・ABCD组合而成, AD丄AF, AE=AD=2・(1)证明：平而PAD丄平而ABFE；(2)求正四棱锥P - ABCD的髙h,使得二而角C-AF-P的余弦值是臭215•如图,已知斜三棱柱ABC —ABC” ZBCA=90° , AC=BC=2, A,在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA：丄AG.(I )求证：AG丄平ffi AxBC；(II)求二面角A-AxB-C的平面角的余弦值.1. 【考点】与二而角有关的立体几何综合题：直线与平而垂直的判左・【分析】（1）由已知中直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是正方形，且BF 丄平而ACE, 我们可以证得BF 丄AE, CB 丄AE,进而由线面垂直的判泄定理可得AE 丄平而BCE.（2）连接BD 与AC 交于G,连接FG,设正方形ABCD 的边长为2,由三垂线定理及二而角 的平而角的定义，可得ZBGF 是二而角B - AC - E 的平而角，解RtABFG 即可得到答案.【解答】证明：（1） TBF 丄平面ACE•••BF 丄 AE …•••二而角D-AB-E 为直二而角，且CB 丄AB,•••CB 丄平而ABE •••CB 丄 AE …•••AE 丄平而BCE.…解：（2）连接BD 与AC 交于G,连接FG,设正方形ABCD 的边长为2, •••BG 丄AC, BG=V2，… •••BF 垂宜于平而ACE,由三垂线左理逆立理得FG 丄AC••• ZBGF 是二面角B - AC - E 的平面角…由（1） AE 丄平而BCE,得AE 丄EB,•••AE 二EB, BE=V2・•••在 RtABCE 中，E C R BC S BE J/^ …故二而角B - AC - E 的余弦值为誓■.…试卷答案由等面枳法求得BF 耳尹 2^3•••在 RtABFG 中 cosZ BGF _GF _ 3 _V3=GB 5 = 3则 GF =V GB 2 - BF2.【考点】二而角的平而角及求法：平而与平而垂直的判定.【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明.取EF中点0,连接OP、0C.等腰三角形CEF中有C0丄EF,即0P丄EF.根据两平而垂直的性质左理，平而PEF和平而ABFE的交线是EF,且P0丄EF,分析得P0丄平而ABFE.故只需根据题中条件证出P0丄平面ABFE,即可利用面而垂直的判定定理证得平面EFP丄平而ABFE.（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平而AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确左二面角大小.【解答】解：（1）证明：在AABC中，D为AB中点，0为EF中点.由AC=BC=V5> AB=2.•・E F分别为AC、BC的中点，•••EF为中位线，得CO二0D二1, C0丄EF•••四棱锥P-ABFE中，P0丄EF,・・・2分TOD丄AB, AD=OD=1, /.A0=^又APfJ兮，0P二1,•••四棱锥P-ABFE中，有AP^AOW,即0P丄A0,・・・4分又AOAEF=O, EF、AOu平而ABFE,•••0P丄平而ABFE,…5分又OPu平而EFP,•••平而EFP丄平而ABFE. -6分（2）由（1）知0D, OF, 0P两两垂直，以0为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则 A （1, - 1, 0） , B （1, 1, 0） , E （0, 一寺，0） , P （0, 0, 1） -7 分・••丽（1, -y, 0）,亘二（1, -1, - 1）,设匸（X, w z）,；二仗"?y z , Z7）分别为平而AEP、平而ABP的一个法向量，厂一 -* 1EAlm则]_, 一=>] 2 取x=l,得y=2, z= - 1.PAlin x-y-z=0irF (1, 2, - 1).…9 分同理可得n=(l, 0, 1),…口分由于n=lXH2XQ+(-l) Xl=0,所以二而角B - AP - E为90° . …丄分【考点】空间中直线与平而之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】对于（I ）,要证EF〃平而PAD,只需证明EF平行于平而PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC, EF为中位线，从而得证：对于（II）要证明EF 丄平而PDC,由第一问的结论，EF〃PA,只需证PA丄平面PDC即可,J~2已知PA二PD』^- AD,可得PA丄PD,只需再证明PA丄CD,而这需要再证明CD丄平面PAD,由于ABCD是正方形，面PAD丄底而ABCD,由而而垂直的性质可以证明，从而得证.p【解答】证明：（I ）连接AC,则F是AC的中点，在ACPA中，EF〃PA （3分）且PAu平而PAD, E匹平而PAD,•••EF〃平而PAD （6 分）（II ）因为平而PAD丄平而ABCD,平而PADA平面ABCD二AD,又CD丄AD,所以CD丄平而PAD,•••CD丄PA （9 分）又PA二PD二专AD.所以APAD是等腰直角三角形，且ZAPD-y ,即PA丄PD （12分）而CDCPXD,•••PA丄平而PDC,又EF//PA,所以EF丄平而PDC （14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线而垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线而平行转化为线线平行：证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂宜时, 往往还要通过线而垂直来进行.4.【考点】与二而角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位宜关系.【分析】（1）利用平面ABC丄平而BCD,平而ABCO平而BCD二BC,可得DC丄平而ABC,利用线面垂直的性质，可得DC丄AB：（2）过C作CE丄AB于E,连接ED,可证ZCED是二而角D - AB - C的平而角.设CD二/则QBC ~~ 从而EC=BCsin60c二牛，在RtADEC 中，可求tanZDEC.tan3u 2【解答】（1）证明：TDC丄BC,且平而ABC丄平面BCD,平而ABCC平而BCD二BC, •••DC丄平而ABC,又ABu平而ABC,•••DC丄AB・…（2）解：过C作CE丄AB于E,连接ED,TAB丄CD, AB丄EC, CDAEC=C.•••AB丄平而ECD,又DEu平而ECD, ・・・AB丄ED,A ZCED是二而角D - AB - C的平而角，…VAABC是正三角形，.\EC=BCsin60a考,DC 二z 二2在RtADEC中，tanZDEC二丽=3o 蔦・…V5.【考点】MT：二而角的平而角及求法：LY：平而与平而垂直的判左・【分析】（1）令AD二1,求出BDf/个，从而AD丄BD,进而BD丄平而PAD,由此能证明平面PAD丄平而PBD.（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平而ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向屋法能求出二面角A - PB - C的余弦值.【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD二1,则B D R AD2 +AB 2-2 x AD x AB x c os60"皿在ZkABD 中，AD:+BD==AB\ ••.AD丄BD,又平而PAD丄平而ABCD,•••BD丄平而PAD, BDu平而PBD.•I平而PAD丄平而PBD.解：（2）由（1）得AD丄BD,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴,过D作垂直于平而ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系,令AD=1,则 A (b 0, 0), B (0,循，0) , C C b 后0) , P苏品‘ ，BL (T‘ O’ °〉‘ 设平WPAB 的法向量为& (x, y, z),AB *n=-x+\r 3y=0—k f ] '取 y =l> rr (J5n 1, 1)‘PB p n=—x+V3y^-z=0 设平而PBC 的法向量匸(a, b, c),n ・BC 二-色二 0« — i >1/3 ,取 b=l,得k(S 1，2), n • PB=—a-t-v3bc=0•f 、 n*in 1+2 3"f 由图形知二面角A - PB - C 的平面角为钝角，•••二而角A-PB-C 的余弦值为-*• 5【考点】直线与平而垂直的判圧：直线与平而所成的角.【分析】（I ）由ABC ・AbG 是直三棱柱,可知CGXAC, CG 丄BC, ZACB=90° , AC 丄BC.建立空间直角坐标系C - xyz.则A, B” E,扎，可得，AB^,伍，瓯可知， 根据瓦・CE=O, AB^- 瓦二0,推断岀AB ：丄CE, AB 」CA”根据线而垂宜的判左 定理可知AB ：丄平而扎CE.（II ）由（【）知瓦是平而A’CE 的法向量，邙］云二（2,0 , 0）,进而利用向量数疑积求得直线AC 与平而扎CE 所成角的正弦值【解答】（I ）证明：TABC-AbC’是直三棱柱，•••CG 丄AC, CG 丄BC,又 ZACB=90G ,即AC 丄BC.如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz. A (2, 0, 0) , B ： (0, 2, 2) , E (1, b 0), 耳二（・1,品°），吊（.六n*m 6.A ： (2, 0, 2),•••AB ；二(-2, 2, 2), CE= (13 1, Q),乙石二(2, 0, 2). 又因为近)CE=0,忑)CTJ 二6AABilCE, ABxlCAi, AB,丄平面 AxCE.（II ）解：由（I ）知,ABp （-2,2, 2）是平ifiiAxCE 的法向量,邙I 云二（2, 0, 0）, 设直线AG 与平而A£E 所成的角为0,则sinO 二cosVC]A ；, 瓦〉誓.所以直线AC 与平面AXE 所成角的正弦值为省.7.【考点】二面角的平面角及求法：直线与平而垂直的判左.【分析】（I ）只需证明AB 丄BF. AB 丄EF 即可.（II ）以A 为原点，以AB, AD, AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系， 求岀平而CDB 的法向量为石二｛0, 0, 1）,平而EDB 的法向量为忑二（x, y, z ）,设二而角E-BD ・C 的大小为（），则cos 8 =|cQS<ni ，nQI 二 l |一 , -亍r==- n1 2 Im 卜|匕I I*伍2【解答】解：（I ）11E ：由已知DF 〃AB 且ZDAB 为直角，故ABFD 是矩形, 从而AB 丄BF. 又PA 丄底面ABCD, •••平而PAD 丄平而ABCD,TAB 丄AD,故 AB 丄平面 PAD. 丄PD, 在APCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF 〃PD, •••/丄EF.由此得AB 丄平而BEF …（II ）以A 为原点，以AB, AD ・AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系,则瓦二(T, 2, 0), BE=(O, 1?设平而CDB 的法向虽:为石二｛0, 0, 1）,平而EDB 的法向虽为忑二（x,几z ）,广忑.丽二0「齢2尸0 _则｛— 一 \ V5Z 可取口2二（2，1， n 2 *BE=O _ =0设二面角E - BD - C 的大小为（），则Q _I /一 一、I 一 *1"」 V5 \/2cos t* -Icos^Ln-! , n.分x-1 ~:~ COS VC]A], AB]> - 丨5也・朋11 I 师丨两1 2 |nj l-l^l 1XVI5 2【考点】二面角的平面角及求法：直线与平而垂直的判定.【分析】（1）取PB中点N,连结MN, AN.由三角形中位线泄理可得四边形ADMN为平行四边形.由AP丄AD, AB丄AD,由线而垂直的判泄可得AD丄平而PAB.进一步得到AN丄MN.再由AP=AB,得AN丄PB,则AN丄平而PBC.又AN〃DM,得DM丄平而PBC：（2）以A为原点，二J方向为x轴的正方向，兀方向为y轴的正方向，丽方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设E （2, t, 0）（0<ts4）,再求得P, D, B的坐标，得到瓦、庞的坐标，求出平面PDE的法向量，再由题意得到平而DEB的一个法向量，由两法向疑夹角的余弦值得到实数入的值.【解答】（1）证明：如图，取PB中点N,连结MN, AN.TM 是PC 中点，.・.MN〃BC, MN-yBC=2.又•••BC〃AD, AD=2t•••MN〃AD, MN=AD,・•.四边形ADMN为平行四边形.TAP丄AD, AB丄AD, APAAB=A.A AD丄平而PAB・•••ANu平而PAB, •'•AD丄AN,贝lj AN丄MN.TAP二AB, •'•AN丄PB,又MNCPB=N,•••AN丄平而PBC・VAN/7DM, •••DM 丄平而 PBC ：（2）解：存在符合条件的入.以A 为原点，忑方向为x 轴的正方向，血方向为y 轴的正方向，丽方向为z 轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 E (2, t, 0) (0<t<4) , P (0, 0, 2) , D (0, 2, 0) , B (2, 0, 0)・则ro=(O, 2, -2)，DE=(2, t 一2, o).设平而PDE 的法向（x< y, z ）,• PD=2y -2z=0—- i 令 y=2,则 z=2, x=t - 2,■DE=2x+(t-2)y=0取平而PDE 的一个法向量为口广（2i 2, 2）・ 又平面DEB 即为xAy 平而， 故其一个法向量为乔<0, 0, 1）,——口1 .口2 ________ 2 __________ 2_ AC °S<nr 吧>一］石| 庄「血-1）%4+4 亏 解得匸3或A1,【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积：平而与平而垂直的判泄.【分析】（【）推导出BE 丄AM, BC 丄AM,由此能证明AM 丄平而BEC.（II ） 由能求出三棱锥B-ACE 的体积.（III ） 在平面QEC 内作QN 丄EC, QN 交CE 于点N. Q?（与AM 共而，设该平而为a,推导岀四 边形AMNQ 是平行四方形，由此能求出AQ.【解答】证明：（I ） •••平而ABED 丄平而ABC,平面ABED A 平而ABC 二AB,BE 丄AB, BEu 平而 ABED,—•l n l•••BE丄平而ABC,又AMu平而ABC, 丄AM.又AB二AC, M是BC的中点，・・出（：丄AM, 又BCCBE二B, BCu平而BEC, BEu平而BEC, •••AM丄平而BEC.解:（1【）由（I ）知，BE丄平面ABC, Ah=BE=6.在RtAABM 中，M=5/AB2-BM 2=V5 2 -32=又S A^C=y XBC X惭#X 6X 4=12,V B-ACE 二“E-_ABC 亏 * $△舫C X x 12X6=24.(IH)在平Ifil QEC内作QN丄EC, QN交CE于点N・•••平而QEC丄平而BEC,平而QEC n平而BEC - EC,•••Q7丄平而BEC,又AM丄平而BEC. AQN//AM.•••QN与AM共面,设该平而为a, VABED是长方形，AAQ/7BE,又QQ平而BEC, BEu平而BEC, •'•AQ〃平面BEC,又AQua, " Cl 平而BEC二MN, AAQ/^MN,又QN〃AM,•••四边形AMNQ是平行四方形・•••AQ二MN・VAQ/7BE, AQ〃MN, .・.MN〃BE,又M 是BC 的中点.二MN=*BE二3，【考点】二面角的平面角及求法：直线与平而垂直的判左.【分析】（1）根据线面垂直的判左左理即可证明EA丄平面EBC：（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.【解答】（1）•••平面ABE丄平而ABCD,且AB丄BC,•••BC丄平而ABETEAu平而ABE, •••EA丄BC,TEA丄EB, EBCBOB,•••EA丄平而EBC(2)取 AB 中 0,连接 E0, DO.•••EB 二EA. •••£()丄 AB ・•••平而ABE 丄平而ABCD.•••EO 丄平而ABCDVAB=2CD, ABZ/CD, AB 丄BC,•••DO 丄 AB,建立如图的空间直角坐标系0 - xyz 如图：设 CD 二 1,则 A (0, 1, 0) , B (0, - 1, 0) , C (1, - 1, 0) , D (1, 0, 0) , E (0, 0, 1),由(1)得平而EBC 的法向量为包二(0, b - 1),设平而BED 的法向虽:为ir= (x, y, z),设 x=l,则 y= - 1» z=L 则ir^ (b则cos<;,乔nrn 石r 右石【考点】平面与平而垂直的判圧：直线与平而平行的判左.【分析】(1)证明四边形BCDO 是平行四边形，得出0B 丄AD ：再证明B0丄平而PAD,从而 证明平而POB 丄平而PAD ；(2)解法一：由器二1，M 为PC 中点，证明N 是AC 的中点，MN 〃PA, PA 〃平而BMO ・ JAC解法二：由PA 〃平面BMO •证明N 是AC 的中点，M 是PC 的中点，得黒■二1・【解答】解：(1)证明：TAD 〃BC, BC=yAD. 0为AD 的中点，•••四边形BCDO 为平行四边形,•••CD 〃BO ；又•••ZADC 二90° ,m p BE=0m p BD=0即< "y+z=0 lex+y=0•••ZAOB二90° ,即OB丄AD；又•••平而PAD丄平而ABCD,且平而PADC平而ABCD二AD,•••B0丄平而PAD；又•••BOu平面POB,•••平面POB丄平而PAD：（2）解法一：3-=1>即M为PC中点，以下证明：连结AC,交B0于N,连结MN,•••AD〃BC, 0 为AD 中点,AD二2BC,・・.N是AC的中点，又点M是棱PC的中点,・・・MN〃PA,•••PAG平而BMO, MNu平而BMO,•••PA〃平而BMO・解法二：连接AC,交B0于N,连结MN,••• PA〃平而BMO,平面BMOCl 平面PAC二MN,•••PA〃MN；又VAD/7BC, 0 为AD 中点,AD=2BC>・・・N是AC的中点，•••M是PC的中点，则器二1・jiiC12.【考点】与二而角有关的立体几何综合题：平而与平而垂直的判肚.【分析】（1）连结AF,由已知条件推导出而ABC丄而BBCC,从而AF丄B：F,由勾股泄理得Bf丄EF・由此能证明平而ABN丄平而AEF.（2）以F为坐标原点，FA, FB分别为x, y轴建立直角坐标系，利用向量法能求岀二而角B： - AE - F的余弦值.【解答】（1）证明：连结AF, VF是等腰直角三角形AABC斜边BC的中点，•••AF 丄BC・又•・•三棱柱ABC - 为直三棱柱，.•- W ABC 丄而BBGC,•••AF丄而BBxCtC, AF丄B,F・…设 AB 二AAE,则 B]F=¥，EF 书，B[E=4・ •••B]F+EF 2=B I E 〈 丄EF ・ 又AFAEF 二F, ABJ 丄平而AEF ・…而B ：Fu 而ABF 故：平Ifil ABJ 丄平面AEF ・…（2）解：以F 为坐标原点，FA, FB 分别为x, y 轴建立直角坐标系如图, 设 AB 二AA F I,-< 1) 2 誓冷)，瓦"略芈,]). 2 2 1 2 2由（1）知，BJ 7丄平而AEF,取平而AEF 的法向量: m=FB]= （0,孚 1）.…设二而角B- AE - F 的大小为0, 则 cos ° = cos< in.n> - 2+1 *732+(-l ) 2+(2^2)2 由图可知（）为锐角，•••所求二而角- AE - F 的余弦值为迤.… 则 F (0, 0, 0) , A ,0, 0), B ： (0, AE= 设平而BxAE 的法向M 为上（x, y, z ）, 取x=3,得鼻⑶-1, 2血）.…【考点】MT ：二而角的平而角及求法：LW ：直线与平面垂直的判左.【分析】（I ）只需证明DB 丄AC, BD 丄AE,即可得BD 丄平而ACFE ：（II ）取EF 的中点为以0为坐标原点，以0A 为X 轴，以0B 为y 轴，以0H 为z 轴，建立空间直角坐标系，贝1少（0, 晶 0）, D （0, -V3, 0） , F （ - 1, 0, h ） , E（1, 0, 2）,则丽二（0, 2爲，0）,症二（1,诉，2）,利用向量法求解【解答】（I ）证明：在菱形ABCD 中，可得DB 丄AC,又因为AE 丄平而ABCD, •••BD 丄AE,口]二（2： 0,1）, /—-市、2+h _V2 C0S<n l 5 °F 〉I 誌 X J L +声 丁'故F （ - 1, 0. 3） , BE=（1, -V3，2）, BF= （-1, -V3，3）,设平而BFE 的法向呈为F （、玉 b, c ） tn 2 • BE=a -V3b +2c 二0 ,一一 ，可取口2=（7^ 一时 一2循），“2 ' BF 二-3-』^>+3<:二0DE=（1, V5，2）, DF=（-1, 3），设平而 DFE 的法向量为石二 G, y, z ）,n 3 • DE=x+V3y^2z=0 一k一一，可取匕二（屈，-5, 2逅）， n 3 • DF 二-u+V5y+3:z 二0_ 一、 10 _」 叩 n3 2V10X 2710^4 • 二而角B - EF - D 的余弦值为三■・ 4且 AECAC 二A, BD 丄平而 ACFE ：（II ）解：取EF 的中点为M,以0为坐标原点，以0A 为x 轴， 轴，建立空间直角坐标系， 则 B （0,忑、0）, D （0, - 0） , F （ - 1, 0, h ） ,E （b DB=（0, 2忑,0）,症二CL,価，2）,rq ・DB 二n ] • DE 二二0设平ifilBDE 的法向虽:石二伉 y, z ），朴 以OB 为y 轴,以OM 为z 0, 2）,则n 2： cosV【考点】MT ：二而角的平而角及求法；LY ：平而与平而垂直的判左.【分析】(【)证明：AD 丄平而ABFE,即可证明平而PAD 丄平而ABFE ：(II)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P -ABCD 的高.【解答】(I )证明：直三棱柱ADE - BCF 中，AB 丄平而ADE,所以：AB 丄AD,又AD 丄AF,所以:AD 丄平而ABFE, ADu 平面PAD,所以：平而PAD 丄平面ABFE ….(II) TAD 丄平而ABFE,・•.建立以A 为坐标原点，AB, AE, AD 分别为x, y, z 轴的空间直 角坐标系如图： 设正四棱锥P - ABCD 的髙为h, AE=AD=2,则 A (0, 0, 0) , F (2, 2, 0) , C (2, 0, 2),AE=(2，2, 0) , AC 3(2，0, 2), n= (x, y, z)是平而AFC 的法向量， 令 x=l,则 y=z= - 1,即&(1，・ 1， 设二(x,y, z)是平而ACP 的法向量，ITI ID AF=2x+2y=0 . lT1贝I” -•一 ，令 x=l» 则 y= - L z= - 1 - h,即！(1, - 1,・ 1 ・ h),k AP=x-hy4-z=0 •・•二而角C-AF-P 的余弦值是警.. 一—’ iri*n ____________________ +2^2 • g v—>=^777 丁 得h 二1或h 二-三(舍)则正四棱锥P-ABCD 的髙h 二1・(1, ■ h, 1),则一 tln p AC=2x+2z=0-1), 八15.【考点】二面角的平而角及求法：直线与平而垂直的判左.【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离.【分析】（1）推导出BC丄AC, BC丄AG, BAilACo由此能证明AG丄平而矩BC・（2）推导出平而A：AB丄平而BCF,过C作CH丄BF于H,则CH丄而扎AB,求出CH二兰倍, 过H作HG丄A：B于G,连CG,则CG丄A：B,从而ZCGH为二而角A - A：B - C的平而角，由此能求出二而角A - A：B - C的平而角的余弦值.【解答】证明：（1）因为A：D丄平面ABC,所以，平而AAX1C丄平而ABC,又BC丄AC,所以，BC丄平面AACC,得BC丄AG,又B扎丄AC”所以，AC,丄平而A,BC・解：（2）因为AG丄扎C,所以四边形AAGC为菱形，故AA F AC二2,又D为AC中点，知ZA1AC二60° ,取AAi的中点F,则AA,丄平而BCF,从而，平而扎AB丄平而BCFt过C作CH丄BF于H,则CH丄W AxAB,在RtABCF, BC二2, CFp,故CH二空単，过H作HG丄A出于G,连CG,则CG丄Ab从而ZCGH为二而角A - A：B - C的平而角，在RtAAxBC 中，AxC=BC=2,所以，CG二竝CH V42RtACGH 中，sinZCGH二泮CG r故二而角A - A t B - C的平面角的余弦值为甞.【点评】本题考査线面垂直的证明，考査二而角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.。