福建省闽南师大大一上期末《微积分》试卷(B)答案

漳 州 师 范 学 院
经济学 系 经济学类 专业 12 级 《 微积分 》课程期末考试卷（B ）
（2012—2013学年度第一学期）
班级____________学号_______________姓名____________考试时间：
一、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1. 已知35
7249lim 323=+-++∞→x x x kx x ，则=k 6 . 2.设商品需求函数为,3000100+-=p Q 其中p 为商品价格，Q 为需求量，则
20=p 时的需求弹性
==20
p EP
EQ 2 .
3. =⎰-)(2
dx e d x dx e x 2
-； =⎰
-)(2
x
e d C e x +-2
． 4. 函数x x y +=在[1，4]上的最大值为 2 ；最小值为 6 . 5. 某商品的供给函数和需求函数分别为1025-=p Q S ，2005+-=p Q D ，则该商品的均衡价格=0P 7 ；均衡商品量=0Q 165 . 6.曲线 )0(8
2>+=x x
x y 在区间 (0，2］ 内单调减少；在区间),2[+∞内单调增加.
7.曲线1
23
+=x x y 的斜渐近线为x y -=.
8.dx x
e e x
x
⎰--)1(=C x e x +-2. 9.曲线()123
-+=x y 的拐点为)1,2(--.
二、单项选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
1．若数列}{n x 极限为a ，则在a 的ε邻域内，数列中的点( C ) (A)必不存在 ； (B)至多只有有限多个；
(C)必定有无穷多个；(D)可以有有限个，也可以有无限多个．
2．已知函数()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-≥+=0,11sin 0,1sin x x x x x x
x f ,则0=x 是)(x f 的( C ) (A)连续点； (B)可去间断点； (C)跳跃间断点；(D)振荡间断点. 3. 函数)(x f 在0x x =连续是函数)(x f 在0x x =处可微的( B )
(A)充分条件 ；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)非充分也非必要条件． 4.多项式13)(3+-=x x x f 在区间 )1,0(内 ( B ) (A)至少有两个零点; (B)有且仅有一个零点；
(C)没有零点; (D)零点个数不能确定. 5. 若x 是无穷小，下面说法中错误的是( C ) (A)2x 是无穷小； (B)x 2是无穷小； (C)00001.0-x 是无穷小； (D)x -是无穷小．
6．曲线⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ，在2π
=t 处的切线方程是( D )
(A))1(2
+=
x y π
；(B)x y π
π
2
2
+
=
；(C))1(2
x y -=
π
；(D)x y π
π
2
2
-
=
.
７．C 为任意常数，且 )()(x f x F ='，下列等式成立的有( B ) (A)⎰+='C x f dx x F )()(； (B) ⎰+=C x F dx x f )()(； (C) ⎰+'=C x F dx x F )()(； (D)
⎰+='C x F dx x f )()(．
三、计算题（共6小题，每小题5分，共30分）
1．求极限: .sin 2lim 0x
x e e x x x -+-→ 解：原式=)3(.2lim 2lim 020分 x e e x e e x
x x x x x -→-→-=-+ ()分　512
lim 0 =+=-→x
x x e e
2．已知21ln arctan )(x x x x f +-=,求)(x f '''. 解： 分）2(arctan 12211arctan )(2
2 x x
x
x x x x f =+⋅-++
=' )3(11
)(2
分 x
x f +=
'' ()
分）
5(12)(2
2 x x
x f +-=''' ３. 计算:dx e
x
⎰
-+11
． 解：原式＝)3(1)
1(1分 ⎰⎰++=+x
x x x e
e d dx e e ()分）5(1ln C e x ++= 4. 求由方程e xy e
y x =++)sin(2
2确定隐函数)(x y y =的微分dy ．
解：等式两边同时微分，得
0))(cos()22(2
2=++++ydx xdy xy ydy xdx e
y x ．
．．．．．（3分） 整理得，dx xy x ye
xy y xe dy y x y x )
cos(2)cos(22
22
2
++-=++．．．（5分）
5.设x
x y )(sin =，求y '.
解：()())
5(cot sin ln sin )3()sin ln ()(sin 分分 x x x x x x x y x
x +='='
6．求不定积分dx e x ⎰
+1
.
解：设()分则22,1,12 tdt dx t x x t =-=+=
原式＝()分32 dx te t
⎰
)5()11(2)(221
分 C x e
dt e te de t x t t t +-+=-==+⎰⎰
四、证明题（本题6分）
证明：当0>x 时，不等式
x x x
x
<<+arctan 12
成立． 证明：设t t f arctan )(=，显然()t f 在区间],0[x 上满足lagrange 中值定理条件，根据定理，应有
x x f f x f <<-'=-ξξ0),0)(()0()(．
．．．．．．．（4分） 则2
1arctan ξ+=
x
x ，又由x <<ξ0有， x x
x x <+<+2
211ξ
即
x x x
x
<<+arctan 12
．．．．．．（6分）
五、综合题（本题共3小题，共16分）
1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
001sin
)(2
x x x
x x f ，讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性．(5分)
解：由于11sin lim 1
sin
lim )
0()(lim
)0(0200
===-='→→→x
x x x x x
f x f f x x x ，因此
()f x 在0x =处不可导．
（3分） 又由于连续是可导的必要条件， 可得()f x 在0x =处的连续．．．．．（5分）
2. 设某产品的价格函数为5
10Q
p -
=，其中p 为价格，Q 为销量，求销 售量为30时的总收益,平均收益与边际收益. (5分)
解：总收益5
10)(2
Q Q PQ Q R -==，
销售量为30时的总收益为：120)30(=R ．．．．．（2分） 平均收益：430
120
)30(==
R ．
．．．．．．（3分） 边际收益：Q Q Q Q R 5
210)510()(2-='-=' 销售量为15个单位时的边际收益为：2)5
220()30(30-=-
='=Q Q
R ．
．．(5分)
3．已知某产品的需求函数为5
10Q
P -
=，总成本函数为502+=Q C ，求产量为多少时总利润L 最大？并验证是否符合最大利润原则.（6分）
解：总收益为5
10)(2
Q Q PQ Q R -==
利润函数为505
8)()()(2
--=-=Q Q Q C Q R Q L 则 Q Q L 5
2
8)(-='
令0)(='Q L ，解得20=Q ，0)20(<''L ，所以当20=Q 时总利润达到最大． （4分）
此时2)20(='R ，2)20(='C ，有)20()20(C R '='
5
2
)20(-=''R ，0)20(=''C ，有)20()20(C R ''<''，所以符合最大利润原则．
（6分）。