江西省南昌市第三中学2020-2021学年度上学期12月考试高一数学试题

南昌三中2020-2021学年度上学期12月考试
高一数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分） 1、函数)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期是（
）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π
2.若cos(π+α)=-2
3,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )
A.-23
B.23
C.2
1 D.±23 3、已知集合A ={y|y =log 2x,x >1},集合B ={y|y =(1
2
)x
,x <1},则A⋂B =( )
A. {y |y >1
2
}
B. {y |0<y <1
2
} C. {y |y >1}
D. {y |1
2
<y <1}
4、若角α的终边落在直线0x y +=上，则
2tan tan 1cos ααα
+
-的值等于 （ ） A 、2或2- B 、2-或0 C 、0 D 、0或2 5、若()tan()4
f x x π
=+
，则 （ ）
A 、(0)(1)(1)f f f >->
B 、(0)(1)(1)f f f >>-
C 、(1)(0)(1)f f f >>-
D 、(1)(0)(1)f f f ->>
6. 若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积是 （ ）
A 、
1sin1 B 、2
1sin 1 C 、1sin1cos 2
- D 、tan1 7．sin()(0,,)2
y A x x R π
ωϕωϕ=+><
∈的部分图象如图所示，则函数表达式（ ）
A ．)48sin(4π+π-=x y
B ．)48sin(4π-π=x y
C ．)48sin(4π-π-=x y
D ．)4
8sin(4π
+π=x y
8．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当
]
2
,
0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ）
A ．2
1-
B ．2
1
C ．2
3-
D ．2
3
9. 若1a b >> ，(0,)2
π
θ∈ ，则( )
A ．sin sin a b θθ<
B ．sin sin ab ba θθ<
C ．log sin log sin a b a b θθ<
D ．log sin log sin a b θθ<
10. 已知[]()()0,,sin cos x f x x π∈=的最大值为a ，最小值为b ，()()cos sin g x x =的最大值为c ，最小值为d ，则（ ）
A 、b d a c <<<
B 、d b c a <<<
C 、b d c a <<<
D 、d b a c <<<
11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则（ ） A ．11sin
cos 22f f ⎛
⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛
⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
C ．()()sin1cos1f f <
D ．33sin
cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 12.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是
θθ22cos sin ,25
1
-则的值等于( )
A ．1
B ．25
24- C ．25
7 D ．725
-
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、函数()()1log 1
43++--=x x x
x f 的定义域是 ；
14、如图是函数
)
,0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A B x A y
的图象的一部分，则函数的解析式为
15、已知4
1
)6sin(=π+x ，则
=-π
+-π)3
(cos )65sin(2x x ．
16、对于任意实数a ，要使函数
*215cos(
)()36
k y x k N ππ+=-∈在区间[a,a+3]上的值5
4出现的次数不少于4次，又不多于
8次，则k 的值是 .
三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（10分）已知关于x 的方程(
)
2
2310x x m -
++=的两根为sin θ和cos θ：
（1）求m 的值； （2）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθ
θθ
+++++的值．
18．（12分）已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = ,)1,0(≠>x x ,试比较)()(x g x f 和的大小。

19、（12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线
8
π
=
x .
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；
20、（12分）设x
x
x f sin 21sin 21log )(3
+-=．
（1）求函数)(x f y =的定义域和值域．
（2）判断函数)(x f y =的奇偶性；
21.（12分）已知函数2()sin 2sin()2
f x x a x π
=-+-的最小值为24a a +,求实数a 的值.
22．（12分）设0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，函数()f x 的定义域为[]0,1且()00f =， ()11f =当x y ≥时有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（1）求11,24f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；(用α表示) （2）求α的值.
高一数学答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1、函数
)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期是（ C ）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π 2.若cos(π+α)=-
2
3
,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( B ) A.-23 B.23 C.2
1 D.±23 3、已知集合A ={y|y =log 2x,x >1},集合B ={y|y =(12
)x
,x <1},则A⋂B =( A )
A. {y |y >1
2}
B. {y |0<y <1
2}
C. {y |y >1}
D. {y |1
2<y <1}
4、若角α的终边落在直线0x y +=上，则
2tan tan 1cos ααα
+
-的值等于 （ B ） A 、2或2- B 、2-或0 C 、0 D 、0或2 5、若()tan()4
f x x π
=+
，则 （ A ）
A 、(0)(1)(1)f f f >->
B 、(0)(1)(1)f f f >>-
C 、(1)(0)(1)f f f >>-
D 、(1)(0)(1)f f f ->>
6. 若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积是 （ B ）
A 、
1sin1 B 、2
1sin 1 C 、1sin1cos 2
- D 、tan1 7．sin()(0,,)2
y A x x R π
ωϕωϕ=+><
∈的部分图象如图所示，则函数表达式（ A ）
A ．)48sin(
4π+π-=x y B ．)48sin(4π
-π=x y C ．)48sin(4π-π-=x y D ．)4
8sin(4π
+π=x y
8．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]
2
,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(π
f 的值为 （ D ）
A ．2
1-
B ．2
1
C ．2
3-
D ．2
3
9. 若1a b >> ，(0,
)2
π
θ∈ ，则( C )
A ．sin sin a b θθ<
B ．sin sin ab ba θθ<
C ．log sin log sin a b a b θθ<
D ．log sin log sin a b θθ<
10. 已知[]
()()0,,sin cos x f x x π∈=的最大值为a ，最小值为b ，()()cos sin g x x =的最大值为c ，最小值为d ，则 （ A ）
A 、b d a c <<<
B 、d b c a <<<
C 、b d c a <<<
D 、d b a c <<< 11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则 （ C ）
A ．11sin
cos 22f f ⎛
⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛
⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
C ．()()sin1cos1f f <
D ．33sin
cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 12.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是
θθ22cos sin ,25
1
-则的值等于( D ) A ．1 B ．2524- C ．257 D ．725-
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、函数()()1log 1
43++--=
x x x
x f 的定义域是 {}141x x x -<≤≠且 ； 14、如图是函数),0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A B x A y 的图象的一部分，
则函数的解析式为 3)4
32sin(2+-=π
x y
15、已知41)6sin(=π
+x ，则=-π+-π)3(cos )65sin(2x x 16
5
．
16、对于任意实数a ，要使函数*215cos(
)()36
k y x k N ππ+=-∈在区间[a,a+3]上的值5
4出现的
次数不少于4次，又不多于8次，则k 的值是 2或3
三、解答题（本大题6小题，共70分）
17．（10分）已知关于x 的方程)
22310x x m -
+=的两根为sin θ和cos θ：
（1）求m 的值；
（2）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθ
θθ
+++++的值．
解：依题得：31sin cos 2θθ+=，sin cos 2
m
θθ⋅=；
∴（1）()2
sin cos 12sin cos θθθθ+=+⋅
∴2
31122m
+=+⋅⎝⎭
∴32
m =
（2）
2
1
3+ 18．（12分）已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = ,试比较)()(x g x f 和的大小。

解: x x f (x)1log 3log (3x)=+=,x x g(x)2log 2log 4==,
当x 13x 4
>⎧⎨
>⎩,即4
x 3>时,x x log (3x)log 4>,即)()(x g x f >,
当x 13x 4
>⎧⎨<⎩,即41x 3<<时, x x log (3x)log 4<即)()(x g x f <
当4
x 3
=
时, x x log (3x)log 4=,所以)()(x g x f = 当0x 1<<时,此时3x 4<,所以x x log (3x)log 4>,所以)()(x g x f >．
19、（12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线
8
π
=
x .
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；
解.(1)3
4
ϕ
π=- (2)
)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++ππππ 20、（12分）设x
x
x f sin 21sin 21log )(3
+-=．
（1）求函数)(x f y =的定义域和值域．
（2）判断函数)(x f y =的奇偶性； 解、（1）定义域6
6|{π
+π<<π-
πk x k x ，∈k Z }，值域R ．
（2）奇函数； 21.（12分）已知函数2()sin 2sin()2
f x x a x π
=-+-
的最小值为24a a +,求实数a 的值.
解:设
()y f x =.令cos [1,1]t x =∈-,则22221()1y t at t a a =--=---.
(1)若1a <-,y 在1t =-时最小,此时224a a a =+,0a =(舍去)或2a =-;
(2)若11a -≤≤,y 在t a =时最小, 此时2214a a a --=+,21a =--
舍去)或2
1a
=-+
(3)若1a >,y 在1t =时最小,此时224a a a -=+,0a =(舍去)或6a =-(舍去).
综上所述,
2a =-或21a =-+
22．（12分）设0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，函数()f x 的定义域为[]0,1且()00f =，
()11f =当x y ≥时有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（1）求11,
24f f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
； （2）求α的值；
解：（1）()()()1101sin 1sin 0sin 22f f f f ααα+⎛⎫⎛⎫
==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
()()2
10112sin 1sin 0sin 422f f f f ααα⎛⎫
+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
（2）()()113121sin 1sin 422f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫
⎛⎫
==+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪
⎝⎭
()2sin 1sin sin 2sin sin ααααα=+-=-
()3113144sin 1sin 2244f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪
⎝⎭
()()22232sin sin sin 1sin sin 3sin 2sin ααααααα=-+-=-
2sin sin (3sin 2sin )αααα∴=⋅- sin 0α∴=或
1
2
或1 又 0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，6πα∴=．。