黑龙江省哈尔滨市2017年中考数学真题试题(含解析)

黑龙江省哈尔滨市2017年中考数学真题试题
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.7-的倒数是( ) A.7
B.7-
C.
1
7
D.17
-
【答案】D 【解答】
试题分析：﹣7的倒数是﹣1
7
，故选D ． 考点：倒数．
2. 下列运算正确的是( ) A.632a a a ?
B.336235a a a +=
C.()
2
3
6a a -=
D.()2
22a b a b +=+
【答案】C
考点：整式的混合运算．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符题意； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符题意； D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D ．
考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形． 4. 抛物线2
31352
y x 骣琪=-+-琪桫的顶点坐标是( )
A.1,32骣琪-琪桫
B.1
,32
骣琪--琪桫
C.1,32骣琪琪桫
D.1
,32
骣琪-琪桫 【答案】B
考点：二次函数的性质．
5. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
试题分析：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，故选C ． 考点：三视图． 6. 方程
21
31
x x =
+-的解为( ) A.3x =
B.4x =
C.5x =
D.5x =-
【答案】C 【解析】
试题分析：方程两边同乘(+3)(-1)得，2（﹣1）=+3，2﹣2=+3，=5， 检验：当=5时（+3）（﹣1）≠0，所以=5是原方程的根； 故选C.
考点：解分式方程．
7. 如图，O ⊙中，弦AB ，CD 相交于点P ，42A =∠°，77APD =∠°，则B ∠的大小是( )
A.43°
B.35°
C.34°
D.44°
【答案】B 【解析】
试题分析：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD ﹣∠D=35°，故选B ． 考点：圆周角定理．
8. 在Rt ABC △中，90C =∠°，4AB =，1AC =，则cos B 的值为( )
B.
14
【答案】A
考点：锐角三角函数的定义．
9. 如图，在ABC △中，,D E 分别为,AB AC 边上的点，DE BC ∥，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点E ，则下列结论中一定正确的是( )
A.
AD AE
AB EC
=
B.
AC AE
GF BD
=
C.
BD CE
AD AE
=
D.
AG AC
AF EC
=
【答案】C
考点：相似三角形的判定与性质．
10. 周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是( )
A.小涛家离报亭的距离是900m
B.小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D.小涛在报亭看报用了15min
【答案】D
【解析】
试题分析：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；
B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；
C、返回时的解析式为y=﹣60+3000，当y=1200时，=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；
D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；
故选D．
考点：函数的图象．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上） 11. 将57 600 000用科学记数法表示为
.
【答案】5.67×107 【解析】
试题分析：57600000=5.67×107 考点：科学记数法—表示较大的数． 12. 函数21
2
x y x +=
-中，自变量x 的取值范围是 .
【答案】≠2 【解析】
试题分析：由﹣2≠0得，≠2 考点：函数自变量的取值范围．
13. 把多项式2249ax ay -分解因式的结果是 ． 【答案】a （2+3y ）（2﹣3y ），
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14. 的结果是 ．
【解析】
试题分析：原式6﹣ 考点：二次根式的加减法． 15. 已知反比例函数31
k y x
-=的图象经过点()1,2，则k 的值为 ． 【答案】1 【解析】
试题分析：∵反比例函数31
k y x
-=
的图象经过点（1，2），
∴2=3﹣1，解得=1．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 16. 不等式组521
30x x ì-?ïí-<ïî
的解集是 ．
【答案】2≤＜3．
考点：解一元一次不等式组．
17. 一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为
.
【答案】
617
【解析】
试题分析：∵不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球， ∴摸出的小球是红球的概率为617.
考点：概率公式．
18. 已知扇形的弧长为4p ，半径为8，则此扇形的圆心角为
.
【答案】90° 【解析】
试题分析：设扇形的圆心角为n °，则8
180
n π⨯ =4π，解得，n=90，故圆心角为90°. 考点：弧长的计算．
19. 四边形ABCD 是菱形，60BAD =∠°，6AB =，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若
OE CE 的长为
.
【答案】
考点：菱形的性质．
20. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D 作DE AM ^，垂足为E ，若
1DE DC ==，2AE EM =，则BM 的长为
.
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠AMB=∠DAE ，
∵DE=DC ，∴AB=DE ，∵DE ⊥AM ，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM 和△DEA 中，
90AMB DAE B DEA AB DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△ABM ≌△DEA （AAS ），∴AM=AD ，∵AE=2EM ，∴BC=AD=3EM ， 连接DM ，如图所示：在Rt △DEM 和Rt △DCM 中，DM DM
DE DC
=⎧⎨=⎩，∴Rt △DEM ≌Rt △DCM （HL ），
∴EM=CM ，∴BC=3CM ，
设EM=CM=，则BM=2，AM=BC=3，在Rt △ABM 中，由勾股定理得：12+（2）2=（3）2，
解得：=
5，∴BM=5
.
考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21. 先化简，再求代数式
2
121212
x x
x x x x +?--++的值，其中4sin602x =-°.
【答案】-
1
x+2
， -6．
考点：1.分式的化简求值；2.特殊角的三角函数值．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出以AB 为底、面积为12的等腰ABC △，且点C 在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出平行四边形ABDE ，且点D 和点E 均在小正方形的顶点上，3
tan 2EAB =∠，连接CD ，请
直接写出线段CD 的长.
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，.
（2）如图所示，
考点：1.作图—应用与设计作图；2.勾股定理；3.平行四边形的判定；4.解直角三角形．
23. 随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？(必选且只选一个)”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)若洪祥中学共有1350名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名.
【答案】（1）本次调查共抽取了50名学生；（2）补图见解析；（3）估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．
（3）1350×
20
50
=540（名），答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．
考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．
24. 已知：ACB △和DCE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ==∠∠°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N . (1)如图1，求证：AE BD =；
(2)如图2，若AC DC =，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB ≌△DCE （SAS ），△EMC ≌△BCN （ASA ），△AON ≌△DOM （AAS ），△AOB ≌△DOE （HL ） 【解析】
试题分析：（1）根据全等三角形的判定（SAS ）证明△ACE ≌△BCD ，从而可知AE=BD ； （2）根据条件判断出图中的全等直角三角形即可；
试题解析：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
AC BC
ACE BCD
CE CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形．
25. 威丽商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A 种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
【答案】（1）A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．
（2）威丽商场至少需购进6件A种商品．
【解析】
试题分析：（1）设A种商品售出后所得利润为元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．
试题解析：（1）设A种商品售出后所得利润为元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，
得
4600
351100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
200
100
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得
200a+100（34﹣a）≥4000，
解得：a ≥6
答：威丽商场至少需购进6件A 种商品．
考点：1.一元一次不等式的应用；2.二元一次方程组的应用．
26. 已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D .
(1)如图1，求证：AD BD =； (2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.
(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5
ABO =∠，求MP MQ 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）518
PM MQ .
（3）如图3，连接MA ，利用垂直平分线的性质可得MA=MB ，易得∠MAB=∠MBA ，作∠PMG=∠AMB ，在射线MG 上截取MN=MP ，连接PN ，BN ，易得△APM ≌△BNM ，由全等三角形的性质可得AP=BN ，∠MAP=∠MBN ，延长PD 至点，使D=DP ，连接A 、B ，易得四边形APB 是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠AB ，∠APB+∠PB=180°，由（2）得∠APB ﹣（90°﹣∠MBA ）=90°，易得∠NBP=∠BP ，可得△PBN ≌△PB ，PN=2PH ，利用三角函数的定义可得sin ∠PMH=PH PM ，sin ∠ABO=35
，设DP=3a ，则PM=5a ，可得结果．
（3）如图3，连接MA，
∵MO垂直平分AB，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，
则∠AMP=∠BMN，∴△APM≌△BNM，∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，
延长PD至点，使D=DP，连接A、B，∴四边形APB是平行四边形；AP∥B，
∴∠PAB=∠AB，∠APB+∠PB=180°，
由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，∴∠APB+∠MBA=180°，∴∠PB=∠MBA，
∴∠MBP=∠AB=∠PAB，∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，∴∠NBP=∠BP，
∵PB=PB，∴△PBN≌△PB，∴PN=P=2PD，
过点M作MH⊥PN于点H，∴PN=2PH，∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，
∵sin∠PMH=PH
PM
，sin∠ABO=
3
5
，∴
PH
PM
=
3
5
，∴
DP
PM
=
3
5
，设DP=3a，则PM=5a，∴MQ=6DP=18a，
∴
5
18 PM
MQ
．
考点：圆的综合题．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线2
y x bx c
=++交x轴于A、B两点，交y轴于
点C ，直线3y x =-经过B 、C 两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点C 作直线CD y ^轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ^轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ^于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ^于点Q (点Q 在线段PC 上)，BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.
【答案】（1）抛物线的解析式为y=2﹣2﹣3；（2）d=
5 t ；（3）MN=5． 【解析】
试题分析：（1）首先求出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据S △ABC =S △AMC +S △AMB ，由三角形面积公式可求y 与m 之间的函数关系式；
（3）如图2，由抛物线对称性可得D （2，﹣3），过点B 作B ⊥CD 交直线CD 于点，可得四边形OCB 为正方形，过点O 作OH ⊥PC 交PC 延长线于点H ，OR ⊥BQ 交BQ 于点I 交B 于点R ，可得四边形OHQ I 为矩形，可证△OBQ ≌△OCH ，△OSR ≌△OGR ，得到tan ∠QCT=tan ∠TB ，设ST=TD=m ，可得S=2m+1，CS=2﹣2m ，T=m+1=BR ，SR=3﹣m ，R=2﹣m ，在Rt △SR 中，根据勾股定理求得m ，可得tan ∠PCD=12，过点P 作PE ′⊥轴于E ′交CD 于点F ′，得到P （t ，﹣
12t ﹣3），可得﹣12
t ﹣3=t 2﹣2t ﹣3，求得t ，再根据MN=d 求解即可．
（3）如图2，
∵y=2﹣2﹣3=（﹣1）2﹣4，∴对称轴为=1，∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），∴CD=2，
过点B作B⊥CD交直线CD于点，∴四边形OCB为正方形，∴∠OB=90°，C=OB=B=3，∴D=1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB=90°，
过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交B于点R，∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，
∴四边形OHQI为矩形，
∵∠OCQ+∠OBQ=180°，∴∠OBQ=∠OCH，∴△OBQ≌△OCH，∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，∴∠SOG=90°，
∴∠ROG=45°，
∵OR=OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR=GR，∴SR=CS+BR，
∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TB=90°，∴∠BOR=∠TB，∴tan∠BOR=tan∠TB，∴BR
OB
=
TK
BK
，
∴BR=T，
过点P作PE′⊥轴于E′交CD于点F′，
∵CF′=OE′=t，∴PF′=1
2
t，∴PE′=
1
2
t+3，∴P（t，﹣
1
2
t﹣3），∴﹣
1
2
t﹣3=t2﹣2t﹣3，
解得t1=0（舍去），t2=3
2．
∴×．
考点：二次函数综合题．。