5方差分析
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统计学：5方差分析
统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
第5章方差分析
5.1.4 方差分析中的基本假定
（基本前提：独立、同分布、同方差）
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据（试验结果）相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 （同分布） 二、r个正态总体的方差是相同。 即：σ12=σ22…….=σr2=σ2 （同方差） 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。（独立）
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2
j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1
r
nj
x j x
2
j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和（SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响，反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异，故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下：
5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
第五节方差分析
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2 F
3
4
F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自 由度决定。
2019/2/20
15
F值与F分布
2019/2/20
16
F 界值表
附表15-2(P228) F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
k-1
SS组间 组间
MS组间 MS组内
组内(误差) SS总-SS组间
N-k
SS组内 组内
2019/2/20
18
假设检验的步骤
1.建立假设、确定检验水准：
H0：1 = 2 = 3， H1：1、2、3不等或不全相等，
=0.05
2.选定检验方法和计算检验统计量：
F= MS组间/MS组内
变异来源
处理组
SS
df
i
n (X
i i
j
X)
2
k－ 1
区组 误差
nj ( X j X )
2
b－ 1 (k－1)×(b-1)
总
SS总 SS 处理 SS区组 2 ( X ) 2 X N
N－ 1
随机区组设计资料方差分析的基本步骤 1、建立检验假设，确定检验水准
对于处理间: H0：多个处理组的总体均数相等，即三种方案的 效果相同
随机区组设计的三种情况 1、区组设计资料 2、同一个对象的K个部位测定同一指标（如教 室的不同位置侧粉尘数） 3、同一样品用多种方法测定某一指标。
优点：每个区组内的k个受试对象有较好 的同质性，组间均衡性也较好。 比完全随机设计减少了误差，因而更 容易察觉处理组间的差别，提高了实验效 率。 缺点：要求区组内受试对象数与处理数相 等，实验结果中若有数据缺失，统计分析 较麻烦。
第5章方差分析
5.1.3 方差分析的基本假设
(1) 各样本的独立性。 即各组观察数据，是从相互独立的总体中抽取的。 (2) 要求所有观察值都是从正态总体中抽取且方差相等。 在实际应用中能够严格满足这些假定条件的客观现象是很少的，在社会 经济现象中更是如此。但一般应近似地符合上述要求。水平之间的方差 （也称为组间方差）与水平内部的方差（也称组内方差）之间的比值是 一个服从F分布的统计量：
SPSS将自动计算检验统计量和相伴概率P值，若P值小于 等于显著性水平α，则拒绝原假设，认为因素的不同水平对 观测变量产生显著影响；反之，接受零假设，认为因素的不 同水平没有对观测变量产生原理
3. 多重比较检验问题 多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验 到底哪些均值之间存在差异。 4. 各组均值的精细比较 多重比较检验只能分析两两均值之间的差异性，但是有些 时候需要比较多个均值之间的差异性。具体操作是将其转 化为研究这两组总的均值是否存在显著差异，即与是否有 显著差异。这种比较是对各均值的某一线性组合结构进行 判断，即上述检验可以等价改写为对进行统计推断。这种 事先指定均值的线性组合，再对该线性组合进行检验的分 析方法就是各组均值的精细比较。显然，可以根据实际问 题，提出若干种检验问题。
F = 水平间方差 / 水平内方差 = 组间方差 / 组内方差
5.2 单因素方差分析
单因素方差分析也叫一维方差分析，它用来研究一个因素的不同水平是 否对观测变量产生了显著影响，即检验由单一因素影响的一个(或几个相 互独立的)因变量，由因素各水平分组的平均值之间的差异是否具有统计 意义。
5.2.1 单因素方差分析的基本原理 5.2.2 单因素方差分析的SPSS操作详解 5.2.3 课堂练习：化肥种类对粮食产量的影响
第五章方差分析
5.1.3方差分析的原理
方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响，那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动；反之， 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响，那么观测变量 值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上，方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异，分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析（单因 变量方差分析）和多元方差分析（多因变量方差分析）。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中，选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法，单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮，出现上图对话框，在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000，即 协变量对青年教师现工资的影响显著；“教师 级别”的相伴概率为0.997，大于0.05，即对青 年教师的工资影响不显著；“政策实施”的相 伴概率0.029，小于0.05，对青年教师工资影响 显著；两因素的交互作用的相伴概率为0.551， 大于0.05，即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设：协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ；在扣除协变量的影响条件下，控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平 ，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
第五章方差分析[统计学经典理论]
![第五章方差分析[统计学经典理论]](https://img.taocdn.com/s3/m/8103707959fafab069dc5022aaea998fcc224065.png)
第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。
当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。
•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。
•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。
•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。
•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。
将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。
若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。
当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。
5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
spss统计分析及应用教程-第5章 方差分析
单因素方差分析由SPSSl7.0的比较均值过程过程中的单 因素ANOVA子过程实现。下面以案例说明单因素方差分 析的单因素ANOVA子过程的基本操作步骤。
实验一 单因素方差分析
实验步骤
（1）准备工作 在SPSSl7.0中打开数据文件4-1.sav，通过选择“ 文件—打开”命令将数据调入SPSSl7.0的工作文件窗 口,结果如图。
实验二 多因素方差分析
准备知识 多因素方差分析定义
多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测 变量产生显著影响。多因素方差分析不仅能够分析多个控制变 量对观测变量的独立影响，还能够分析多个控制变量的交互作 用能否对观测变量的结果产生显著影响，进而最终找到有利于 观测变量的最优组合。
Sidak：Sidak法，根据t统计量进行配对多重比较，调整多重比 较的显著性水平。 Scheffe：塞弗检验法，对所有可能的组合进行同步进入的配对 检验。
R-E-G-WF：Ryan-Einot-Gabriel-Welsch F法，根据F检验的 多重下降过程。
R-E-G-WO：Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Q法，根据 Student极差的多重下降过程。
多因素方差分析基本原理
多因素方差分析中，观测变量取值的变动会受到控制变 量独立作用、控制变量交互作用和随机变量三方面的影 响，据此，将观测变量总的离差平方和分解为三部分内 容：控制独立作用引起的变差，控制变量交互作用引起 的变差和随机因素引起的变差。以两个控制变量为例
1
组内离差平方和
定义组内离差平方和(SSE)为：
缺失值选框提供了两种缺失值的处 理方法。 按分析排序排除个案：剔除各 分析中含有缺失值的个案。 按列表排除个案：剔除含有缺 失值的全部个案。
Lecture5_方差分析_
例7.3 小白鼠在接种了3种不同菌型的伤寒杆菌后的存活天数如表7.5所示。 判断小白鼠被注射3种菌型后的平均存活天数有无显著差异？
菌型 1 2 3 2 5 7 4 6 11 3 8 6 2 5 6 4 10 7 7 7 9 7 12 5 2 12 5 2 6 10 5 6 6 4 3 10
解 提出假设 > mouse<-data.frame( X=c(2, 4, 3, 2, 4, 7, 7, 2, 2, 5, 4, 5, 6, 8, 5, 10, 7, 12, 12, 6, 6, 7, 11, 6, 6, 7, 9, 5, 5, 10, 6, 3, 10), A=factor(c(rep(1,11),rep(2,10), rep(3,12)))) > mouse.aov<-aov(X ~ A, data=mouse) > summary(mouse.aov) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A 2 94.26 47.13 8.484 0.0012 ** Residuals 30 166.65 5.56 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘
由上述计算结果可知， μ1与μ2， μ1与μ3均有显著差异，而μ2与μ3间 没有显著差异，即小白鼠所接种的三种不同菌型的伤寒杆菌中第一种与 后两种使得小白鼠的平均存活天数有显著差异，而后两种差异不显著。 多重t检验方法的优点是使用方便，但在均值的多重检验中，如果 因素的水平较多，而检验又是同时进行的，多次重复使用t检验会增大犯 第一类错误的概率，所得到的“有显著差异”的结论不一定可靠。 可通过设置函数pairwise.t.test()中的参数p.adjust.method选择不 同的调整P值的方法。
统计学教案习题05方差分析
第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。
（3）方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想1．基本思想方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
k 表示处理组数。
第五章方差分析
SAS软件与统计应用教程
STAT
5.2
单因素方差分析
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
5.2.2 用“分析家”作单因素方差分析
5.2.3 用过程进行单因素方差分析
SAS软件与统计应用教程
STAT
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
1. 实例
【例5-1】消费者与产品生产者、销售者或服务的提供 者之间经常发生纠纷。当发生纠纷后，消费者常常会向 消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价， 消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 分别抽取了不同的企业作为样本。每个行业各抽取5家 企业，所抽取的这些企业在服务对象、服务内容、企业 规模等方面基本上是相同的。然后统计出最近一年中消 费者对总共20家企业投诉的次数，结果如表5-4。
SAS软件与统计应用教程
STAT
3. 方差分析表
通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。
表5-1 单因素方差分析表
来源Source 自由度DF 平方和Sun of Square 平均平方和 Mean Square F统计量 F value p值Pr > F
组间
组内 全部(C-tatol)
对于给定的显著性水平α 当值p = P{FA > FA0} < α时拒绝H0A； 当值p = P{FB > FB0} < α时拒绝H0B。 其中，FA0为FA统计量的观测值，FB0为FB统计量的观 测值。
SAS软件与统计应用教程
STAT
2. 有交互作用的多因素方差分析
对于有交互作用的观测{xijk}，采用以下的模型： xijk= + i + j + ij + ijk， 1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n 其中表示平均的效应，i和j分别表示因素A的第i个 水平和因素B的第j个水平的附加效应， ij 表示因素A的 第i个水平和因素B的第j个水平交互作用的附加效应。 ijk为随机误差，这里也假定它是独立的并且服从等方差 的正态分布。 注意，其中n必须大于1，即为了检验交互作用，必须 有重复观测。
5 方差分析
Step03：选择均值多重比较方法 单击【选项】按钮， 勾选【方差同质性检验】， 表示输出方差齐性检验表。 单击【继续 】按钮返回主对话框， 单击【确定】按钮，操作完成。
实例结果及分析
1）方差齐性检验
概率P值0.9 46明显大于显著性水平， 故认为这三组数据的方差是 相同的，满足方差分析的前 提条件。
Step04：方差分析的精细比较设置
• 在“单 因素方差分析”对话 框，单 击【对比】按钮，勾选【多项式】， 激活【度】下拉菜 单 ，默 认选择 【线性】选项，表示要进行均值的 精细比较。 • 接着在【系数 】文本框中依次输 入 线 性多 项 式的系 数 “ 1” 、“ 1” 、 “－ 3” 和“ 1” ， 并单击 【添加】 按钮确认设置。 •再单击【继续】按钮，返回“单检验 由于概率P值0.856明显大于显著性水平，故认为样本数据 的方差是相同的，满足方差分析的前提条件。
3）双因素方差分析检验表
3）双因素方差分析检验表分析
第一行的校正模型是对所用方差分析模型的检验，其原假设为模型中所 有的影响因素均无作用，即职业、性别及两者的交互作用等对每周薪金都 无显著影响。该检验的P值远小于0.05，因此所用模型有统计学意义， 以上所提到的因素中至少有一个是有显著差异的，但具体是哪些则需要阅 读后面的分析结果。 第二行是对模型中常数项是否等于0进行的检验，虽然根据概率P值判 断它显著不等于零，但它在分析中没有实际意义，忽略即可。 第三、四行分别是对职业、性别的影响效应进行的检验，其零假设分别 是：职业或性别对薪金没有显著性差异。但这两行对应的相伴概率P都接 近0，显然小于显著性水平0.05。可见，两者分别对薪金有显著性影 响。 第五行是对职业和性别的交叉作用进行检验，可见P为0.011， 小于显著性水平，表示交互作用对观测变量每周薪金有显著性影响作用。 从上面方差分析结果看到，职业、性别及其两者的交互项都直接 影响了每周薪金的高低，存在统计学意义下的显著差异。
SPSS统计分析第五章方差分析
单因素方差分析的选择项
Contrasts：可以指定一种要用t检验来检验的Priori对比,即进 行均值的多项式比较选项； Post Hoc：可以指定一种多重比较检验； Option：可以指定要输出项〕
Polynomial<多项式比较>：均值的多项式比较是包括 两个或更多个均值的比较.单因素方差分析的Oneway ANOVA过程允许进行高达5次的均值多项式比 较.Linear线性、Quadratic二次、 Cubic三次、 4th 四次、 5th五次多项式
2．水平
因素的不同等级称作水平. 例如,性别因素在一般情况下只研究两个水平：男、女.化学实验或 生物实验中的"剂量"必须离散化为几个有限的水平数.如：1ml、 2ml、4ml三个水平. 应该特别注意的是在SPSS数据文件中,作为因素出现的变量不能 是字符型变量,必须是数值型变量.例如性别变量SEX,定义为数值 型,取值为0、1.换句话说,因素变量的值实际上是该变量实际值的 代码,代码必须是数值型的.可以定义值标签F、M〔或Fema1e、 ma1e〕来表明0、1两个值的实际含义,以便在打印方差分析结果 时使用.使结果更加具有可读性.
6．协方差分析
在一般进行方差分析时,要求除研究的因素外应该 保证其他条件的一致.作动物实验往往采用同一胎 动物分组给予不同的处理,研究各种处理对研究对 象的影响就是这个道理. 例如研究身高与体重的关系时要求按性别分别进 行分析.这样消除性别因素的影响.不同年龄的身 高对体重的关系也是有区别的,被测对象往往是不 同年龄的.要消除年龄的影响,应该采用协方差分 析.
2．方差分析的假设检验
假设有m个样本,如果原假设H0：样本均数都相同 μ1=μ2=μ3=········=μm=μ,m个样本有共同的方差σ2. 则m个样本来自具有共同的方差σ2和相同的均数μ的 总体. 如果经过计算结果组间均方远远大于组内均方的F＞ F0.05<f组间,f组内>,〔括号中的两个f是自由度〕则p ＜0.05,推翻原假设,说明样本来自不同的正态总体,说 明处理造成均值的差异,有统计意义.否则,F＜F0.05<f 组间,f组内>,P＞0.05承认原假设,样本来自相同总体, 处理无作用.
第5章方差分析习题解答
，可判断因素 A 的影响
显著
（显著，不显 显著 （显
FB = 5.85 > F0.05 (3, 6) = 4.80
， 可判断因素 B 的影响
自由度 2 3 6 11
均方 27 27.33 4.67 —
F值 5.78 5.85 — —
因素 A 因素 B 误差 e 总 和
17. 在某种化工产品的生产过程中，选择 3 种不同的浓度： A1 =2%， A2 =4%， A3 =6%； 4 种不同的温度： B1 =10 C， B2 =24 C， B3 =38 C， B4 =52 C；在每种浓度与温度配合下各做
差异源 组 组 总 间 内 计
16. 在双因素方差分析中，因素 A 有三个水平，因素 B 有四个水平,每个水平搭配各 做 一 次 试 验 ． 请 完 成 下 列 方 差 分 析 表 ， 在 显 著 水 平 α =0.05 下 ， 由 于
FA = 5.78 > F0.05 (2, 6) = 5.10
著） ； 由于 著，不显著） ． 来 源 平方和 54 82 28 164
yij , i = 1, 2, L , r , j = 1, 2, L , t .对 ( yij ) r×t 的偏差有分解：
SST = ∑∑ ( yij − y ) = ∑∑ ( yij − yi⋅ ) 2 + ∑ t ( yi⋅ − y )2 = ˆ SS E + SS A
i =1 j =1 i =1 j =1 i =1
0 0 0 0
两次试验，观测产品的收取率．现由试验数据计算出如下结果：总偏差平方和
SST = 147.8333 ，因素 A （浓度）的偏差平方和 SS A = 44.3333 ，因素 B （温度）的偏差
5方差分析
上海交大，苗瑞： 上海交大，苗瑞：miaorui@
单因素试验的数学模型
设因素A 个水平A 设因素A有s个水平A1,A2,…,As，在水平Aj(j=1,2,…s)下， 在水平A (j=1,2,…s)下 进行n 2)次独立试验 得到结果如下： 次独立试验， 进行nj(nj ≥2)次独立试验，得到结果如下：
j =1 i =1 s j =1 i =1
s
nj
s
nj
= 2 ∑ ( xij − x⋅ j ) ( ∑ xij − n j x⋅ j ) = 0
j =1 i =1
nj
上海交大，苗瑞： 上海交大，苗瑞：miaorui@
平方和分解
于是可以将总变差S 于是可以将总变差 T分解成为 SST = SS B + SSW 其中
上海交大，苗瑞： 上海交大，苗瑞：miaorui@
单因素模型试验方差分析
设A、B、C三家工厂都生产同一型号的电池，电池的 三家工厂都生产同一型号的电池， 质量用电池的平均寿命来衡量， 质量用电池的平均寿命来衡量，现从三家工厂的产 品中各随机地抽取5只电池， 品中各随机地抽取5只电池，测得这些电池的寿命 单位： 如表所示， （单位：h）如表所示，不同工厂生产的电池的平均 寿命有显著差异？ 寿命有显著差异？ 电池寿命（小时） 工厂 电池寿命（小时） A B C 40 26 39 48 34 40 38 30 43 42 28 50 45 32 50
方差分析
方差分析实际上是用来辨别各水平 间的差别是否超出了水平内正常误 差的程度 观察值之间的差异包括系统性差异 和随机性差异。 和随机性差异。
上海交大，苗瑞： 上海交大，苗瑞：miaorui@
方差分析的图示
观察值 期望值
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大白鼠 种类（同窝） A B C D 0.2 106 42 70 42 4 65.0
b j 1 b
雌激素剂量( ug/100g) 0.4 0.8 116 68 111 63 4 89.5 358 34370 145 115 133 87 4 120.0 480 59508
= 134.55－130.54＝4.01
－130.54
(6.08) 2 (610 . ) 2 (6.04) 2 (3.75) 2 －130.54 SS区组 = 3
= 6.19
SS误差 = SS总－SS处理－SS区组 = 17.75－4.01－6.19 = 7.55
MS处理 =4.01/2=2.005
第九章
方差分析
（analysis of variance）
第一节 方差分析的基本思想 第二节 完全随机设计的方差分析
（completely random design）
第三节 随机区组设计的方差分析
(randomized block design)
第四节 多个样本均数的两两（多重）比较
(compare means between two samples in F analysis)
MS区组 =6.19/9=0.688 MS误差=7.55/18=0.419
F1 2.005/ 0.419 4.785
F2 0.688/ 0.419 1.642
表 7
变异来源 总 变 异 处理组间变异 区组间变异 误 差
方差分析表
df 29 2 9 18 MS
2.005 0.688 0.419
2
2
2
46732 .389
组间 k 1 3 1 2
SS组内 SS总 SS组间 185666 .556 46732 .389 138934 .167
组内 总 组间 35 2 33
MS组间 SS组间 / 组间 46732 .389/ 2 23366 .195
SS 17.75 4.01 6.19 7.55
F
4.785 1.642
P
0.022 0.177
3. 查表 4. 结论
F 0.05(2,18) = 3.55 F 0.05(9,18) = 2.46
F 0.01(2,18) = 6.01 F 0.01(9,18) = 3.60
可见处理组间的变异有统计学意义，而区组 间的变异无统计学意义……
不同的试验（或实验）设计方案要用 不同的方差分析。
方差分析的基本思想是，把所有观察值之间 的变异分解（剖析）为几个部分。 即把描写所有观察值之间的变异的离均差平 方和（ SS ）分解为某些（多个）因素的离均 差平方和及随机抽样误差。 进而计算其各自相应的均方（ MS ），并构造 检验统计量F，进行统计学检验。
当区组间差异无统计学意义时 , 可采用完全 随机设计的方差分析。
方差分析表
变异来源 总 变 异 组间变异 组内变异
SS
17.75 4.01 13.73
df
29 2 27
MS
2.005 0.509
F
3.942
P
0.0315
可见处理组间的变异有统计学意义。
表8 注射不同剂量雌激素后的大白鼠子宫重量(g)
计量资料的假设检验(hypothesis test)
单个样本(one sample) t 检验
配对资料 (paired sample)比较的t检验 两独立样本(two independent samples)
t检验 (t test)
均数比较的ｔ检验 U检验
t’检验(当方差不齐时）
两个几何均数的比较
例 将18只大鼠随机分为三组，用二氧 化硅（SiO2）50mg染尘，分别于染尘后1、 3、6个月处死，称量全肺湿重（见表4.2）， 试说明染尘后 1、3、6个月三个时期的全 肺湿重是否有变化？
三种“变异”之间的关系
SS总 总 MS总 SS组内 组内 MS组内 SS组间 组间 MS组间
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
第二节
完全随机设计的方差分析
例1 在肾缺血再灌流过程中的作用， 将36只雄性大鼠随机等分为3组，给予 不同处理后，测得NO数据如下。试问各 组NO平均水平是否相同？
1.66 1.26 1.30 3.00 3.72 1.23 3.85 1.93 2.07 1.14
方差分析的步骤
与完全随机设计的方差分析基本相同，主要区别 在于：F值计算的方差分析表（ANOVA table）不同。 变异来源从组内变异中分解出单位组变异与误差 变异。
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mk H1: not all the mi are equal
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
f( F)
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2
F
3
4
如:为研究烫伤后不同时期切痂对 肝脏ATP(u/L)含量的影响，30只大鼠 随机分3组, 每组10只，分别接受不 同的处理，试根据下表资料说明大鼠 烫伤后不同时期切痂对其肝脏的 ATP(u/L)含量是否有影响？
第五节 析因设计的方差分析(factor 第六节 重复测量设计的方差分析
(repeated measurements design)
design)
第七节 方差分析的前提条件
实验研究的基本要素
三要素： 处理因素、受试对象、实验效应（指标） 处理因素
降压药
受试对象
高血压病人
实验效应
血压值
第一节
方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance） 简写为ANOVA 又称变异数（variance）分析。 也称为 F 检验。 它是英国统计学家 R. A. Fisher 首先提出 的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia 中国·首医
0.05
2. 计算统计量F 值：
C
SS总
185666 .556
X
2 X / n (11146 ) / 36 3450925 .444
2
2
C 3636592 3450925 .444
总 n 1 36 1 35
4098 3937 3111 SS组间 12 12 12 3450925.444
表4
变异来源 自由度
方差分析表
离均差 均方 4210.126 23366.195 5.550 5.32
F
F0.01
误差（组内） 33 不同处理 总变异 2 35
138934.167 46732.389 185666.556
第三节
随机区组设计的方差分析
随机区组设计(randomized block design) 可以考察两个因素的作用。
试验数据有三个不同的变异
1. 总变异（Total variation）：全部测量值 Xij与总均数 X 间的差别 (用SS表示)
2. 组间变异（ between group variation ） 各组的均数 X i与总均数 X 间的差异
3. 组内变异（within group variation )每 组的10个原始数据与该组均数 X i 的差异
因素A称为处理因素，是本次试验观察的 重点； 因素B称为区组因素，是可能对试验效应 产生作用的主要非处理因素。
SS总
SS处理 SS区组 SS误差
变异之间的关系： SS总= SS处理+ SS区组+SS误差 总= 处理+区组+误差
随机区组设计的方差分析
例 某厂10名氟作业工人24小时内不同 时间尿氟排出如表１。试分析氟作业工人在 工前、工中 (上班第 4小时 ) 和工后 (下班 后第 4 小时 ) 的尿氟排出量 (ml/L) 的差别 有无统计学意义?
36 309.6 11146 3636592
这里有三种变异:
总的变异: 36 个的个体测得的 NO 不尽相同， 有高有低，这种差异称为总的变异。 它既包括组间变异，也包括组内差异， 还包括随机抽样误差的作用。
解：1. H0 各组大鼠NO含量总体均值相等 H1 各组大鼠NO含量总体均值不等或不全相等
MS组内 SS组内 / 组内 138934 .167/ 33 4210 .126
F MS组间 MS组内 23366 .195 5.550 4210 .126
1 组间 2,
2 组内 33
3．查表 按ν1 = 2，ν2 = 33查附表3（F界值表，方 差分析用）得， 4. 结论 则P < 0.01 。故按α=0.05水准拒绝H0，接 受H1，可以认为三组NO总体水平不同。方 差分析结果见下表
m1 m2 m3
m1 m2 m3
m1 m2 m3
表6 10名氟作业工作尿氟排出量 (ml/L)
工人编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (X) ( X) (X2)
工前
1.72 1.68 1.42 2.35 1.95 0.87 1.41 2.03 1.67 1.14 16.24 1.62 28.08
表1
大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量 烫伤对照组 7.76 7.71 8.43 8.47 10.30 6.67 11.73 5.78 6.61 6.97 24小时切痂组 11.14 11.60 11.42 13.85 13.53 14.16 6.94 13.01 14.18 17.72 96小时切痂组 10.85 8.58 7.19 9.36 9.59 8.81 8.22 9.95 11.26 8.68
b j 1 b
雌激素剂量( ug/100g) 0.4 0.8 116 68 111 63 4 89.5 358 34370 145 115 133 87 4 120.0 480 59508
= 134.55－130.54＝4.01
－130.54
(6.08) 2 (610 . ) 2 (6.04) 2 (3.75) 2 －130.54 SS区组 = 3
= 6.19
SS误差 = SS总－SS处理－SS区组 = 17.75－4.01－6.19 = 7.55
MS处理 =4.01/2=2.005
第九章
方差分析
（analysis of variance）
第一节 方差分析的基本思想 第二节 完全随机设计的方差分析
（completely random design）
第三节 随机区组设计的方差分析
(randomized block design)
第四节 多个样本均数的两两（多重）比较
(compare means between two samples in F analysis)
MS区组 =6.19/9=0.688 MS误差=7.55/18=0.419
F1 2.005/ 0.419 4.785
F2 0.688/ 0.419 1.642
表 7
变异来源 总 变 异 处理组间变异 区组间变异 误 差
方差分析表
df 29 2 9 18 MS
2.005 0.688 0.419
2
2
2
46732 .389
组间 k 1 3 1 2
SS组内 SS总 SS组间 185666 .556 46732 .389 138934 .167
组内 总 组间 35 2 33
MS组间 SS组间 / 组间 46732 .389/ 2 23366 .195
SS 17.75 4.01 6.19 7.55
F
4.785 1.642
P
0.022 0.177
3. 查表 4. 结论
F 0.05(2,18) = 3.55 F 0.05(9,18) = 2.46
F 0.01(2,18) = 6.01 F 0.01(9,18) = 3.60
可见处理组间的变异有统计学意义，而区组 间的变异无统计学意义……
不同的试验（或实验）设计方案要用 不同的方差分析。
方差分析的基本思想是，把所有观察值之间 的变异分解（剖析）为几个部分。 即把描写所有观察值之间的变异的离均差平 方和（ SS ）分解为某些（多个）因素的离均 差平方和及随机抽样误差。 进而计算其各自相应的均方（ MS ），并构造 检验统计量F，进行统计学检验。
当区组间差异无统计学意义时 , 可采用完全 随机设计的方差分析。
方差分析表
变异来源 总 变 异 组间变异 组内变异
SS
17.75 4.01 13.73
df
29 2 27
MS
2.005 0.509
F
3.942
P
0.0315
可见处理组间的变异有统计学意义。
表8 注射不同剂量雌激素后的大白鼠子宫重量(g)
计量资料的假设检验(hypothesis test)
单个样本(one sample) t 检验
配对资料 (paired sample)比较的t检验 两独立样本(two independent samples)
t检验 (t test)
均数比较的ｔ检验 U检验
t’检验(当方差不齐时）
两个几何均数的比较
例 将18只大鼠随机分为三组，用二氧 化硅（SiO2）50mg染尘，分别于染尘后1、 3、6个月处死，称量全肺湿重（见表4.2）， 试说明染尘后 1、3、6个月三个时期的全 肺湿重是否有变化？
三种“变异”之间的关系
SS总 总 MS总 SS组内 组内 MS组内 SS组间 组间 MS组间
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
第二节
完全随机设计的方差分析
例1 在肾缺血再灌流过程中的作用， 将36只雄性大鼠随机等分为3组，给予 不同处理后，测得NO数据如下。试问各 组NO平均水平是否相同？
1.66 1.26 1.30 3.00 3.72 1.23 3.85 1.93 2.07 1.14
方差分析的步骤
与完全随机设计的方差分析基本相同，主要区别 在于：F值计算的方差分析表（ANOVA table）不同。 变异来源从组内变异中分解出单位组变异与误差 变异。
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mk H1: not all the mi are equal
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
f( F)
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2
F
3
4
如:为研究烫伤后不同时期切痂对 肝脏ATP(u/L)含量的影响，30只大鼠 随机分3组, 每组10只，分别接受不 同的处理，试根据下表资料说明大鼠 烫伤后不同时期切痂对其肝脏的 ATP(u/L)含量是否有影响？
第五节 析因设计的方差分析(factor 第六节 重复测量设计的方差分析
(repeated measurements design)
design)
第七节 方差分析的前提条件
实验研究的基本要素
三要素： 处理因素、受试对象、实验效应（指标） 处理因素
降压药
受试对象
高血压病人
实验效应
血压值
第一节
方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance） 简写为ANOVA 又称变异数（variance）分析。 也称为 F 检验。 它是英国统计学家 R. A. Fisher 首先提出 的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia 中国·首医
0.05
2. 计算统计量F 值：
C
SS总
185666 .556
X
2 X / n (11146 ) / 36 3450925 .444
2
2
C 3636592 3450925 .444
总 n 1 36 1 35
4098 3937 3111 SS组间 12 12 12 3450925.444
表4
变异来源 自由度
方差分析表
离均差 均方 4210.126 23366.195 5.550 5.32
F
F0.01
误差（组内） 33 不同处理 总变异 2 35
138934.167 46732.389 185666.556
第三节
随机区组设计的方差分析
随机区组设计(randomized block design) 可以考察两个因素的作用。
试验数据有三个不同的变异
1. 总变异（Total variation）：全部测量值 Xij与总均数 X 间的差别 (用SS表示)
2. 组间变异（ between group variation ） 各组的均数 X i与总均数 X 间的差异
3. 组内变异（within group variation )每 组的10个原始数据与该组均数 X i 的差异
因素A称为处理因素，是本次试验观察的 重点； 因素B称为区组因素，是可能对试验效应 产生作用的主要非处理因素。
SS总
SS处理 SS区组 SS误差
变异之间的关系： SS总= SS处理+ SS区组+SS误差 总= 处理+区组+误差
随机区组设计的方差分析
例 某厂10名氟作业工人24小时内不同 时间尿氟排出如表１。试分析氟作业工人在 工前、工中 (上班第 4小时 ) 和工后 (下班 后第 4 小时 ) 的尿氟排出量 (ml/L) 的差别 有无统计学意义?
36 309.6 11146 3636592
这里有三种变异:
总的变异: 36 个的个体测得的 NO 不尽相同， 有高有低，这种差异称为总的变异。 它既包括组间变异，也包括组内差异， 还包括随机抽样误差的作用。
解：1. H0 各组大鼠NO含量总体均值相等 H1 各组大鼠NO含量总体均值不等或不全相等
MS组内 SS组内 / 组内 138934 .167/ 33 4210 .126
F MS组间 MS组内 23366 .195 5.550 4210 .126
1 组间 2,
2 组内 33
3．查表 按ν1 = 2，ν2 = 33查附表3（F界值表，方 差分析用）得， 4. 结论 则P < 0.01 。故按α=0.05水准拒绝H0，接 受H1，可以认为三组NO总体水平不同。方 差分析结果见下表
m1 m2 m3
m1 m2 m3
m1 m2 m3
表6 10名氟作业工作尿氟排出量 (ml/L)
工人编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (X) ( X) (X2)
工前
1.72 1.68 1.42 2.35 1.95 0.87 1.41 2.03 1.67 1.14 16.24 1.62 28.08
表1
大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量 烫伤对照组 7.76 7.71 8.43 8.47 10.30 6.67 11.73 5.78 6.61 6.97 24小时切痂组 11.14 11.60 11.42 13.85 13.53 14.16 6.94 13.01 14.18 17.72 96小时切痂组 10.85 8.58 7.19 9.36 9.59 8.81 8.22 9.95 11.26 8.68