等腰三角形的多解例示
第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题(拓展提升)(解析版)
思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。
专题三：等腰三角形多解问题
专题三：等腰三角形多解问题1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。
2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。
3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。
4、若等腰三角形的一个内角是72°。
,则它的底角度数是。
5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。
,则三内角度数分别为。
6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。
7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。
8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。
9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。
10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。
,则这个等腰三角形的顶角度数为。
11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。
12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。
13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。
14、在等腰∆ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。
15、已知AD和BE是∆ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。
16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。
17、在∆ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。
18、在∆ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边∆ACD,连接BD,则∠ADB=。
小专题(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题.doc
小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A．7个B．6个C．5个D．4个3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A ＝12∠B. 设∠A ＝x °，则∠B ＝2x °.①若∠B 是顶角，则∠A ，∠C 是底角，于是有∠C ＝∠A ＝x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180.解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°；②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ，∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180.解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，则∠A ＝40°，所以∠B ＝∠C ＝70°； ②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 的反向延长线相交，且∠AED ＝50°，则∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，所以∠B ＝∠C ＝20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？解：设∠A 为顶角，则∠ABC 、∠ACB 为底角．(1)若∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ，根据题意有BD ＝12AB ，∠BDA ＝90°， ∴∠A ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝75°；(2)若∠A 为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若∠A 为钝角，有三种情况：①如图2，作AD ⊥BC 于点D ，根据题意有AD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；②如图3，作BD ⊥CA 的延长线于点D ，根据题意有BD ＝12BC ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；③如图4，作BD ⊥CA 的延长线于点D ，根据题意有BD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.8．AC 为等腰△ABD 的腰BD 上的高，且∠CAB ＝60°.求这个三角形各内角的度数．解：①如图1，高AC 在△ABD 的内部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°.因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝75°；②如图2，高AC 在△ABD 的外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°.所以∠ABD ＝150°.因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝15°；③如图3，高AC 在△ABD 的外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°.因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.所以∠ADB＝120°.综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.。
用分类讨论求解等腰三角形多解问题
用分类讨论求解等腰三角形多解问题类型1 对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。
当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。
故应选D。
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为______。
变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是__________度类型2 对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．还要依据：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．来判定取舍。
例2、等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是解析：当3cm为腰长时，此时三边为3cm、3cm、5cm，周长为11cm；如果5cm为腰长时，此时三边为5cm、5cm、3cm，周长为13cm。
变式1、若一个等腰三角形的三边长均满足(x－2)(x－4)＝0，求此等腰三角形的周长．变式2、等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么它的腰长为多少？变式3、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．类型3 对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．例3、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
运用分类讨论数学思想求解等腰三角形中多解问题
运用分类讨论数学思想求解等腰三角形中多解问题分类讨论数学思想是解决数学问题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，这时就需要分类讨论 .本节主要介绍下等腰三角形中需要分类讨论的常见题型 .类型一当顶角或底角不确定时1.已知等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为（ A ）A.70°B. 40°C.70° 或40°D. 70° 或55°2.一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为：70°、55°、55° 或70°、70°、40° .类型二当底和腰不确定时3.一个等腰三角形的一边长为 4 cm , 另一边长为 5 cm , 那么这个等腰三角形的周长是（ C ）A.13 cmB. 14 cmC.13 cm 或14 cmD. 以上都不对4.已知实数 x , y 满足 | x - 4| + √(y-8) = 0 , 则以 x , y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ B ）A.20 或 16B. 20C.16D. 以上都不对【解析】∵ | x - 4| + √(y-8) = 0 ,∴ x = 4 , y = 8 .这时底和腰都不确定，就需要分类讨论了.① 当底是 4 时，腰为 8 时，以 4、8、8 为三边可以构成三角形，∴ 周长 = 4 + 8 + 8 = 20 .② 当底是 8 时，腰为 4 时，以 8、4、4 为三边构不成三角形 .故选 B 答案 .类型三当高的位置不确定时5.在等腰三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD = 1/2 BC，则△ABC 底角的度数为：45° 或75° 或15° .【解析】① 当△ABC 为直角三角形时，∠A = 90°，AB = AC，∵ AD⊥BC，∴ ∠B = ∠C = 45° .② 当△ABC 为钝角三角形时，AB = BC，∵ 在Rt△ADB 中，∠D = 90°，AD = 1/2 AB，∴ ∠ABD = 30°，∴ ∠BAC = ∠C = 15° . （三角形外角定理）③ 当△ABC 为锐角三角形时，BC = AC，∵ 在Rt△ADC 中，∠ADC = 90°，AD = 1/2 AC，∴ ∠C = 30°，∴ ∠B = ∠BAC = 1/2（180° - 30°）= 75° .综上所述：△ABC 底角的度数为45° 或75° 或15° .类型四由腰的垂直平分线引起的分类讨论6.在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B 的大小 .【解析】① 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 AC 相交时，∵ ∠AMD = 90°，∠ADM = 40°，∴ ∠A = 90° - 40° = 50° .∵ AB = AC ,∴ ∠B = ∠C = 1/2（180° - ∠A）= 65°；② 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 CA 的延长线相交时，∵ ∠AED = 90°，∠ADE = 40°，∴ ∠DAB = 90° - 40° = 50° .∵ AB = AC ,∴ ∠B = ∠C = 1/2 ∠DAB = 25° .综上所述：底角∠B 的度数为 65° 或25° .类型五由腰上的中线引起的分类讨论7.等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3 cm , 求腰长 .【解析】解：设等腰三角形的腰长为 2x , 一腰上的中线长为 y , 根据题意可得：（2x + x）- （5 + x）= 3 或（5 + x）-（2x + x）= 3 ,解得 x = 4 或 x = 1 ,∴ 2x = 8 或 2，① 当△ABC 的三边长为 8 , 8 , 5 时，符合三角形三边关系定理，可以构成三角形；② 当△ABC 的三边长为 2 , 2 , 5 时，∵ 2 + 2 < 5 ,∴ 不符合三角形三边关系定理，构不成三角形 .综上所述，等腰三角形的腰长为 8 cm .。
例谈等腰三角形的多解问题
例谈等腰三角形的多解问题等腰三角形是一种几何形状，其中两条边的长度相等，而且还有一个内角为60°。
它也是构成几何学中另一种重要图形等边三角形的基础，所以研究等腰三角形的特性和应用的十分重要。
随着数学的发展，等腰三角形的多解问题也受到了广泛关注。
本文将从几个例子出发，分析等腰三角形的多解问题。
第一个例子是一个等腰三角形，其中两条边的长度是2，而它的三个内角分别为x°、y°和z°。
在这里，x、y和z都是未知的。
解决这个问题的关键是用三角函数法和余弦定理。
由于两条边的长度都是2，可以得出：余弦定理：$2^2 = c^2 + c^2$，其中c = 2，所以有$2^2 = 4$。
利用余弦定理，有：$cos x = frac{2}{4} =frac{1}{2}$，$cos y = frac{2}{4} = frac{1}{2}$，$cos z = frac{2}{4} = frac{1}{2}$，所以$x = y = z = 60°$。
由此可以看出，等腰三角形的三个内角均为60°。
第二个例子是一个等腰三角形，其中两条边的长度是8，而它的三个内角分别为x°、y°和z°，它们也是未知的。
解决这个问题的关键是用三角函数法和勾股定理。
由于两条边的长度都是8，可以得出：勾股定理：$8^2 = a^2 + b^2$，其中a = 4，b = 4，所以有$8^2 = 16$。
利用勾股定理，有：$cos x = frac{4}{8}=frac{1}{2}$，$cos y = frac{4}{8}=frac{1}{2}$，$cos z = frac{4}{8}=frac{1}{2}$，所以$x = y = z = 60°$。
由此可以看出，等腰三角形的三个内角也均为60°。
第三个例子是一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是a和b，而它的三个内角分别为x°、y°和z°，它们仍然是未知的。
例析等腰三角形中的多解问题
例析等腰三角形中的多解问题
多解问题是指一个方程有多个解的情况，比如例析等腰三角形中的多解问题。
等腰三角形有三条线：两条相等的腰，一条组成顶点的斜边。
例析等腰三角形边长乘积等于周长的4倍，则数学表达式为: a*a*√3=4*P，其中a是等腰三角形的边长，P是周长。
因此方程有多解的情况：
1. 当腰和周长相等时，腰a=2*√3, P=4*√3，此时该等腰三角形是一个正三角形。
2. 当腰a比P大时，腰a=P/√3，腰长过长此时等腰三角形内部会有空隙。
3. 当腰a比P小时，腰a=P/(√3+1/4)，此时等腰三角形内部会有溢出。
以上就是等腰三角形中的多解。
部编数学八年级上册专题05等腰三角形的多解问题之六大题型(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题05利用分类讨论求解等腰三角形中的多解问题之六大题型已知等腰三角形的两边求第三边长产生多解【变式训练】∴等腰三角形的第三边长为6；第二情况：等腰三角形的三边长分别为6cm 、8cm 和8cm ，∵86886-<<+，化简得，2814<<，满足等腰三角形三边关系，∴等腰三角形的第三边长为8；综上所述，等腰三角形的第三边长为6或8，故答案为：6或8．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．已知等腰三角形的两边求周长产生多解例题：（2023上·河北张家口·八年级统考期末）ABC V 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC V 的周长为（ ）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC V 的腰为5时，ABC V 的周长55717++=；当ABC V 的腰为7时，ABC V 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如果等腰三角形有两条边长分别为5，6，那么该等腰三角形的周长等于（ ）A ．16B ．17C ．16或17D ．17或18【答案】C【分析】分类讨论腰，结合等腰三角形性质即可得到答案．【详解】解：由题意可得，当5是腰时，55655-<<+，能组成三角形，周长为：55616++=，当6是腰时，66566-<<+，能组成三角形，周长为：66517++=，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两条腰相等，解题的关键是分类讨论，并根据三边关系判断．已知等腰三角形的一角求其他角产生多解【变式训练】已知等腰三角形的一边和周长求其他边长产生多解【变式训练】与等腰三角形有关的问题产生多解∵AB AC =，∴B BCA Ð=Ð，由折叠得：B Ð=设B x Ð=，则AB Ð∵AB AC =，∴ABC BCA Ð=Ð由折叠得：ABC Ð【变式训练】1．（2023下·山西运城·七年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，130BAC Ð=°，AFD △和ABD △关于直线AD 对称，FAC Ð的平分线交BC 于点G ，连接FG ，当DFG V 为等腰三角形时，【答案】50°或65°或80°【分析】先由轴对称可以得出ADB△△△≌就可以得出AFG AGF AGCÐ=GD GF=、DF GF=、DF DG∵BOC ADC ≌△△，150a =°，∴150ADC BOC Ð=Ð=°，∴1506090ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-=°°；（2）∵BOC ADC ≌△△，∴ADC BOC a Ð=Ð=，∵OCD V 是等边三角形，∴60ADO a Ð=-°，36010060200AOD a a Ð=°-°--°=°-，∴18040OAD ADO AOD Ð=°-Ð-Ð=°；①当AOD ADO Ð=Ð时，20060a a °-=-°，∴130a =°；②当AOD OAD Ð=Ð时，20040a °-=°，∴160a =°；③当ADO OAD Ð=Ð时，6040a -°=°，∴100a =°，当100a =°或130°或160°时，AOD △是等腰三角形．【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键．等腰三角形的形状不明时与高线及其他线结合产生多解例题：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ．∵D 为AC 的中点，【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个三角形的顶角为（ ）A ．45°B ．90°C ．135°D ．135°或45°【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵45ACD Ð=°，∴顶角904545A Ð=°-°=°；如图2，三角形是钝角时，∵45ACD Ð=°，∴顶角4590135BAC Ð=°+°=°，综上所述，顶角等于45°或135°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC V 中，20B Ð=°，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC V 分为两个等腰三角形，则A Ð=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD =CD 时，如图，∵BD =CD ，∠B =20°，∴∠B =∠DCB =20°，∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°，（1）当DA =DC 时，∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∠ADC =40°，∴∠A =∠ACD =70°；（2）当DA =AC 时，即有∠ADC =∠ACD =40°，∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°；（3）当CD =CA 时，∠A =∠ADC =40°；第二种请况：BC =CD 时，如图，∵∠B =20°，BC =CD ，∴∠B =∠BDC =20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2023上·山东聊城·八年级统考期末）已知BD 是等腰ABC V 中一腰上的高，50ABD Ð=°，则顶角的度数可能有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对ABC V 进行分类讨论即可解答．【详解】解：∵50ABD Ð=°，BD 是腰上的高，∴90905040BAD ABD Ð=°-Ð=°-°=°，①如图1，若A Ð为顶角，则40A Ð=°，两底角为70°，此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°，②如图2，BAC Ð为顶角，则顶角为140BAC D ABD =+=°∠∠∠，此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°，③如图3，若BCA Ð为顶角时，9040A ABD Ð=°-Ð=°，∴40A ABC Ð=Ð=°，即顶角100BCA Ð=°，此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°，顶角的度数可能有100°，140°，40°，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键．4．（2023上·河南新乡·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，40B Ð=°，D 是BC 边上A．80°B．110°【答案】D【分析】根据三角形内角和为180°A ．30°B ．30°或60°C ．50°D ．30°或50°【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，当EF ED =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD x ÐÐ==，根据等腰三角形的性质可得80EFD EDF ÐÐ==°，则2080x x +°+=°，解出x 即可；当EF DF =时， 根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD y ÐÐ==，根据等腰三角形的性质可得20E FDE ÐÐ==°，则140EFD Ð=°，则20140y y °++=°，解出y 即可．【详解】解：当EF ED =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD x ÐÐ==，∵20B Ð=°，∴20FDC x Ð=+°，∵DEF V 为等腰三角形，EF ED =，∴80EFD EDF ÐÐ==°，∵ECD FDC EFD ÐÐÐ+=，∴2080x x +°+=°，解得30x =°，当EF DF =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD y ÐÐ==，∵20B Ð=°，∴20FDC y Ð=+°，∵DEF V 为等腰三角形，EF DF =，∴20E FDE ÐÐ==°，∴140EFD Ð=°，∵ECD FDC EFD ÐÐÐ+=，∴20140y y °++=°，解得60y =°，综上所述，BCD Ð的度数为30°或60°，故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．二、填空题当40°角为顶角时，如图，∵CA CB =，∴18040702CAB B °-°Ð=Ð==°，过点A 作AG CB ^，交BC 于点G ，∴90AGB Ð=°，【答案】30°或60°【分析】先根据等边对等角求出出DAE Ð的度数，则DAC Ð=Ð【详解】解：∵在ABC D 中，AB三、解答题11．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）在ABC V 中，17AB =，8BC =，21AC m =-．(1)求m 的取值范围．(2)若ABC V 是等腰三角形，则ABC V 的周长为______．【答案】(1)513m <<(2)42【分析】（1）根据三角形的三边关系列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可；（2）根据等腰三角形特征，分AB AC =，AC BC =两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：17AB =Q ，8BC =，21AC m =-，17821178m \-<-<+，即92125m <-<，解得：513m <<；（2）当17AB AC ==时，ABC V 的周长1717842=++=，当8AC BC ==时，8816<17+=，不能构成三角形，故答案为：42．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，解一元一次不等式组，熟知三角形两(1)【问题发现】如图1，当点D为BC的中点时，确定线段论：AD______DE（填“＞”“＜”或“＝”）．(2)【类比探究】如图2，当点D为BC边上任意一点时，确定线段结论，AD______DE（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．\CD DM MC==Q点D为等边ABC \BD DC DM==，Q AB BC CA===\162 MC BD==´同理可证BDP△则BP MQ AM==综上可知，BP的长度为【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，通过作辅助线构造全等三角形．。
易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)(解析版)
第05讲易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)目录【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 (1)【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 (5)【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (8)【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (14)【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 (19)【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的三边长分别为21x -，1x +，32x -，且21x -为腰长．求这个等腰三角形的周长．【答案】这个等腰三角形的周长为10．【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论．【详解】解：①当211x x -=+时，解得2x =，则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形，此时这个等腰三角形的周长为33410++=；②当2132x x -=-时，解1x =，则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）．综上所述，这个等腰三角形的周长为10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．【变式训练】+<，∵7721∴不能围成腰长为7cm的等腰三角形；综上：能围成有一边长为7cm的等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44︒或80︒或140︒．故答案为：44︒或80︒或140︒．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．5．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在ABC 中，20B ∠=︒，105A ∠=︒，点P 在ABC 的三边上运动，当PAC △为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】105︒或55︒或70︒【分析】作出图形，然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P 在AB 上时，AP AC =，顶角为105A ∠=︒，②∵20B ∠=︒，105A ∠=︒，∴1802010555C ︒︒︒︒∠=--=，如图2，点P 在BC 上时，若AC PC =，顶角为55C ∠=︒，如图3，若AC AP =，则顶角为180218025570CAP C ︒︒︒︒∠=-∠=-⨯=，综上所述，顶角为105︒或55︒或70︒．故答案为：105︒或55︒或70︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】题的关键，用了分类讨论思想．【变式训练】∵30PCB ∠=︒，∴∠BPC =90°，即PC ∴cos AP AC BAC =⋅∠当点P 在AB 的延长线上时，∵30PCB ∠=︒，∠PBC ∴∠CPB =30°，∴12AC AB ==∵30PCB ∠=︒∴∠APC =60°，∴∠ACP =60°，∴∠APC =∠PAC 【答案】2516或52或4，，，②当AE AD m ==时：如图，则：4CE BC BE m =-=-，在Rt ACE 中，22AE AC =+解得：258m =；③当时，如图：此时AE AB =，∵90ACB ∠=︒，∴4BC CE ==，【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】【答案】125或247或325【分析】先利用直角三角形的性质可得的取值范围为06t <≤，然后分BQP ∠得出答案．【详解】解： 在Rt ABC △中，C ∠212AB BC ∴==，=60B ∠︒，∴点P 从点A 运动到点B 所需时间为点Q 从点B 运动到点C 所需时间为BC 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，06t ∴<≤，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当90BQP ∠=︒时，BPQ V①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得2447t =<，符合题设；②当46t <≤时，312BP t =-，在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得245t =，符合题设；综上，t 的值是165或327或245，故答案为：125或247或325．【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出取值范围，并分情况讨论是解题关键．【变式训练】点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90BAD ∠=︒时，4090130ADC B BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；如图2，在ABC 中，AB AC =，若=40B C ∠∠=︒，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90ADB ∠=︒时，90ADC ∴∠=︒；如图3，在ABC 中，AB AC =，若40BAC ∠︒=，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90ADB ∠=︒时，90ADC ∴∠=︒；如图4，在ABC 中，AB AC =，若40BAC ∠︒=，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90BAD ∠=︒时，70B ACB ∴∠=∠=︒，9020ADC B ∴∠=︒-∠=︒；故答案为：130︒、90︒或20︒【答案】60︒或18︒【分析】分情况讨论：①当求解即可．【详解】解：如图所示，当∵AD 是ABC 的角平分线，∴30BAD ∠=︒，∴Rt ADF 中，60ADF ∠=如图，当90BDF ∠=︒时，同理可得30BAD DAC ∠=∠=∵78ACB ∠=︒，∴ADB DAC ACB ∠=∠+∠=∴ADF ADB BDF ∠=∠-∠=综上所述：ADF ∠的度数为【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∴904050ABC ∠=︒-︒=︒∵BD 平分ABC∠∴1252DBC ABC ∠=∠=︒当BDE △为直角三角形时，有以下两种情况：①当90BED ∠=︒时，如图1，∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒；②当90BDE ∠=︒时，如图2，【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：可设AD DC x ==∴2AB x =．1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒∵45ACD ∠=︒，∴顶角90A ∠=︒-如图2，三角形是钝角时，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135当30AB AD +=时，即230AD AD +=，10AD ∴=，24BC CD += ，24241014BC CD ∴=-=-=；综上，底边的长为22或14；故答案为：22或14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ∠=︒，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ∠=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD =CD 时，如图，∵BD =CD ，∠B =20°，∴∠B =∠DCB =20°，∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°，（1）当DA =DC 时，∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∠ADC =40°，∴∠A =∠ACD =70°；（2）当DA =AC 时，即有∠ADC =∠ACD =40°，∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°；（3）当CD =CA 时，∠A =∠ADC =40°；第二种请况：BC =CD 时，如图，∵∠B =20°，BC =CD ，∴∠B =∠BDC =20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．。
小专项(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题
小专项(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题 类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答等腰三角形边长旳问题时，当题目中旳条件没有指明旳这条边是腰长依旧底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类、假设涉及边旳长度，应运用三角形旳三边关系进行辨别取舍、1、(武汉中考)平面直角坐标系中，A(2，2)、B(4，0)、假设在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，那么满足条件旳点C 旳个数是(A )A 、5B 、6C 、7D 、82、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，那么符合条件旳点P 共有(B )A 、7个B 、6个C 、5个D 、4个3、假设实数x ，y 满足|x －5|＋y －10＝0，那么以x ，y 旳值为边长旳等腰三角形旳周长为25、 类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：关于等腰三角形，只要它旳一个内角旳度数，就能算出其他两个内角旳度数，假如题中没有确定那个内角是顶角依旧底角，就要分两种情况来讨论、在分类时要注意：三角形旳内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等、4、等腰三角形有一个角为52°，它旳一条腰上旳高与底边旳夹角为多少度？解：①假设旳那个角为顶角，那么底角旳度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上旳高与底边旳夹角为26°；②假设旳那个角为底角，那么一腰上旳高与底边旳夹角为38°.故所求旳一腰上旳高与底边旳夹角为26°或38°.5、假如等腰三角形中旳一个角是另一个角度数旳一半，求该等腰三角形各内角旳度数、解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形旳三个内角，且∠A ＝12∠B. 设∠A ＝x °，那么∠B ＝2x °.①假设∠B 是顶角，那么∠A ，∠C 是底角，因此有∠C ＝∠A ＝x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180.解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°；②假设∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ，∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180.解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.综上所述，等腰三角形旳各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：依照等腰三角形顶角旳大小能够将其分为锐角、直角或钝角三角形、不同旳三角形其高、中线、垂直平分线旳交点位置均不同，比如锐角三角形腰上旳高旳交点在那个三角形旳内部；直角三角形腰上旳高旳交点为两直角边旳交点；钝角三角形腰上旳高旳交点在那个三角形旳外部，因此在解答时需要分类讨论、6、△ABC 中，AB ＝AC ，AB 旳垂直平分线与AC 所在旳直线相交成50°旳角，求底角旳度数、解：由题意可推断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，那么∠A ＝40°，因此∠B ＝∠C ＝70°； ②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 旳反向延长线相交，且∠AED ＝50°，那么∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，因此∠B ＝∠C ＝20°.综上可知，等腰三角形旳底角为70°或20°.7、一个等腰三角形一边上旳高等于另一边旳一半，那么等腰三角形底角旳度数是多少？解：设∠A 为顶角，那么∠ABC 、∠ACB 为底角、(1)假设∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ，依照题意有BD ＝12AB ，∠BDA ＝90°， ∴∠A ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝75°；(2)假设∠A 为直角，依照题意“等腰三角形一边上旳高等于另一边旳一半”，这种情况无解；(3)假设∠A 为钝角，有三种情况：①如图2，作AD ⊥BC 于点D ，依照题意有AD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；②如图3，作BD ⊥CA 旳延长线于点D ，依照题意有BD ＝12BC ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；③如图4，作BD ⊥CA 旳延长线于点D ，依照题意有BD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝15°.综上所述，等腰三角形底角旳度数是75°、30°或15°.8、AC 为等腰△ABD 旳腰BD 上旳高，且∠CAB ＝60°.求那个三角形各内角旳度数、解：①如图1，高AC 在△ABD 旳内部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，因此∠B ＝30°.因为BA ＝BD ，因此∠BAD ＝∠D ＝75°；②如图2，高AC 在△ABD 旳外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，因此∠ABC ＝30°.因此∠ABD ＝150°.因为BA ＝BD ，因此∠BAD ＝∠D ＝15°；③如图3，高AC 在△ABD 旳外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，因此∠B ＝30°.因为DA ＝DB ，因此∠BAD ＝∠B ＝30°.因此∠ADB ＝120°.综上所述，那个三角形各内角旳度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.。
中考数学专题复习 5 等腰三角形中易漏解或多解的问题数学课件
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类型二：顶角与底角不明时需分类讨论 已知等腰三角形的一内角(nèi jiǎo)为70°，求其余两个内角.
解：由于没有明确(míngquè)该内角是等腰三角形顶角或底角，故需要分类讨论：
① 设该角为顶角，则底角为(180°－70°)÷2＝55°，此时其余两个内角均为55°； ② 设该角为底角，则顶角为180°－70°×2＝40°，此时其余两个内角分别为70°、40°.
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类型三：三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 已知等腰△ABC腰AB上的高CE与另一腰AC的夹角(jiā jiǎo)为30°，则其顶角的度数为
___________
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类型三：三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 已知等腰△ABC腰AB上的高CE与另一腰AC的夹角(jiā jiǎo)为30°，则其顶角的度数为 ___6_0_°或___1_2_0_° 解：由于三角形形状不确定，因此需要分情况 (qíngkuàng)讨论. ① 如图1，当该三角形为锐角三角形时，则高CE在△ABC内部，∠ACE＝30°， 则顶角(dǐnɡ jiǎo)∠A＝90°－30°＝60°； ② 如图2，当该三角形为钝角三角形时，则高CE在△ABC外部，∠ACE＝30°， 则顶角∠BAC＝90°＋30°＝120°.
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12/9/2021
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实际问题中的等腰三角形资料讲解
要注意喔！
在解等腰三角形的题目时, 经常会运用分类思想讨论, 以防止掉入数学“陷阱”!
C
Cห้องสมุดไป่ตู้
E
A
B
A
DB
例１ 在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交
BC边于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE.
1. DE⊥AB吗?
2. 若CE=1,则DE=___1__. DB=___1___. 即：CE=DE=DB
C
O
F
B C
O
F
B
1、如果等腰三角形的一个外角为100°， 则这个等腰三角形的顶角为 20°或80°。
（分类讨论）
2、如图，在三角形ABC中，BC=10，
AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ，
则AC长为 10 。
B
（转化思想）
D
C
A
3.一个顶角为40°的等腰三角形的纸片， 剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝ 220°或110 °
80°
A
BA B
50°
50°
B
1. 通过本堂课的探索,你有何收获?最想说的一 句话是什么？
2. 2. 反思一下你所获成功的经验, 与同学交流! 数 一学”3知. 识: “等边对等角” 、“等角对等边”及“三线合
(在同一个三角形)
•数学思想: 转化思想、分类思想！
•数学美学: 对称美.
在纸上画出4个点,要求任意三个点组成的 三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放? 就一种情况吗? (若画5个点呢? 请在课后完成!)
等腰直角△
以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC
①作AD⊥BC于D，必有结论:
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解得 ： ４或 ｘ ６ １ ＝．
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２ＯＯ９。 ９—１Ｏ
‘ ．
B D 上A C
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L ABD
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j
[ BAD [ A
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故[
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BA C
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为4 5 或 1 3 5
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例4
等腰 三 角 形
一
2 腰 上 的 高与 腰 长 之 比 为 l ： 则 等 腰 三
，
鱼 的j 垄
顶 角为 （
） ．
（ ）６ 。 ０ （ Ｄ）３ 。 １０ ０或 ５。
（ Ａ）３ ｏ ０ （ Ｃ）１０ ５。
解： 根据题 意 ， 画 出如 图 ３ 图 ４两种 图形 ． 可 、
Ａ
Ｄ
一
Ａ
， ， ，
一
、
Ｃ 曰
ｃ
图 ３
图 ４
易求 得 图 ３中顶 角为 ３ 。 图 ４中的顶 角 为 １０ ． （ ． ０， ５ 。 选 Ｄ）
园 ， ６ 导致多舞 西々 屙１ 铺
当２。 ０是顶 角时 ， 其余 两个 角是 底角 ， 是 １０一０ ）８。 则 都 １（８ 。２ 。＝０．
Ｚ
当２。 ０是底 角时 ， 其余 两 个 角分 别是 底角 和 顶角 ． 个 角分 别是 这两
２ ｏ １０ 一 ｘ ０ ： ４ ￣ Ｏ 和 ８ ￣ ２ ２ ｏ １０ ．
１ Ｏ
一
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如果 有
一
个 内 角是 12 0
。
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这 时 12 0 的 角 只 能 是 顶 角 则 其 余 两 F
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D
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一
图 2
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图 l
在图1 中
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BD 上A C
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L ABD
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45‘Βιβλιοθήκη 。=45。
．
；
在 图2 中
． ．
责任编辑：Ｅ 喜 ５－
亚
等腰 三 角形 是 一种 特殊 的三 角形 ， 也是 重 要 的 几何 图形 ． 由于它 的特 殊性 ， 与等 腰 三 角形 相 关 的题 往 往 会 出 现多 解 ， 归 纳 几类 ， 解 现
供你学 习 时参考 ．
一
．
角的不ｊ 奄
多彝
例 １ 若等 腰三 角形 有一 个 内角是 ２ 。 则 其余两 角是 多少 度 ？如 ０， 果 有一 个 内角是 １０ ， ２ 。 其余 两 角又 是多 少度 呢 ？ 解 ： 腰三 角形 有一 个 内角是 ２ 。需 分两 种情 况讨 论． 等 ０，
例 ５ 等腰 三 角形 底 边为 ｌｅ Ｏｍ，从 底 边 的一 个 端点 引 腰上 的 中 线 ， 此 三 角形 周 长 为 两部 分 ， 中一部 分 比另 一 部 分 长 ４ｍ， 该 分 其 ｃ 则
等 腰三角 形 的腰长 为
．
解： 根据题 意 ， 画 出如 图 ５ 图 ６两种 图形 ． 可 、
Ａ
Ａ
Ｃ
Ｃ
图 ５
图 ６
设Ａ ＝Ｃｘ则Ａ ＝Ｄ 睾． ＢＡ ＝， Ｄ ｃ＝
－ ． ．
（号一０ ） 或１专） ＋ ）． ）１号＝ （＋ 一 号＝ ＋ （＋ ４ ０ （ ４
该 等腰三 角形 的腰 长 为 １ｅ 或 ６ｍ 目 ４ｒ ａ ｃ．
… 。一 ～ “ 一 ；。＿ ’ 一 。