2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全
（平面向量）
一、选择题
1. （2016北京理）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】D
考
点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.
【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
2.（2016全国Ⅱ理）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，
=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D
【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.
考点： 平面向量的坐标运算、数量积.
【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：
结论 几何表示 坐标表示
模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 2
1
夹角
cos θ＝a·b |a||b|
cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21·x 22＋y 2
2
a ⊥
b 的充要条件
a·b ＝0
x 1x 2＋y 1y 2＝0
3.（2016全国Ⅲ文、理）已知向量13
(2BA = ,31(),2BC = 则ABC ∠=（ ）
(A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
【答案】A
考
点：向量夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a b
θ=
，
·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
4.（2016山东理）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=1
3
.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ）
（A ）4 （B ）–4 （C ）
94 （D ）–94
【答案】B
【解析】试题分析：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以
22221
()cos ,34(4)41603
n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=
所以4t =-，故选B.
考点：平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从
()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本
运算能力等.
5.（2016四川文、理）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA
=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2
BM 的最大值是 （A ）
434 （B ）49
4
（C ）37634+ （D ）37334+
【答案】B 【解析】
考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出
120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角
坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()
(2
2
2
1334
x y BM +++=
，因此可用
圆的性质得出最值．
6.（2016天津文、理）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连
接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）8
5- （B ）
8
1 （C ）
4
1 （D ）
811
【答案】B
【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a =
=-，33
()24
DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故
选B.
考点：向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；
二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
二、填空
1.（2016北京文）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30
考点：平面向量数量积
【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
2.（2016全国Ⅰ文）设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = _______ . 【答案】23
-
【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3
x x x ⋅=++=∴=-a b 考点：向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()
1122,,,x y x y ==a b ,则
1122
x y x y ⋅=+a b .
3. （2016江苏） 如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，
,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .
【答案】
7
8
【解析】因为2
2
2
2
436444AO BC FO BC BA CA --⋅=
==,2
2
414
FO BC
BF CF -⋅==-, 因此2
2513
,BC 82
FO ==，2
2
2
2
4167448EO BC FO BC BE CE --⋅=
==
考点：向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，
利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：22
44
AO BC
BA CA -⋅=
4.（2016全国Ⅰ理）设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2-
【解析】试题分析：由2
2
2
||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若
()()
1122,,,x y x y ==a b ,则
1122
x y x y ⋅=+a b .
5.（2016全国Ⅱ文）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-
【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.
【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.
6.（2016山东文）已知向量1,-()()16,-4a b ==，．若()
a ta
b ⊥+，则实数t 的值为________．
【答案】5-
【解析】试题分析：()()
()()6,4,6,41,12100ta b t t ta b a t t t +=+--+⋅=+--⋅-=+=，解得
5t =-
考点：平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从
()
a ta
b ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本
运算能力等.
7.（2016上海理）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则⋅的取值范围是 .
【答案】[0,1
【解析】试题分析：由题意得知21x y -=表示以原点为圆心，半径为1的上半圆. 设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+
所以π
cos [0,1sin 1)14
BP BA ααα⋅=+++∈++
⋅BP BA 的范围为[0,12]+.
考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.
【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到BA BP ⋅的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
8. （2016上海文） 如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21
y x 上一个动点，则OP BA
的取值范围是 .
【答案】[2]-
【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2)[2]4
OP BA αααπ
⋅=+=
+∈-.
考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.
【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA 的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
9．（2016浙江文）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2， a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______． 7
【解析】试题分析：由已知得,60a b <>=︒，不妨取(1,0)a =，(1,3)b =，设(cos ,sin )e αα=，则
cos cos 3a e b e ααα⋅+⋅=++cos cos 3ααα
≤++
2cos 3sin αα=，取等号时cos α与sin α同号．
所以2cos 3sin 2cos 3αααα+=+237
77
αα=
+ 7sin()αθ=+，（其中3
sin 77
θθ==
，取θ为锐角）． 7)7αθ+≤
易知当2
π
αθ+=
时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等
式中等号能同时取到．故所求最大值为7． 考点：平面向量的数量积和模.
【思路点睛】先设a ，b 和e 的坐标，再将a e b e ⋅+⋅转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得a e b e ⋅+⋅的最大值．
10.（2016浙江理） 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】
1
2
考点：平面向量的数量积．
【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2
2
26a b a b ++⋅≤的过程中，很容易忘记右边6进行平方而导致错误．。