天津市河西区第四十二中学2024届高三上学期第二次月考数学试题

A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知函数
f
(x)
=
ì x + 3 , x < 0,
í î
2
x2
-
6x
+
3,
x
³
0,
g (x)
=
kx
+1．若函数 h( x)
=
f
( x) -
g ( x) 的图象
试卷第21 页，共33 页
经过四个象限，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．
æ çè
-2,
1 3
ö ÷ø
B．(-10, -2)
平面 ABCD ^ 平面 ADEF，点 G、M 分别是线段 AD、BF 的中点．
(1)求证： AM / / 平面 BEG； (2)求直线 DM 与平面 BEG 所成角的正弦值； (3)求平面 BEG 与平面 ABCD 夹角的余弦值．
八、问答题
18．已知点
A ( 2, 0)
，椭圆 C
：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a > b > 0) 的离心率为
2 , F 和 B 分别是椭圆 2
C 的左焦点和上顶点，且△ABF 的面积为 3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； 试卷第41 页，共33 页
（Ⅱ）设过点
A
的直线
l
与
C
相交于
P
，Q
uur 两点，当 OP
uuur × OQ
=
1 3
时，求直线
l
的方程．
九、解答题
+
3
得
2x2
-
(6
+
k)
x
+
2
=
0
，
D = (6 + k)2 -16 = 0 ，解得 k = -2 或 k = -10 ，由图象知，切线 PN 的斜率为 -2 ，
(1)若 a = 3c,b =
2, cosB
=
2 3
c ，求
的值；
(2)若
sinA a
=
cosB 2b
，求
sin
æ çè
B
+
p 2
ö ÷ø
的值；
(3)若 A+ C = 2B ，且 sinAsinC = cos2B ，三角形的面积 S = 4 3 ，求边 b 的值.
七、证明题 17．如图所示，在三棱柱 ABF - DCE 中，侧面 ABCD 和 ADEF 都是边长为 2 的正方形，
【详解】对于选项 A，由面面平行的判定定理可知，a 不一定平行于 b ，故 A 错；
对于选项 B，根据线面平行的性质定理可知， m 不一定平行于 n ，故 B 错；
对于选项 C，由面面垂直的判定定理可知，a ^ b ，故 C 正确；
对于选项 D，根据线面垂直的判定定理知， m 不一定垂直于a ，故 D 错. 故选：C. 4．D
（Ⅱ）若 h ( x)≥1- m 恒成立，求实数 m 的值； （Ⅲ）若直线 y = g ( x) 是曲线 f ( x) = e2x 的一条切线.求证：对任意实数 a > b ，都有
h
(
a)
a
-
h b
(b)
≥
2e2b
-
2
.
试卷第51 页，共33 页
1．A
参考答案：
【分析】先求的 A ，再求 ðU A ，最后求解 (ðU A) I B 即可.
【分析】作出函数 f (x) 的图象，作出直线 y = kx +1，由图象知只要直线 y = kx +1与
y = f (x) 的图象在 y 轴左右两侧各有两个交点，则 h(x) = f (x) - g(x) 的图象就经过四个象限
答案第41 页，共22 页
（ x < 0 时， h(x) 的函数值有正有负， x > 0 时， h(x) 的函数值有正有负），因此求得直线
ÎZ
，因此减区间为
ép êë12
+
kp ,
7p 12
+
kp
ù úû
(k
Î Z) ，③正确；
令
2x
+
p 3
=
kp
,k
Î
Z
，解得
x
=
-
p 6
+
kp 2
,k
ÎZ
，此时
f
(
x)
=
1 ，故对称中心为
æ çè
-
p 6
+
kp 2
,1ö÷ø，k
ÎZ
，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是 2 个. 故选：B. 9．A
天津市河西区第四十二中学 2024 届高三上学期第二次月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．全集U = Z ，集合 A = {x∣- 2 < x < 2, x Î N}, B = {-1,0,1, 2} ，则 (ðU A) I B = （ ）
答案第21 页，共22 页
所以 27 = 3a ，a = 3 ，即 f ( x) = x3 ，
又点 B (t, 64) 在 f ( x) 的图象上，所以 64 = t3 ，则 t = 4 ，
所以 a = log0.1 4 < 0 ， 0 < b = 0.24 < 1 ， c = 40.1 > 1 ，
【详解】因为 A = {x∣- 2 < x < 2, x Î N} = {0,1} ，U = Z ，
故 ðU A = {x | x Î Z 且 x ¹ 0, x ¹ 1} ，则 (ðU A) I B = {-1, 2} .
故选：A. 2．C
【分析】由直线 l1
: mx
+ 3y
=
2-
m
与 l2
:
x
+
(m +
答案第11 页，共22 页
【分析】根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得.
【详解】因为 (1)a 2
=
3b
=
m ，于是得 a
=
log 1
2
m
=
- log2
m
，b
=
log3
m
，
又因为
1 a
-
1 b
=
2
，则有 -
logm
2
-
logm
3
=
2
，即 logm
6
=
-2
，因此，
m-2
= 1+ sin 2x +
3
cos
2
x
=
1
+
2 sin
æ çè
2x
+
p 3
ö ÷ø
.
T
=
2p 2
=p
,① 正确；
2x +
p 3
=
p 2
+ 2kp , k Î Z
时
f
( x )max
=
3 ，②错误；
令p 2
+
2kp
£
2x +
p 3
£
3p 2
+
2kp
,
k
Î
Z
,解得
p 12
+ kp
£
x
£
7p 12
+ kp , k
.
五、双空题
15．在△ABC
中，
AB
=
AC
=
3
，
uuur AD
=
uuur 4BD
，
uuur 2CE
=
uuur DA
，
uuur AE
×
uuur CD
=
-8
，则
cos ÐBAC =
，若动点
F
在线段
AC
上，则
uuur DF
×
uuur EF
的最小值为
.
六、解答题
试卷第31 页，共33 页
16．在 VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c .
D． 24p
8．对于函数 f (x) = (sin x + cos x)2 + 3 cos 2x ，有下列结论：①最小正周期为p ；②最
大值为
2；③减区间为
ép êë12
+
kp
,
7 12
p
+
kp
ù úû
(k
Î
Z
)
；④对称中心为
æ çè
-
p 6
+
kp
,
0
ö ÷ø
(k
Î
Z
)
．
则上述结论正确的个数是（ ）
函数值有正有负， x > 0 时， h(x) 的函数值有正有负），
x < 0 时，
f (x) =
x+3
与 x 轴的公共点为 M (-3,0) ， kPM
=
1- 0 0 - (-3)
=
1， 3
x > 0 时， f (x) = 2x2 - 6x + 3 ，
由
ì í î
y y
= =
kx +1 2x2 -
6x
(-1)n-1
4n an an +1
，求{cn} 的前 n
项和的最大值、最小值.
十、证明题
20．已知函数 f ( x) = e2x ， g ( x) = m (2x +1)(m ¹ 0) （ e 为自然对数的底数），
h(x) = f (x)- g(x). （Ⅰ）若 m = e ，求函数 h ( x) 的单调区间；
三、单空题
12．若椭圆
x2 m
+
y2 2
=
1
的离心率为
1 3
m ，则实数
的值等于
.
四、填空题
13．已知 a
>
b
>
0
，则
a
+
a
4 +
b
+
a
1 -
b
的最小值为
．
14．已知直线 l
过点
P (0,1) ，且与圆O
：
x2
+
y2
=
3 相交于
A, B
两点，设
uuur OC
=
uuur OA +
uuur OB
，
若点 C 在圆 O 上，则直线 l 的倾斜角为
=
6
，而
m
>
0
，解
得m =
6， 6
所以 m =
6. 6Βιβλιοθήκη 故选：D 5．A【分析】利用诱导公式化简得
f
(x)
=
x cos ex
x
,xÎR
，由此可得
f
( x)
为奇函数，故排除
C，D；再判断函数在
x
Î
(0,
π 2
)
时的正负情况即可得答案.
【详解】由
f
(x)
=
xsin
æ çè
π 2
ex
+
x
ö ÷ø
=
x cos ex
则（ ）
A． c<a<b
B． a < b < c
C． b < a < c
D． c < b < a
7．已知一个正三棱柱所有棱长均为 3，若该正三棱柱内接于半球体，即正三棱柱的上
底面的三个顶点在球面上，下底面的三个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体的体
积为（ ）
A． 32 3p
B．16 3p
C． 48p
=
3b
=
m ，且
1 a
-
1 b
=
m 2 ，则
=
（
）
A． 6
B． 1 6
C． 6
D． 6 6
5．函数
f
(x)
=
xsin
æ çè
π 2
ex
+
x
ö ÷ø
的图象大致为（
）
试卷第11 页，共33 页
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数 f ( x) 的图象经过点 A(3, 27) 与点 B (t, 64) ， a = log0.1 t ， b = 0.2t ， c = t0.1 ，
3．用 m 、 n 表示两条不同的直线，用a 、 b 表示两个不同的平面，则下列命题正确的
是（ ）
A．若 m ∥a ， m ∥ b ，则a ∥ b
B．若 m ∥a ， n Ì a ，则 m ∥ n
C．若 m ^ a ， m ∥ b ，则a ^ b
D．若 m ^ n ， n Ì a ，则 m ^ a
4．若 (1)a 2
PM 的斜率，再求得直线与 y = 2x2 - 6x + 3 相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论． 【详解】作出函数 f (x) 的图象，如图， 作出直线 y = kx +1，它过定点 P(0,1) ，由图可得，只要直线 y = kx +1与 y = f (x) 的图象在 y
轴左右两侧各有两个交点，则 h(x) = f (x) - g(x) 的图象就经过四个象限（ x < 0 时， h(x) 的
C． (-2, +¥)
D．
(
-¥,
-10
)
È
æ çè
1 3
,
+¥
ö ÷ø
二、填空题
10．已知 i
是虚数单位，复数
z
满足 1+ z 2i
=
-
1 1+
i
，则
z
=
．
11．已知直线 x - 3y + 8 = 0 和圆 x2 + y2 = r2 (r > 0) 相交于 A, B 两点．若| AB |= 6 ，则 r 的值为 ．
2) y
= 1 平行，可得
m 1
=
3 m+
2
且
m 1
¹
2
-m 1
，
解出即可判断出．
【详解】解：直线 l1 : mx + 3y = 2 - m 与 l2 : x + (m + 2) y = 1平行，
则
m 1
=
m
3 +
2
且
m 1
¹
2
-m 1
，解得
m
=
-3
，
因此“ m = -3 ”是“直线 l1 : mx + 3y = 2 - m 与 l2 : x + (m + 2) y = 1”平行的充要条件. 故选：C. 3．C 【分析】根据题意，结合线面（面面）平行（垂直）的判定定理和性质定理，分别判断即 可.
2 3
p
R3
=
16
3p .
故选：B 8．B
答案第31 页，共22 页
【分析】将 f ( x) = (sin x + cos x)2 + 3 cos 2x 化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对