中考总复习解直角三角形

解直角三角形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；
●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；
●掌握互为余角和同角三角函数间关系；
●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数
解直角三角形；
●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
复习策略：
●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形
的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．
二、学习与应用
知识点一：锐角三角函数
“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识考点梳理
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空
白处。

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知识框图
通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

（一）锐角三角函数：
在Rt△ABC中，∠C是直角，如图
（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；
（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；
（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
（二）同角三角函数关系：
（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系
sinA=cos（），cosA=sin（）．
（四）特殊角的三角函数值
（五）锐角三角函数的增减性
（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．
（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．
要点诠释：
∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，
tanA＞
知识点二：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．
（一）三边之间的关系：
a2+b2= （勾股定理）
（二）锐角之间的关系：
∠A+∠B= °
（三）边角之间的关系：
sinA= ，cosA= ，tanA=
要点诠释：
解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以
求出其余未知元素．
知识点三：解直角三角形的实际应用
（一）仰角和俯角：
在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线
在下方的是俯角．
（二）坡角和坡度：
坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比
叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．
（三）株距：
相邻两树间的．
（四）方位角与方向角：
从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．
从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方
向角．
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

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类型一：锐角三角函数
例1．在△ABC 中，∠C =90°．若sinA =1
2，则tanA = ．
考点：锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值．
解析：
例2．已知：cos α=2
3，则锐角α的取值范围是（ ）
A ．0°<α<30°
B ．45°<α<60°
C ．30°<α<45°
D ．60°<α<90°
考点：利用三角函数值确定角的取值范围．
解析：
例3．当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A ．tan θ>cos θ>sin θ
B ．sin θ>cos θ>tan θ
C ．tan θ>sin θ>cos θ
D ．cos θ>sin θ>tan θ
考点：同一锐角不同三角函数比较大小．
解析：
例4．Rt △ABC 中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的1
5，那么锐角A 的
各个三角函数值（ ）
A ．都缩小1
5 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．无法确定
考点：三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关．
解析：
例5．1-cos 234°-cos 256°=__________．
考点：（1） sin 2A +cos 2A =1；
（2）互余两角的三角函数关系sinA =cos （90°-A ）或cosA =sin （90°-A ）．
解析：
例6．方程2sin 2(sin 2)sin 120x x ααα-+++=有实数根，求锐角α的取值范围． 考点：锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值．
解析：
总结升华： 举一反三：
【变式1】已知α为锐角，下列结论正确的有（ ）
（1）sin cos 1αα+= （2）如果45α>︒，那么sin cos αα>
（3）如果1cos 2α>，那么60α<︒ （4）2
(sin 1)1sin αα-=-
A ．1个
B ． 2个
C ．3个
D ． 4个
思路点拨：利用三角函数的增减性和有界性即可求解．
解析：
【变式2】A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则sin 2A B
+等于（ ）
A ．cos 2C
B ．sin 2
C C ．cos C
D ．cos 2A B
+
考点：互余两角正余弦关系．
解析：
【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于x的方程()()
2
m x m x m
+--+=的两个根．且△ABC的周长为24．试求BC的长
6237
度．
考点：锐角三角函数概念的理解和运用．
解析：
类型二：解直角三角形
例7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA= ，cosA= ，tanA= ，tanB= ．
A
B C D
考点：解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值．
解析：
例8．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠．
（1）求证：AC =BD ； （2）若12
sin 1213C BC ==，，求AD
的长．
考点：利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形．
思路点拨：由于AD 是BC 边上的高，则有Rt AD B ∆和Rt ADC ∆，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解．
解析：
例9．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工．从
AC 上的一点B ，取145500A B D B D ∠=︒=，米，55D ∠=︒．要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）
A ．500sin 55︒米
B ．500cos55︒米
C ．500tan55︒米
D ．500
cos55︒米
思路点拨：在Rt BED ∆中可用三角函数求得DE 长．
解析：
总结升华： ． 举一反三：
【变式1】在△ABC 中，∠C =30°，∠BAC =105°，AD ⊥BC ，垂足为D ，AC =2cm ，
求BC 的长．
解析：
【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形．（1）∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=3；
（2）a=2，CD⊥AB于D，BD=3．
考点：解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值．
解析：
总结升华：
大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法．
【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长．
思路点拨：设法补成含60°的直角三角形再求解．
解析：
类型三：解直角三角形的实际应用
例10．已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC =10，AB=4，tan C=
1
3
，求梯形ABCD 的面积．
D C
B
A
考点：解直角三角形在实际中的应用．
思路点拨：过B作BE⊥CD于E，设BE=k，则结合tan C=
1
3
得CE=3k，又BC =10，利用勾股定理求k，从而可求梯形ABCD的面积．
解析：
例11．如图，在湖边高出水面5m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，
观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h．（精确到0．01m）
tan65°≈2．145
考点：利用三角形函数解实际问题．
思路点拨：通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题．解析：
☆例12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？（精确到1米，参考数据≈≈）
2 1.414,
3 1.732
思路点拨：如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题．
解析：
☆例13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地
面的距离（AB ）是1．7m ，看旗杆顶部M 的仰角为45；小红的眼睛与地面的距
离（CD ）是1．5m ，看旗杆顶部M 的仰角为30 ．两人相距28米且位于旗杆两
侧（点B N D ，，在同一条直线上）．
请求出旗杆MN 的高度．（参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，结果保留整数）
解析：
解法一：
解法二：
总结升华：
．举一反三：
【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．
考点：坡度的概念．
解析：
【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C 的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）
考点：方向角的应用．
解析：
【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南
OB ．台风中心从点B以40km/h 偏东45 方向的B点生成，测得1006km
的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60 方向继续移动．以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标
为 ；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点
A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．
侵袭该城要经过多长时间？
考点：利用三角函数解决实际问题．
解析：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们
巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）数形结合思想 从概念的引入到关系式的推导，以及直角三角形的解法和应用，都体现了数形结合的思想方法，例如在解直角三角形时，
x /km
y /km
北 东 A
O B C
60 45
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

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我们总是先画出图形，再结合图形分清已知元素和未知元素，最终使问题顺利得到解决．
（二）方程和函数思想
在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常利用方程和函数思想将几何问题转化为代数问题求解．
（三）化归与转化思想
利用三角函数的定义可以实现边与角的转化，利用互余角的三角函数关系可以实现正余弦的转化，利用同角的三角形函数关系可实现“异名“三角函数之间的转化，通过添加辅助线可以将非直角三角形转化为直角三角形，此外，在实际应用时，要首先把实际问题转化为数学模型，再借助直角三角形的知识求解．
（四）注意观察、分析、总结
在运用锐角三角函数解决问题时，应掌握定义，灵活地选择关系式，能用已知不用未知，能用乘法不用除法；在实际应用时，要首先把实际问题转化为数学模型，再借助直角三角形的知识求解，掌握各函数值之间的联系及互化．
知识点：解直角三角形
测评系统分数：
模拟考试系统分数：
如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID
：#cgcp0#248924做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

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我的收获
习题整理
题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题
好题
成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。

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错题
注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

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网○校○重○要○资○源
知识导学：中考总复习十：解直角三角形（ID ：#248924）
视听课堂：中考总复习：解直角三角形（ID ：#278373）
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对本知识的学案导学的使用率： □ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在
50%-80%左右）
□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）
学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________
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