高一数学等差数列中Sn与an间的重要关系及应用 新课标 人教版A

高一数学等差数列中Sn 与an 间的重要关系及应用

“设S n 、a n 分别是等差数列｛a n ｝的前n 和与通项，则它们之间有如下的重要关系：S n =（kn ）a n ，其中k 是非零实数，n 是正整数。”

我们知道，等差数列｛a n ｝的前n 和S n 、通项a n 分别有如下的表达式：

⑴ S n =na 1- n(n-1)2 d ，其可等价变形为S n = d 2 n 2 +(a 1-d 2

)n ，它是关于n 的二次函数且不含常数项，一般形式是：S n =An 2

+Bn ，其中A 、B 是非零待定系数；

⑵ a n = a 1 +（n-1）d ，其可等价变形为a n =dn+（a 1 -d ），它是关于n 的一次函数，一般形式是：a n =an+b ，其中a 、b 是非零待定系数；

通过对等差数列｛a n ｝前n 和S n 的一般形式S n =An 2+Bn 与其通项a n 的一般形式a n =an+b

的观察分析，不难得出S n 与a n 之间有这样的重要关系式：S n =（kn ）a n 。

S n 与a n 相互关系的应用举例：

例1有两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，其前n 和分别为S n 、 T n ，并且 n n T S =7n+2n+3 ,求:⑴ 55b a 的值；⑵11

5b a 的值 分析:由等差数列可知,其前n 项和是关于n 的二次函数且不含常数项；根据已知条件,两个等差数列前n 项和的比的结果是关于n 的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn ，于是，我们只要将其还原，即可得到两个等差数列的前n 项和，再对照

等差数列前n 项和的二次函数形式：S n = d 2 n 2 +(a 1-d 2

)n ，很快便可得到其首项、公差与通项，进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。 解：n n T S =7n+2n+3 ⇒n n T S =n n T S kn n kn n ⇒++)3(27）（=kn

kn kn kn 32722++，于是我们便得到两个等差数列{a n }{b n }的前n 项和分别是S n =7kn 2+2kn, T n =kn 2+3kn 。设等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的公差分别是d 1、d 2。根据等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数且不含常数项，即S n = d 2 n 2 +(a 1-d 2

)n ，于是相互对照比较便得： ①21d =7k 且a 1-21d =2k ，解之得 a 1=9k ，d 1=14k ，从而有a 5=65k ；②22d =k 且b 1-

22d =3k ，解之得 b 1=4k ，d 2=2k ， 从而有b 5=12k ， b 11=24k 。 因此，55b a =k k 1265=1265 ；115b a =k k 2465=24

65。 例2 已知等差数列{a n }的前项和S n 满足条件：S n =2n 2+3n ，

求此等差数列的通项a n

解: 根据等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数且不含常数项,即S n = d 2 n 2 +(a 1-d 2

)n,并结合已知条件等差数列{a n }的前项和S n =2n 2+3n 立有, d 2 =2且a 1-d 2

=3, 解之得 a 1=5，d=4，于是便得所求等差数列的通项a n =4n+1. 练习:

⒈ 有两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，其前n 和分别为S n 、 T n ， 并且 n n T S =5n+22n-1 ,求:⑴ 55b a 的值；⑵11

7b a 的值. ⒉ 已知等差数列{a n }的前项和S n 满足条件：S n =5n 2-2n ，

求此等差数列的通项a n