结构力学二5-超静定结构的内力与位移计算

X1=1
X2=1
M2
P
X3=1
M3
MP
另一解法
P X1 X2 X3
M1
13 31 0
2 P 3 P 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 32 2 33 3
i 1X1+ i 2X2+
… …
+ 1iXi+
+ i iXi+
… …
+ 1nXn+△1P=0
+ i nXn+△iP=0
…………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力 作用下的位移，可以用计算位移的方法计算。对于平面结构 ，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。
力法的计算步骤和示例 1. 示例 n=2(二次超静定) 选择基本结构如图示 C
3. 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知 力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移 ，应与原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数( 主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 其自身方向上的位移，其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为 正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi 方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
=0.172P
各杆内力按式 叠加求得。 例如
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ =－0.586P
-1/2
P 3
2

0
1
4
P 对称 2
NP
0

2 P 2
+P/2
P 3

+0.172P 1
4
对称
2
P
N
0
+0.414P
例. 力法解图示结构，作M图
P M EI
3Pl / 32
l/2
l/2 P
q
l
l
l
X1
X2
X1
X2
MP
M1 M2
(1) worst (2) better
X1
X2
(3) best
例. 选择恰当的基本结构，作弯矩图
解：
q EI l EI l
11X1 1P 0
4l 11 3EI
X1
1P
1P
ql 3 24 EI
1
X1 1
X1
11
ql 2 32 EI
??
解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构， 以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构 变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后 再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，
这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结
例. 力法解图示结构
P P X1 X2
X3
M1
1 0 2 0 0 3 11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3 P
§5—1 概 述 1. 静定结构与超静定结构 静定结构： 全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。 HA A VA P B RB
超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。 A HA VA RB B P C RC P

外力超静定问题
内力超静定问题
2 .超静定结构在几何组成上的特征 几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
A
B
X1
P
C

X1 ↙ X 2 ↙
↗
↗
此超静定结构有一个多余联 系，即有一个多余未知力。
P 此超静定结构有二个多余联 系，即有二个多余未知力。
多余联系： 这些联系仅就保持结构的几何不变性来说， 是不必要的。
多余联系中产生的力称为多余未知力（也 多余未知力： 称赘余力）。 多余联系与多余未知力的选择。
X1=1 X2=1
M2
X3=1
P
M3 MP
例. 力法解图示结构 EA=常数.
-P/2
2/2
X1
解: 1 0
11X1 1P 0
11
1P
N1 N1l a 4(1 2 ) EA EA NN l Pa 1 P 2(1 2 ) EA EA
P P/2
例：
(a)
(b)
框格数c = 2
单铰数h = 2
框格数c = 4 单铰数h = 6
n = 3×2-2 = 4
n = 3× 4- 6 = 6
例：
n=2
X1 X2
X1
X2
X3
X4
n=4
n=3
X1 X3 X2
X1
X3 X4
n = 3×6-10=8
X2
思考：
是否可将支座A处的水平链杆作为多余约束？
X1
（ 2 ）撤去两杆间的一个单铰或撤去一个铰 支座，等于去除两个约束。
（3）撤去一个固定端或切断一根梁式杆， 等于去除三个约束。
由此得出一般性结论：每一个封闭框格为超静定3次。
(4)在梁式杆的某一截面插入一个单铰，等于去 除一个约束。
将复铰结点A 拆开，在刚结点B 处插入一个单 铰并切断一个链杆，复铰 A 相当于两个单铰的作用， 共去除六个约束，即n = 6。
§5—1 概 述 力 法 用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。 1.超静定次数： 多余联系或多余未知力的个数。 2.确定超静定次数的方法: 采用解除多余联系的方法. 解除多余联系的方式通常有 以下几种： （1）去掉或切断一根链杆，相当 于去掉一个联系。 （2）拆开一个单铰，相当于去掉 两个联系。 → X1 ↑
构的内力和位移的计算问题。
力法的典型方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 P P 1. 三次超静定问题的力法方程 → → 首先选取基本结构（见图b） 基本结构的位移条件为： 原结构 基本结构 △1=0 △2=0 A B X1 A X2 B △3=0 → （a） （b） ↑ X 3 设当 和荷载 P 分别作用在结构上时， 沿X 方向： 、 、 和△ ； 沿X2方向：21、22、23和△2P ； 沿X3方向：31、32、33和△3P 。 据叠加原理，上述位移条件可写成 △1=11X1 +12X2+13X3 +△1P=0 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0 A点的位移
3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱； （4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。 4. 超静定结构的解法 求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件； （2）几何条件； （3）物理条件。
⑶
⑷
⑸
具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。
P -P/2 a
2/2
X1 P / 2
P/2 a 0 0 P P
2P
X1 1
1 0 1
2 2
1 1
N N1 X 1 N P
X1
0
P
P 变形条件仍为 : N P 1 0 对吗?
X1 X1
1
N1
1
X 1a EA
例 选择恰当的基本结构，作弯矩图（基本结构的 选择直 接影响解题过程的繁简） EA=常数
33≠0(因X3的解唯一) 按式 故 X3=0 解得 各杆EA相同。 解： n=1(一次超静定)。 选择基本结构如图示。 写出力法典型方程 11X1+△1P=0 按下列公式计算系数和自由项
P 3 0 1
P
4
2a
P X1 3 0 1
2a
P 4
1 11 12
13
1P
11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出n个方程
11X1+ 12X2+
1 a2 a a3 = 2EI1 2 4EI1
a
M1图
a
a
M 2图
将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得
a P
Pa 2
C 3/88×Pa
B
M P图 P
15/88×Pa A
13/88×Pa M图
最后内力图的绘制用叠加法 解联立方程得 例如 MAC= a . 4P + a( 3P ) 88 11 多余未知力求得后其余反力、内力 的计算便是静定问题。
M1
M M1 X 1 M P
MP
1 2 ql 8
ql 2 32
M
7 ql 2 64
例. 选择恰当的基本结构，作弯矩图
q
解： EI l E Il
11X 1 1P 0
ql 4 4l 1P 11 8EI 3EI 1P 3ql X1 11 16
EI l X1
M1
l/2
P
X1=1
Pl / 4
P X1
另一解法 解:
1 0
11X1 1P 0
M1
1
11 2l / 3EI
X1=1 P
1P
1 1 Pl 1 Pl 2 l EI 2 4 2 16 EI
MP
X1 3Pl / 32
Pl / 4
M M1 X1 M P
X1
←→↑ →
X1
X2
5
3. 在刚结点处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。 4. 将刚结点改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。
X2 X2 X1← ↑ → X1 →X
3
X1
X1
应用上述解除多余联 系(约束)的方法，不难确 定任何超静定结构的超静 定次数。
在超静定结构上去除多余约束，常有以下几 种基本方式： （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于去除一个 约束。
a 2
力法典型方程为： 11X1 + 12X2+△1P=0 (a) 21X1 + 22X2+△2P=0 计算系数和常数项，为 此作
计算结果如下

P
a 2
I2=2I1
I1 原 a
B
C P A
B X 1 X2 基
A
X1 1 a M1图
a
a
M 2图
X2 1

a
3 1 a2 2a a = 2EI1 2 3 6EI1
2
基本结构
为此，求出基本结构的
列表计算后得:
和NP值
2 2 3 4 N1 0 2 2 1 对称
X1=1
-1/2
)a EA11=(3+ EA△1P=－Pa

2 P 2
P0 3 1
P
4 2
NP
0
对称
+P/2
a
2 2
代入典型方程，解得
N1
2 2
0
3

1
X1=1
4 对称
2 2
Pa 2
2 、力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。
（3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方 程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
例 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。 解： n=3 a P b 选取简支梁为基本结构 A B L 典型方程为
作基本结构各 和MP图 由于 3=0,故
X1 1
M1图
1 X2 1
M 2图
M 3图

P
Pab L
Pab L2
2
M图

X
13= 31= 23= 32= △3P=0
33 3
3
1 则典型方程第三式为
M P图
Pa 2 b L2
代入典型方程 (消去公因子)得 代入典型方程解得 X =0
X1
1
P 基本结构
X
Lb 3L
X2
3
11 X X +1 +12 X X +2 +13 △ X =0 △1P=0 11 1 12 2 1P 3+ 21 X X +1 +22 X X +2 +23 △ X =0 △2P=0 21 1 22 2 2P 3+ 31X由图乘法求得 1+ 32X2+ 33X3+△3P=0