黑龙江省大庆市实验中学实验一部2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案解析)

B． 3, 2
C．3, 2
D． , 3 2,
2．命题“ x R ， x 1 0 ”的否定是（ ）
A． x R ， x 1 0
B． x R ， x 1 0
C． x R ， x 1 0
D． x R ， x 1 0
3．函数
f
x
lnx
3 x2
的零点所在的区间是（
）
A． 1, 2
B． 2, e
黑龙江省大庆市实验中学实验一部 2023-2024 学年高一上学 期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x x 2 ， B x x 3 ，则 ðR A B （ ）
A． R
B．4, 20, 2
C． 2, 0
D． , 42,
8．已知函数 g x 为偶函数， h x 为奇函数，且满足 g x h x 2x .若对任意的
x
1,
1 2
，均有不等式
mg
x
2
h
x
2
0
恒成立，则实数
m
的最大值为（
）
A．1
B． 0
C． 9 10
D． 2 6
试卷第 1页，共 4页
二、多选题
C．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的 3 倍，
公寓采光效果一定会变差
D．若窗户面积和地板面积都增加原来的 a% ，其中 a 0，公寓采光效果不变
11．设正实数 x ， y 满足 2x y 1，则（ ）
A． xy 的最大值为 1 8
B．
2 x
1 y
的最小值为
9
C． 4x2 y2 的最小值为 1
答案第 3页，共 14页
所以，函数
f
x
在1, 0
上单调递减，在
0,
1 2
上单调递增，
所以， f x f 0 2 ， min
又因为
f
1
5 2
，
f
1 2
2
2 2
3 2 ，则 2
f
x
max
5 2
，
令t
2x
2 x
，则 t
2,
5 2
，则
2x
2x
2x
4 2x
t
4 t
，
因为函数
y
t
、
y
ln
1
ln 1 9 x2 3 x 4 ln 1 9 x2 3 x ln 1 9 x2 3 x 4
19x2 3x
4 .
f
lg
1 4
f
lg 4
f
lg 4
f
lg 4 4
.
故选：A.
6．A
【分析】由 f 2 8 求出 的值，再令 t x 1 0 ，将 g x 用含 t 的二次函数表示，结合
是“同象函数”，故 A 正确；
对于
B，函数
gx
1 x
，x 1, ，所以函数
g x 0,1 ，与
三、填空题
13．函数
f
(x)
ln(4 x) x3
的定义域为
．
14．已知 g x 为 R 上的偶函数，当 x 0 时， g x x2 log2 x ，则 g 2
．
试卷第 2页，共 4页
15．已知函数
f
x
满足
f
2
x
f
2
x
8 ，函数
g x
4x 1 x2
．且
f
x
与
g
x的
图象交点为
x ,y 11
【详解】因为 g x 为偶函数， h x 为奇函数，且 g x h x 2x ①，
所以， g x h x g x h x 2x ②，
①②两式联立可得 g x 2x 2x ， h x 2x 2x .
2
2
由 mg x 2 h x 2 0 可得 m
2x 2x 2
t 2
t
1 2
2
9 4
9， 4
当且仅当
t
1 2
时，等号成立，故函数
g
x
的值域为
,
9 4
.
故选：A.
7．B
【分析】由偶函数，得 2b 3 ，函数 f x 在0,3 上单调递增，由 f x 1 f 1 ，得
f
x1
f
1
，得
x 1 3
1 x1
3
，即可求解.
【详解】解：因为函数 f x 是定义在区间3, 2b 上的偶函数，
4x 4x 2 0 ， 2
可得
m
4x 2x
4x 2x
2
2x 2x 2 2x 2x
4
2x
2 x
2x
4 2x
，
令
f
x
2x
2x
，其中
x
1,
1 2
，
任取
x 1
、
x2
1,
1 2
且 x1
x2
，则 2x1
2x2
0，
所以， f
x1 f
x2 2x1 2 x1
2x2 2 x2
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合 ðR A B .
【详解】因为合 A x x 2 ， B x x 3 ，则 A B , 3 2, ，
因此， ðR A B 3, 2 .
故选：C. 2．B 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“ x R ， x 1 0 ”为存在量词命题，该命题的否定为“ x R ， x 1 0 ”. 故选：B. 3．B
(2)试判断函数 f x 的单调性并用单调性的定义证明；
(3)若对任意的 t 1, 2 ，不等式 f log2t 2 log2
2t 2
f
k
0
恒成立，求实数
k
的取
值范围．
22．若函数 f x 与区间 D 同时满足：①区间 D 为 f x 的定义域
得 4 x 2，或0 x 2，
则则不等式 f x 1 f 1 的解集是：4, 20, 2 .
故选：B.
8．C
【分析】由题意得出 g x 、 h x 的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得
m
2x
2x
2x
4 2x
转化为求函数的最值，求出函数
y
2x
2x
2x
4 2x
的最大值即可.
D． g x x3 ， x 1, 0
10．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应
不小于 10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（ ）
A．当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为 220m2 时，这所公寓的窗户面积至少
应该为 20m2
B．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
范围．
20．已知函数 f x 2x1 ， g x x x 2a
(1)解不等式 f x 4x ；
(2)对任意 x1 1, ，总存在 x2 2, ，使得 f x1 g x2 成立，求实数 a 的取值
范围
21．已知函数
f
x
3x b a 3x 3
是定义在
R
上的奇函数．
(1)求实数 a ， b 的值：
所以，函数
f
x
lnx
3 x2
的零点所在的区间是 2, e .
故选：B.
4．D
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】设 g(x) x 2 ax 1 ，
则要使 f x ln x2 ax 1 在区间3, 上单调递增，
由复合函数单调性可得：
a a 3
a 6
满足
g
2x1 2x2
1 2x1
1 2x2
2x1 2x2
2x21 x1
2x2
x2
2x1 2x2 2x1 x2 1 2x1 x2
，
当 1 x2 x1 0 时，则 x1 x2 0 ，则 0 2x1x2 1，则 f x1 f x2 ，
当 0 x2 x1 1 时，则 x1 x2 0 ，则 2x1x2 1，则 f x1 f x2 ，
D．4
6．若幂函数 f x x 的图象过点 2,8 ，则 g x x x 1 的值域为（ ）
A．
,
9 4
B．2,
C．
9 4
,
D． , 2
7．已知函数 f x 是定义在区间3, 2b 上的偶函数，且在2b, 0 上单调递减，则不等
式 f x 1 f 1 的解集是（ ）
A． , 20,
【分析】分析函数 f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数
y
ln
x
、
y
3 x2
在 0,
上均为增函数，
所以，函数
f
x
lnx
3 x2
在 0,
上为增函数，
因为 e3
20
16 ，则 ln e3
ln16
，即
4 ln
2
3
，可得 ln
2
3 4
，
f
2
ln 2
3 4
0
，
f
e
1
3 e2
0，
所以 2b 3 ，
答案第 2页，共 14页
又函数 f x 在2b,0 上单调递减，即函数 f x 在3, 0 上单调递减， 得函数 f x 在0,3 上单调递增， 由 f x 1 f 1 ，得 f x 1 f 1 ，
x 1 1
x 1 1,或x 1 1
得 3 x 1 3，得 4 x 2
log 1
2
x x
1 1
是区间
2,
3
上的有界函数，求函数
g
x
在区间
2,
3
上的
所有上界 M 构成的集合；
(3)对实数 m 进行讨论，探究函数
f
x
2 m 3x 1 m 3x
在区间0,1 上是否存在上界 M
？若存
在，求出 M 的取值范围；若不存在，请说明理由．
试卷第 4页，共 4页
1．C
参考答案：
C． e,3
D． 3, 4
4．若函数 f x ln x2 ax 1 在区间3, 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ,6
B．
10 3
,
C．
10 3
,
6
D．
,
10 3
5．已知 f x ln
1 9x2 3x
2
，则
f
lg
1 4
f
lg4
（
）
A． 4
B． 2
C．0
D． 2x y 的最大值是 2
12．已知函数
f
x
x2 4x, x 0
ln
x
1
3,
x
，函数 0
g x
f
f
x m ，则下列结论正确
的是（ ）
A．存在 m R ，使得 g x 没有零点
B．若 m 4 ，则 g x 有 3 个零点
C．若 m 3 ，则 g x 有 6 个零点
D．若 g x 有 5 个零点，则 m 的取值范围为 0,3 3, 4
4 t
在 2,
5 2
上均为增函数，则
ymax
5 2
4
2 5
9 10
，
故 m 9 ，即 m 9 ，故 m 的最大值为 9 .
10
10
10
故选：C.
9．AD
【分析】求出 f x 的值域，根据“同象函数”的定义逐项判断可得答案.
【详解】函数 f x x x 0,1 的值域为0,1，
对于 A，函数 g x x2 ，x 1,1 ，所以 g x0,1 ，与 f x 的值域一样，所以 f x 与 g x
存在常数 M 0 ，使得 f x M 成立，则称 f x 是区间 D 上的有界函数，其中 M 称为
函数 f x 的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证
明）
(1)试判断函数
f1 x
9x
23x
，
f2
x
x2
2x 2x
3
是否是 R
上的有界函数；（直接写结
论）
(2)已知函数 g x
9．若函数 f x 与 g x 的值域相同，但定义域不同，则称 f x 与 g x 是“同象函数”，
已知函数 f x x ， x 0,1 ，则下列函数中与 f x 是“同象函数”的有（ ）
A． g x x2 ， x 1,1 C． g x ex ， x ,0
B．
g
x
1 x
，
x
1,
二次函数的基本性质可求得函数 g x 的值域.
【详解】由题意可得 f 2 2 8 ，可得 3，则 g x 3 x x 1 ，
令 t x 1 0 ，可得 x t2 1，则 g x 3 t2 1 t t2 t 2 ，
令
y t2 t 2，其中 t
0 ，则
y
t2
18．已知函数 f x a 1 x2 ax 1， a R ．
(1)若不等式
f
x
0
的解集为
1 3
,1
，求实数
a
的值：
(2)当 a 1 时，解关于 x 的不等式 f x 0 ．
19．已知函数
f
x
log3
3 x
log
3
x 27
．
(1)求函数 f x 的最大值；
(2)若关于 x 的不等式 f x 5 a a 对于任意的 x 0, 恒成立，求正实数 a 的取值
，
x 2
,y
2
，…， x8, y8 ，则 x1 x2 x8 y1 y2 y8
．
16．已知函数
f
x
2ax 1, x 1
x
2
2ax,
x
1
的值域为
R
，则实数 a
的取值范围为
．
四、解答题
17．已知全集U
R
，集合
A
x
1 x
1
，集合 B
x
1
x
2 ．
(1)求集合 A B ；
(2)若集合 C x a x a 1 ，且 C B ，求实数 a 的取值范围．
2
3
2 10
3a
0
，即
a
10 3
，
得 a 10 ， 3
答案第 1页，共 14页
即实数
a
的取值范围是
,
10 3
.
故选：D
5．A
【分析】根据题意先求
f
x
f
x
的值，然后再求
f
lg
1 4
f
lg 4
的值.
【详解】因为 f x ln 1 9x 2 3x 2 ， x R ，
所以 f x f x ln 1 9x 2 3x 2 ln 1 9x 2 3x 2