2020高中数学 第1章 计数原理 1.2.2 组合(第2课时)组合的综合应用讲义

第2课时组合的综合应用
学习目标：1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题．(重点)2。

能解决无限制条件的组合问题。

3.掌握解决组合问题的常见的方法．（难点）
教材整理组合的实际应用
阅读教材P19~P21，完成下列问题．
1．组合与排列的异同点
共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素．
不同点：排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关．
2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤
(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．
（2）方法:选择利用直接法还是间接法解题．
(3）计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算．
(4）结论：根据计算结果写出方案个数．
1．把三张游园票分给10个人中的3人,分法有________
种．
【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C310＝错误!＝120（种）．
【答案】120
2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有________
种．
【解析】甲选修2门，有C错误!＝6（种）不同方案．
乙选修3门，有C错误!＝4(种)不同选修方案．
丙选修3门，有C错误!＝4(种)不同选修方案．
由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．【答案】96
3．从0，1，错误!,错误!，错误!，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝x tan α＋b的倾斜角和截距，可组成______条平行于x 轴的直线．
【解析】要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可．故有C错误!＝5条满足条件．
【答案】5
4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．
【解析】每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人,甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝112种分配方案．
【答案】112
无限制条件的组合问题
【例1】在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法?
(1）任意选5人；
(2）甲、乙、丙三人必须参加；
（3）甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据
题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．
【解】(1）从中任选5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．
（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人,是组合问题，共有C错误!＝36种不同的选法．
(3）甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人，共有C错误!＝126种不同的选法．
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步:先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法;再从另外9人中选4人，有C错误!种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．
解答简单的组合问题的思考方法
1．弄清要做的这件事是什么事．
2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．3．结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果．
1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
【解】(1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C错误!＝错误!＝45。

（2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C错误!种方法;第2类,选出的2 名是女教师有C错误!种方法，即共有C错误!＋C 2
＝21（种）选法．
4
有限制条件的组合问题
【例2】高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种?
（2）其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种?
（3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4）至少有2名女生在内，不同的选法有多少种?
（5）至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类,弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．【解】(1）从余下的34名学生中选取2名，
有C错误!＝561（种)．
∴不同的选法有561种．
（2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．
或者C错误!－C错误!＝C错误!＝5 984种．
∴不同的选法有5 984种．
(3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名,有C错误! C215＝2 100种．
∴不同的选法有2 100种．
（4）选取2名女生有C错误!C错误!种，选取3名女生有C错误!种，共有选取方法N＝C错误!C错误!＋C错误!＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的选法有2 555种．
（5）选取3名的总数有C错误!，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C错误!－C错误!＝6 545－455＝6 090种．
∴不同的选法有6 090种．
常见的限制条件及解题方法
1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
2．含有“至多"“至少"等限制语句：要分清限制语句中所包含
的情况，可以此作为分类依据,或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
2．“抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
（3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【解】（1）分步：首先从4名外科专家中任选2名,有C错误!种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C错误!·C错误!＝90(种)抽调方法．
（2)“至少"的含义是不低于,有两种解答方法．
法一：(直接法）
按选取的外科专家的人数分类:
①选2名外科专家，共有C错误!·C错误!种选法；
②选3名外科专家,共有C错误!·C错误!种选法；
③选4名外科专家,共有C错误!·C错误!种选法．
根据分类加法计数原理，共有C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C
错误!·C错误!＝185(种)抽调方法．
法二:(间接法）
不考虑是否有外科专家,共有C错误!种选法，考虑选取1名外科专家参加,有C错误!·C错误!种选法；没有外科专家参加，有C错误!种选法,所以共有:C错误!－C错误!·C错误!－C错误!＝185（种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有"“有1名"“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C错误!种选法；
②有1名外科专家参加，有C错误!·C错误!种选法；
③有2名外科专家参加，有C错误!·C错误!种选法．
所以共有C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＝115（种)抽调方法。

组合在几何中的应用
【例3】平面内有12个点,其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形？
【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1
个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．
【解】法一:以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C错误! C18＝48个不同的三角形;
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C1，4 C2，8＝112个不同的三角形;
第3类:共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C错误!＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216（个)．
法二（间接法）：从12个点中任意取3个点，有C错误!＝220种取法,而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C错误!＝4种．
故这12个点能构成三角形的个数为C错误!－C错误!＝216个．
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
3．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法?
【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点,从中取出3点必与点A共面，共有3C错误!种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面,共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C错误!＋3＝33种.
排列、组合的综合应用
［探究问题］
1．从集合｛1,2，3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果?完成的“这件事"指的是什么?
【提示】共有C错误!＝错误!＝6(个）不同结果．
完成的“这件事”是指：从集合｛1，2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．
2．从集合｛1，2，3,4}中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题,还是组合问题?完成的“这件事”指的是什么？
【提示】共有A错误!－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指:从集合{1,2，3，4｝中任取两个不同元素并相除．
3．完成“从集合｛0，1，2,3,4｝中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果?
【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数。

0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C错误!C错误!C错误!＝18(种）不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A错误!＋C错误!C错误!C错误!＝30(种）不同的结果．【例4】有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数：
(1）有女生但人数必须少于男生；
（2)某女生一定担任语文课代表；
（3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【精彩点拨】（1)按选中女生的人数多少分类选取．
(2)采用先选后排的方法．(3）先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．（4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生"课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表．
【解】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C3，5C错误!＋C错误!C错误!种，后排有A错误!种，
共(C错误!C错误!＋C错误!C错误!)·A错误!＝5 400种．
（2）除去该女生后,先选后排，有C错误!·A错误!＝840种．
（3）先选后排,但先安排该男生，有C错误!·C错误!·A错误!＝3 360种．
(4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C1，3种，其余3人全排有A33种,共C错误!·C错误!·A错误!＝360种．
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．
2．按元素的性质进行分类．
解决时通常从以下三个途径考虑：
（1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数．
4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720
【解析】分两类:第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C1，2 C35A44＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A44－A2，2A错误!)＝10×（24
－12)＝120种选法．
所以共有480＋120＝600种选法．
【答案】C
1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有（）
A．72种B．84种
C．120种D．168种
【解析】需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C310＝120（种)．故选C。

【答案】C
2．编号为1,2，3,4,5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有( ）
A．60种B．20种
C．10种D．8种
【解析】四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C错误!＝10。

【答案】C
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
【解析】有C错误!·C错误!·A错误!＝36种满足题意的分配方案．其中C错误!表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数;C错误!表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A错误!表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．
【答案】36
4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0，1,2， (5)
与平行直线y＝n(n＝0,1，2,…,5）组成的图形中,矩形共有________个．
【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形
总数为C错误!×C错误!＝15×15＝225个．
【答案】225
5．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．
【解】法一：设A，B代表两名老师傅．
A，B都不在内的选派方法有：C错误!·C错误!＝5(种)；
A,B都在内且当钳工的选派方法有：
C错误!·C错误!·C错误!＝10（种）；
A，B都在内且当车工的选派方法有：
C错误!·C错误!·C错误!＝30（种）;
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：
C错误!·A错误!·C错误!·C错误!＝80(种）;
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：
C1，2·C错误!·C错误!＝20（种）；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有:
C1，2·C错误!·C错误!＝40(种）．
所以共有C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C
错误!＋C错误!·A错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C 错误!·C错误!＝185（种）选派方法．
法二：5名钳工有4名被选上的方法有:
C45·C错误!＝75（种）；
5名钳工有3名被选上的方法有：
C35·C错误!·C错误!＝100(种)；
5名钳工有2名被选上的方法有：C错误!·C错误!·C错误!＝10（种）．所以一共有75＋100＋10＝185（种)选派方法．。