高中数学 2.4向量的数量积(三)教案 苏教版必修4

第 11 课时：§ 2.4 向量的数量积（三）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.掌握数量积的坐标表达式，并会简单应用；
2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
3.揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 能用所学知识解决有关综合问题.
二、过程与方法
1.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。

2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.
三、情感、态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.
【教学重点与难点】：
重点：数量积的坐标表达式及其简单应用
难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.
【学法与教学用具】：
1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.两平面向量垂直条件；
2.两向量共线的坐标表示
3.x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=． 二、研探新知
1．向量数量积的坐标表示：
设1122(,),(,)a x y b x y == ，设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试用a
和b 的坐标表示a b ⋅，则1122,a x i y j b x i y j =+=+，
∴22
112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+ 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i
从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即a b ⋅2121y y x x +=
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
（1）长度：设(,)a x y =，则22222||||a x y a x y =+⇒=+
（2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则212212)()(||y y x x AB -+-=−→−；
（3）夹角：12
cos ||||a b a b x θ⋅==⋅+；（πθ≤≤0）
（4）垂直的充要条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a ⊥⇔02121=+y y x x
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b ⋅．
解：5(6)(7)(4)30282a b ⋅=⨯-+-⨯-=-+=-．
例2（教材79P 例2）已知1122(,),(,)a x y b x y ==，求（3a -b ）·（a -2b ）
例3 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。

说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。

例4 如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=， 求点B 和向量−→−AB 的坐标。

解：设(,)B x y ，则),(y x OB =−→−，)2,5(--=−→−y x AB ，
∵⊥−→−OB −→−AB ， ∴(5)(2)0x x y y -+-=，即：22520x y x y +--=， 又∵||−→−OB =||−→−AB ，∴2222
(5)(2)x y x y +=-+-， 即：10429x y +=， 由22
52010429x y x y x y ⎧+--=⇒⎨+=⎩117232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22327
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴73(,)22B -，)27,23(--=−→−AB 或37(,)22
B ，)23,27(-=−→−AB ． 例5 在Rt AB
C ∆中，)3,2(=−→−AB ，),1(k AC =−→
−，求k 值。

四、巩固深化，反馈矫正
1.已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，0αβπ<<<，（1）求证：()()a b a b +⊥- （2）若ka b +与a kb -的模相等，且0k ≠，求βα-的值。

2.已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求y x ,的值使(x a +y b )⊥a ，且|x a +y b |=1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b =(3x +4y ,4x +3y )，又（x a +y b ）⊥a ⇔(x a +y b )·a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0，即25x +24y ＝０ ①
又|x a +y b |=1⇔|x a +y b 2|＝１⇔（３x +4y 2)＋（４x +3y 2)＝１
整理得：25x 2＋48x y +25y 2＝１即x (25x +24y )+24x y +25y 2＝１ ②
由①②有24x y +25y 2＝１③ 将①变形代入③可得：y =±7
5 再代回①得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和 五、归纳整理，整体认识
1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件，复习向量平行的坐标表示的条件．
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式；
六、承上启下，留下悬念
【思考】：1.什么是方向向量？2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？
七、板书设计（略）
八、课后记：。