2020届云南省玉溪一中高三上学期第四次月考 数学文

玉溪一中2020届高三第四次月考
文科数学 试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合}03
1
{≤-+=x x x
A ,}40{<<=x x
B ，则=⋃B A A. {}41<≤-x x B. {}30≤<x x C. {}30<<x x D. {}
41<<-x x 2.设i i
z ++=
11
，则=z A.
2
1
B.22
C.23
D. 2
3.已知命题p :对任意R x ∈,总有2
2x x
>;:q "1">ab 是"1,1">>b a 的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是
A.q p ∧⌝
)( B.q p ∧ C.)(q p ⌝∧
D.)()(q p ⌝
⌝∧
4.一个几何体的三视图1如图所示，则该几何体的体积是 A.64
B.72
C.80
D.112
5.执行如图2所示的框图，若输入5=N ，则输出的S 等于
A.43
B.
54 C.6
5 D.
76
6.ABC △中，135BAC ∠=︒
，AB 1AC =，D 是BC 边上的一点，则AD BC ⋅的取值范围是 A.[3,0]-
B.1
[,2]2
-
C.[0,2]
D.[3,2]-
图2
图1
7.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，且在]0,1[-上单调递减，设)2(f a =，)2(f b =，
)3(f c =，则a ，b ，c 的大小关系是
A.a c b <<
B.c b a <<
C.c
a b <<
D.b c a <<
8.已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿AC 折起，使得平面ACD ⊥平面
ABC （如图3），则下列命题中正确的是
A.直线⊥AB 直线CD ，且直线⊥AC 直线BD
B.直线⊥AB 平面BCD ，且直线⊥AC 平面BDE
C.平面⊥ABC 平面BDE ，且平面⊥ACD 平面BDE
D.平面⊥ABD 平面BCD ，且平面⊥ACD 平面ABD
9.如图4，用与底面成45˚角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为 A.
22 B.33 C.
23 D.3
1
10.玉溪某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均储存时间为
8
x
天，且每件产品每天的储存费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A.60件
B.80件
C.100件
D.120件
11.已知函数x x a x f cos 3sin )(-=图象的一条对称轴为6
π
-=x ，若4)()(21-=⋅x f x f ，
则21x x +的最小值为 A.
3π B.π
C.32π
D.34π 12.设等差数列{}n a 满足11=a ，)(0*
N n a n ∈>，其前n 项和为n S ，若数列
{}n
S 也为等差数列，则210
n
n a
S +的最大值是
A.100
B.121
C.132
D.144 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13.若直线)0,0(03>>=--b a by ax 过点)1,1(-，则
b
a 1
1+的最小值为____________. 14.已知)1,1(-=a ，)0,1(=b ，若)2()(b a b a λ+⊥-，则λ= ____________. 15.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++192121
),19(*∈<N n n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等
式
图3
图4
__________________________________成立.
16.在△ABC 中，D 为边AC 上一点，4==AD AB ，6=AC ，△ABC 的外心O 恰在线段BD 上，则=BC ____________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 17.（本小题满分12分）已知βα,为锐角，3
4
tan =
α，55)cos(-=+βα.
（1）求α2cos 的值； （2）求)tan(βα-的值.
18.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，11=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，
11=b ，且1132=+S b ，369b S =.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设n
n
n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
19.（本小题满分12分）如图4，在四棱锥ABCD P -中，
⊥PD 平面ABCD ，DC AB //，AD AB ⊥，6=DC ， 8=AD ，10=BC ，9=PD ，E 为PA 的中点.
（1）求证：//DE 平面BPC ；
（2）线段AB 上是否存在一点F ，满足DB CF ⊥？ 若存在，试求出此时三棱锥PCF B -的体积； 若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）已知圆C ：4)4()3(2
2
=-+-y x ，直线1l 过定点)0,1(A ． （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；
（2）若1l 与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：022=++y x 的交点为N ，求证：AN AM ⋅为定值．
21.（本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=x x x f
.
图5
（1）证明0)(≤x f 恒成立；
（3）证明：)1,(2
21)1(ln 604ln 243ln 62ln 2>∈+-<-++++*
n N n n n n n n （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧==mt y t x （t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==α
α
sin 1cos y x （α为参数）．
（1）若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2，求实数m 的取值范围；
（2）若点A 的坐标为)0,2(，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）求x x x f 3123)(++-=
的最大值；
（2）设a ，b ，c 0>，且1=++ca bc ab ，求证：3≥++c b a .
玉溪一中2020届高三第四次月考
文科数学（参考答案）
一、选择题：
二、填空题： 13.
3
4
14. 3 15. ),17(*
172121N n n b b b b b b n n ∈<=- 16. 102
三、解答题： 17：（1）因为34tan =
α，αα
αcos sin tan =，
所以ααcos 34
sin =
，因为1cos sin 22=+αα，.........................1分 所以25
9cos 2
=α，.............................................................................3分
所以25
71cos 22cos 2
-=-=αα....................................................5分
（2）因为α，β为锐角，所以),0(πβα∈+.............................6分
又因为55)cos(-
=+βα，所以5
52)(cos 1)sin(2
=+-=+βαβα，......7分 因此2)tan(-=+βα..........................................................................8分 因为34tan =
α，所以7
24
tan 1tan 22tan 2-=-=ααα，...................10分 因此，11
2
)tan(2tan 1)tan(2tan )](2tan[)tan(-=+++-=
+-=-βααβααβααβα.....12分
18：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列}{n b 的公比为q ，.....1分
则11
3391562
{=++=+d q q d ，消去d ，得046592
=-+q q
..................................2分
因此，2=q 或9
23
-
=q （舍）
解得
2
2{
==d q ，...........................................................................4分
所以12-=n a n ，1
2-=n n b ...........................................................................6分
（2）由（1）得1
2
1
2--=n n n c ...........................................................................7分 1222
1
223225231---+-++++=n n n n n T ，①.................................................8分
n n n n n T 2
1
223225232121132-+-++++=- .②.............................................9分 ①－②，得n
n n n n n n T 21
2)211(21212222222221211132---+=--+++++=-- .......10分 n
n 23
23+-=，..............................................................................................11分 所以12
3
26-+-=n n n T .......................................................................................12分
19:（1）证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N.....1分 因为CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，所以CN //DA ，
又AB //CD ，所以四边形CDAN 为平行四边形，
所以CN=AD=8，DC=AN=6, 在Rt △BNC 中，622=-=
CN BC BN ，
所以AB=12，............................................................................3分 而E ，M 分别为P A ，PB 中点， 所以EM //AB 且EM=6， 又DC //AB ，所以EM //CD 且EM=CD ，四边形CDEM 为平行四边形， 所以DE //CM .............................................................................4分 因为CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，
所以DE //平面PBC..................................................................5分 （2）在四边形ABCD 中，由题意易得AB=12，.....................6分
在平面ABCD 中，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系 则A （0，0），B （12,0），D （0,8），C （6,8）,设F （t ，0）.....................7分 则)86(--=，t ，)8,12(-=，由0=⋅DB CF 得3
2
=t ,.....................8分 所以32=
CF ,此时313621=⨯⨯=∆AD BF S BCF .................................................10分 所以1363
1
=⨯⨯=∆-PD S V BCF BCF P
因此：136===--BCF P PCF B V V ............................................................................12分
20:（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是1=x ，符合题意，..............................2分 ②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1为)1(-=x k y ，即0=--k y kx .......................3分
圆心)4,3(到直线l 1的距离等于半径2，即
21
432=+--k k k ，解得4
3
=
k ，.............4分 故所求直线l 1方程是1=x 或0343=--y x ................................................................5分 （2）直线l 1与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线l 1的方程为：0=--k y kx .....................................6分 由⎩⎨
⎧=--=++0
022k y kx y x ，得)123,1222(+-+-k k
k k N ..........................................................7分
又直线CM 与l 1垂直，所以⎪⎩
⎪
⎨⎧--=--=)3(1
4x k y k kx y ， 得)124,134(
2
222k k
k k k k M +++++.....................................................................................9分 所以：
6
1
21311122)
123()11222()124()1134(2
2
2
22
222222=++⋅
+++=+-+-+-⋅+++-+++=⋅k k k k k k k k k k k k k k k AN AM
故AN AM ⋅为定值.....................................................................................................12分 21：（1）由题意知定义域为}0{>x x ，......................................................1分 11
)('
-=
x
x f ，…2分 当10<<x 时，0)('
>x f ，所以)(x f 在)1,0(上单调递增，..............3分 当1>x 时，0)('
<x f ，所以)(x f 在),1(+∞上单调递减........................4分 所以0)1()(max ==f x f ，所以0)(≤x f 恒成立....................................6分 （2）由（1）知，1ln -≤x x ，当且仅当1=x 时取等，且1*
>∈n N n ， 所以1ln -<n n ，.....................................................................................8分 所以
1
1
1)1(1)1(1)1(ln 22+-=+=--<-n n n n n n n n n n ，............................9分
所以
111514141313121)1(ln 604ln 243ln 62ln 2+-+-+-+-<-++++n n n n n .....11分
221
1121+-=
+-=
n n n ................................................................................12分
综上：原不等式得证.
22:（1）直线l 的普通方程为mx y =，.................................................1分 圆C 的普通方程为1)1(2
2
=-+y x .........................................................2分 圆心)1,0(C 到直线l 的距离1
12
+=
m d ，...........................................3分
相交弦长为21
1
1222
2
2≥+-=-m d r .......................................4分 解得1-≤m 或1≥m ．
即实数m 的取值范围为][),11,(+∞⋃--∞.............................................5分 （2）设)sin 1,(cos αα+P ，),(y x Q ，................................................6分
则由线段的中点坐标公式，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=2sin 12
2cos ααy x （α为参数），...........8分
消去参数α并整理，得1)12()22(2
2
=-+-y x ， 即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为4
1
)2
1
()1(2
2
=-+-y x ................10分
23：（1）（一题多解）
由题意知：定义域为}40{≤≤x x ，....................................................1分
22)311231()(x x x f ⨯++-⨯=.......................................................2分 24122])3()123)[(11(2222=⨯=++-+≤x x ...............................3分
因为0123≥+-x ，03≥x ，所以62)(≤x f ，
当且仅当x x 3123=+-时，即2=x 时取""=...............................4分 所以62)(max =x f ..................................................................................5分 （2）因为ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ac c a 22
2≥+................6分 所以2)(2)(22
2
2
=++≥++ca bc ab c b a
所以12
22≥++c b a ，..............................................................................8分 因为3)(2)(2
2
2
2
≥+++++=++ca bc ab c b a c b a ..........................9分 又因为a ，b ，0>c ，所以3≥++c b a ...........................................10分。