债券久期、免疫方法与凸性

债券久期、免疫方法与凸性
一、久期及其计算
多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。

例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。

但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量〔例如利息归还〕。

通过计算持续期〔久期〕就可以解决这个问题。

它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。

有效持续期用公式表示则为：
P y tC D n
t t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。

价格为95.2，当前利率为12%。

求其持续期。

持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数〔1年、2年、3年〕。

简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。

在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。

持续期与归还期不是同一概念：归还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比方利息的支付、部分本金的提前归还等因素的时间价值。

对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于归还期。

持续期与归还期呈正相关关系，即归还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，归还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。

二、债券价格对利率变动的敏感程度
由金融工具的理论价格公式：∑=+=n
t t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值〔理论价格〕对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)
1(11 两边同时乘以p
dy 得
∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy n
t t t ∑=+⨯+-1)1(1 =y
dy D +•-1 =-D *·dy
其中D *即为修正久期
相应地，修正久期D *=p
d d y p
1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。

后面，我们把债券的凸度 (C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。

持续期已经变成了一项测量资产的风险价值的非常有用的指标。

有上式可知，资产和负债价格〔请注意：在金融资产的场合，对于一方是资产，对于另一方就是负债，影响一方资产价格的因素也就是影响另一方负债价格的因素〕的变动产生于二个因素：持续期和利率变动。

一旦你知道了一项资产的持续期，你就会很容易地计算出利率变动对资产价格的影响。

从这里我们可以发现资产价格与利率变动负相关，利率上升资产价格下降，利率下降资产价格上升，持续期的长短放大了这种影响〔利率变动引起价格变动的风险〕。

【例2】有一6年期的公司债券〔面额100元〕，票面利率8%，而市场要求的到期收益率也是8%，已知持续期D=4.993年。

如果目前的到期收益率上升1个基本点〔1%〕，此时公司债的价格会下跌0.0462%。

()()()()()()1006%811081005%8181004%8181003%8181002%818100%818)1(654321⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+++=+=∑=P i tC
D n t t t
()0462.0%
8101.0*993.41-=+-=+⨯-=i di D P dP 公司债的价格现在是100*〔1-0.0462〕=95.38元。

三、免疫的基本含义
利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。

价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。

当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。

因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。

正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略〔immunization strategy 〕，用以躲避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。

在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略〔duration-matched strategy 〕。

考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。

随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。

如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格
风险。

由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期〔duration 〕。

因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。

对于债券投资者而言，如果利率下降，从短期看，债券价格将上涨，债券的短期投资者将会从利率下降中获取资本利得，反之，则会受损失。

但从长期投资看，情况会相反，因为债券到期时价格一定等于面值，但利率下降导致了债券利息的再投资收益率下降，因而债券投资者在长期内的全部收益下降。

利率变动，在长期与短期出现相反的结果，意味着它们之间存在一个“中期”。

从“中期”看，投资者的收益基本不受利率变动的影响，就相当于投资一个期限与这个“中期”相等的贴现债券，在持有的"中期"内，其投资收益不受利率变动的影响。

如果投资者建立的债券组合的久期等于这个“中期”，则可实现投资收益不受利率变动影响的目标，这就是债券投资组合管理中所通常采用的久期免疫策略。

当利率发生变化时，投资者面临两种风险，一为利率风险，即债券的价格会因利率上涨而下跌；二为再投资风险，即利息收入再投资会随着利率的上升而增加。

两种风险方向相反，对债券价值的影响有互相抵消的作用。

免疫策略的目的就是通过持有债券至一定期限，利用两种风险互相抵消的作用来锁定投资收益率。

通常的免疫策略是将债券持有到久期长度的期限，当长、短期利率平行变化时，则不管利率如何变动，到期时投资组合的价值将与预期的资产价值相同，而期末的实现报酬率也会等于目标报酬率。

四、免疫的案例
【案例3】某人3年后需要200万元资金，目前市场利率为8%。

有三个方案解决这个问题。

3=158.77万元即可；
3=158.77万元，购买即可；
方案3：方案1和2要么没有保证，要么不存在。

目前只有收益率为8%，还有2年和5年到期的债券〔面额都是100万元，票面利率分别为6%和8%，每年支付利息，到期还本〕，可以采取组合的方式。

怎么组合？
(一)先计算2年期债券和5年期债券的久期
2年期债券的久期=
()()=⨯++⨯+243347
.96%81106143347.96%816
2
×
[()()
43347.96%81106%8162=+++，此为两年期债券的现值和卖价]
5年期债券的久期
=()()()()()=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+5100
%811084100%8183100%8182100%8181100%818
5432 [()()()()()5
432%81108%818%818%818%818+++++++++=100此为五年期债券的现值和卖价]
〔二〕再计算投资于2年期和5年期债券的权重，分别为w 1和w 2，解下面的方程组即可
12=3
w 1+ w 2=1
得w 1=55.37%,w 2=44.63%
假设用修正久期得出
w 1=0.4524 w 2
(三)最后将现在准备的158.77万元，分别按照该比例投资即可。

假设用修正久期得出的比例
这样，今后无论市场利率从现在的8%升降，都会因为债券价格和再投资收益率的相反变动而抵消，不影响3年后200万本利和目标的实现。

假设市场利率1年后升到9%和下跌到7%，我们看看投资3年后的本利和是多少？ 先看升到9%的情况
〔1〕1年后升到9%时，投资两年期债券3年的本利和
两年期债券第2年得利息6万元*
到第三年底，第1年的利息再投资2年和第2年的本利和再投资1年的本利和 2+78.95303363*1.09=
〔2〕1年后升到9%时，投资五年期债券3年的本利和
2
22
到第三年底投资该五年期债券的所获收入
〔3〕投资这两种证券到第三年底获得
91.36847265万元+108.1913021万元=199.5597748，接近200万元〔因为小数点省略的原因〕
再看下跌到7%的情况〔略〕
【例4】假定一家养老基金出售一种新的保险单，这种保单承诺在今后的15年内基金将每年支付100美元给投保人。

折现率为10%。

第一步：计算负债的持续期。

表1给出了整个计算过程和结果。

表1：持续期的计算
时间现金流现金流的折现值权重乘积
1 100 90.909 0.120 0.120
2 100 82.645 0.109 0.217
3 100 75.131 0.099 0.296
……………
15 100 23.939 0.031 0.472
合计760.608 1.000 6.279
修正持续期=6.279÷1.1=5.708
由表1可以看出，负债的现值为760.61美元。

现在的问题在于如何将出售保单的收入760.61美元进行投资，以保证未来的每一时点投资的资产价值至少与负债的价值相当。

第二步：投资资产的选择。

因为负债的折现率用的是10%，这意味着保险单对投保人的收益率为10%。

所以，所构造的投资组合每年至少有10%的收益。

假定基金选择了两种金融工具：30年期的长期国债，年利率为12%，按面值出售；6个月期的短期国债，收益率为年利率8%。

用第一步的方法分别计算出它们的持续期为8.080和0.481。

第三步：确定两种债券的投资比例和投资额。

为此，先求两债券的投资比例。

这只需解以下方程组：
其中，
：表示30年和6个月债券的持续期；
：表示负债的持续期；
：表示30年和6个月债券的投资份额。

这里要解的是方程组：
解得：。

因此，养老基金应当将其出售保险单所得收入
的68.79%投资于30年期的长期国债，其余的投资于6个月的短期国债。

即应投资与长期国债的是523.23美元，其余的237.38美元用于购买短期国债。

最后，我们来考察这种方法的效果。

假定收益曲线向上平移了10个基本点。

此时，负债的折现率变成10.1%,长期国债的收益率变为12.1%,短期国债的收益率变为8.1%。

比较变化前后价值的变化列表如下(表2)：
表2：组合免疫的绩效
五、组合免疫存在的问题
只要细心地分析上述例子不难发现，我们在用组合免疫进行资产负债管理时进行了一些不太切合实际的假设，这正是组合免疫所存在的问题之一。

实际上，组合免疫方法存在三个方面的问题：
第一，组合免疫方法适合于短期情形，它在短期内可靠。

但是，随着时间的变化，不同债券的持续期将产生不同的变化。

这一点直接从持续期公式中可以看出来，一个简单的例子是一个6个月债券和5年期债券，6个月后前者持续期为零(减少了0.5)，而后者持续期的减少小于0.5。

因此,当前很有效的组合方式明天就不一定有效。

这并不是说它明天就一定无效,只是效果肯定没有当前的好;而且随着时间的推移,这个组合方式将越来越不可靠。

第二，随着时间的变化,市场利率可能发生变化,市场利率的变化又直接导致不同金融工具的价格变化，从而到期收益率也发生变化，持续期自然随之而变化。

显然,不同金融工具持续期的变化程度是不同的。

因此，对于利率的微小的变化，持续期的匹配效果不会受到太大的影响，但对利率较大的变化，组合持续期的匹配效果将大大地受到影响。

解决这个问题的方法是频繁地重新计算持续期和权重，并据以调整债券的组合。

第三，这种简单的持续期匹配的方法是基于这样的一个基本假设；收益率曲线平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的收益率都以同样的幅度上涨或下调。

事实上并非如此，通常短期债券比长期债券更加敏感。

同时，即使是到期日相同的金融工具对利率的敏感性也可能不同，如到期期限相同的债券因有不同的违约风险而对利率的敏感性不同。

解决这一问题的有效方法是利用数理统计方法进行回归分析：假定资产和负债的收益率变化之间存在着某种比例关系，利用历史数据回归分析，找出这一比例关系。

在上例中将负债收益率变化对30年期国债收益率的变化作回归。

所得的系数为利率的β值。

然后用同样的方法计算负债对6个月短期国债的利率的β值。

六、凸性
我们知道修正的持续期度量的是价格—收益曲线上给定点相应的斜率。

并由此而得出价格变化的近似公式dy D p
dp ⨯-=*。

这一近似公式并不精确，当收益率的变化较大时，近似公式给出的价格变动量与实际变动量相差可能很大。

这一现象的背后原因在于，这种近似公式的根据是数学中函数的泰勒展式。

我们在应用泰勒(Taylor)公式进行近似时结果一般是很复杂的，它通常表示为函数导数的多阶项之和。

而上述近似只取了一阶项。

为了更精确地对价格的变化进行近似，一个很自然的方法是加进二阶项。

二阶项的一个重要特征是与凸性有关，而曲线的凸性反应的是曲线的弯曲程度，它能够说明一阶
线性近似的精确程度。

如图2，图中的直线是由近似公式dy D p
dp ⨯-=*给出的直线，曲线则是通过计算得出的。

图形说明了凸性的作用。

图2：价格—收益率的关系
1、凸性的定义
凸性可以通过计算修正久期对收益率的导数或债券价格对收益率的二阶导数，再除以债券的价格得到。

记凸性为C ，则其定义由下式给出：
()()∑=+++==-=T t t t y C t t y P dy P d P dy dD 1222*11)1(111C
为了显示凸性的重要性，可以对债券价格的相应变化进行泰勒二阶展开，有
()()()()2*2222121/1/dy C dy D dy dy P d P dy dP P P dP +-=++-≈
当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为 ：
()2*2
1/y C y D P P ∆+∆-≈∆ 由上式可以看出，当收益率变化较小时，凸性的意义并不明显，可以忽略不计。

而当收益率波动较大时，凸性的作用就变得很重要。

有的金融文献将凸性定义为二阶导数而不用除以债券价格，其结果不会有多大的改变。

凸性一词源于数学，它用于描述函数图象的形状。

凸性值的正负性描述的是曲线弯曲的方向，正号表示向下弯曲；负号表示向上弯曲。

凸性值的大小表示弯曲的程度，值越大，弯曲程度越高，反之则弯曲程度越小。

图3给出两个假想债券的价格—收益率曲线，它们因为具有不同的凸性而使得债券对收益率的相同变化呈现出不同的价格变化。

凸性越大，价格受到的影响越大。

图3中，AD 为由近似公式dy D p
dp ⨯-=*求出的ΔP ，AB 为高凸性债券的真实ΔP ，AC 为低凸性债券的真实ΔP 。

图3：凸性的作用
当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。

这说明：
(1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；
(2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。

与久期一样，凸性也具有可加性。

即一个资产组合的凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。