北京市海淀区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题含答案

海淀区2022—2023学年第一学期期末练习
高三数学
2023.01
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。

（1）已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，若A B =
（A ）[2,3]-（B ）[0,3] （C ）(0,)+∞ （D ）[2,)-+∞
（2）在复平面内，复数1
2i
-对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）已知函数1
()1f x x
=
-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）11(,)42 （B ）1(,1)2
（C ）(1,2)（D ）(2,3)
（4）已知 13
lg5,sin ,27
a b c π
===，则
A. a b c <<
B. b a c <<
C. b c a <<
D. a c b <<
（5）若圆222220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2，则a = （A ）－1
（B ）0 （C ） 1
（D ）2
（6）已知{}n a 为等差数列，13a =，4610a a +=-.若数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，（n = = 1， 2，…），记{}n b 的前n 项和为n S ，则8S = （A ）－32
（B ） －80
（C ） －192
（D ） －224
（7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个 班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是 （A ）13 （B ）
14
（C ）15
（D ）16
（8）设α， β是两个不同的平面，直线m α⊂，则“对β内的任意直线l ，都有
m l ⊥”是“α⊥β”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）已知函数()cos 2f x x = =cos2x 在区间[,]()3
t t t R π
+
∈上的最大值为()M t ，则
()M t 的最小值为
（A （B ） （C ）
12
（D ） 12
-
（10）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个 与圆柱底面所成角为450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到 “直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3） 的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦 型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T ，截口椭圆的离心率为. 若圆柱的底面直径为2，则
（A ） 12,2
T e π==
（B ） 2,T e π==
（C ） 14,2
T e π==
（D ） 4,2
T e π==
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）抛物线22y x =的焦点坐标为 .
（12）在42()x x
-的展开式中，2x 的系数为 .
（13）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱1BB 上一 点，12AB AA ==，则三棱锥1P ACC -的体积为 .
（14）设O 为原点，双曲线 2
2
:13
y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上.
则C 的渐近线方程是 ；
OP OF OP
⋅的取值范围是 .
（15）已知函数2()22f x x x t =-+， ()x g x e t =-.给出下列四个结论： ①当0t =时，函数()y f x =()g x 有最小值；
②t R ∃∈，使得函数()y f x =()g x 在区间[1,)+∞上单调递增; ③t R ∃∈，使得函数()y f x =()g x +没有最小值；
④t R ∃∈，使得方程()f x ()g x +有两个根且两根之和小于2. 其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><.用五点法画()f x 在区间11[,]1212
ππ
-
上的图象 时，取点列表如下：
（Ⅰ）直接写出()f x 的解析式及其单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，1
()2
f B =，b =6a c +=，求△ABC 的面积.
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB ∥DC ，
1
2
AB DC =
，1PD AD ==， M 为棱PC 的中点. （Ⅰ ）证明：BM ∥平面PAD ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个
作为已知，求二面角P DM B --的余弦值.
条件①：PB =条件②：BD BC ⊥.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1 （该预测价格与亩产量互不影响）.
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. （Ⅰ）试估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；
（Ⅱ）设H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）H 地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦 产量平均增加50 kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.
（19）（本小题14分） 已知函数()ln(1)f x x x =+.
（Ⅰ）判断0是否为()f x 的极小值点，并说明理由； （Ⅱ）证明：2
()1
12
f x x x >-+.
（20）（本小题15分）
已知椭圆E ：22
221x y a b
+= 过点(2,1)P -和Q .
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过点(0,2)G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点A ，B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴 于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.
（21）（本小题15分）
对于一个有穷正整数数列Q ，设其各项为12,,...,n a a a ，各项和为()S Q ，集合
{}(,),1i
j
i j a a i j n >≤<≤中元素的个数为()T Q .
（Ⅰ）写出所有满足()4S Q =，()1T Q =的数列Q ; （Ⅱ ）对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值； （Ⅲ）对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值.
海淀区2022—2023学年第一学期期末练习
高三数学 参考答案
一、选择题
二、填空题
（11）1
(,0)2
（12）8− （13
（14）y =；(1,2] （15）①②④
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）()f x 的解析式为()sin(2)6
f x x π=+，
单调递增区间为[,]()36k k k ππ
π−π+∈Z .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1
()sin(2)62
f B B π=+=，
因为0B <<π，
所以22666B πππ<+<π+.
所以266
B π5π+=. 即3
B π
=
.
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−.
即2212a c ac =+−. 即212()3a c ac =+−. 即12363ac =−. 即8ac =.
所以1
sin 2
ABC S ac B ==△.
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）取PD 中点N ，连接,AN MN .
在PCD △中，,M N 分别为,PC PD 的中点，所以MN DC ，1
=2
MN DC ，
因为AB DC ，1
=2AB DC ，
所以AB
MN ，=AB MN .
所以四边形ABMN 为平行四边形，因此BM AN .
又因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以BM
平面PAD .
（Ⅱ）选择条件①
因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ， 所以PD AD ⊥，PD DC ⊥. 又因为AD DC ⊥， 所以建立如图空间直角坐标系D xyz −． 因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PD BD ⊥.
所以在Rt PBD △中，1PD =
，PB =
BD =在Rt ABD △中，1AD =
，BD =1AB =,又因为1
2
AB DC =
，所以2DC =. 由题意得(0,0,0)D ,(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,1)P ,1
(0,1,)2M ，
所以(1,0,0)DA =，1
(0,1,)2
DM =，(1,1,0)DB =.
设平面BDM 的法向量为(,,)x y z =n ， 所以0,
0,DM DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即10,20.
y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
令1y =−，则1,2x z ==.
所以平面BDM 的一个法向量为(1,1,2)=−n . 易知DA 为平面PDM 的一个法向量.
所以1cos ,||||6DA DA DA ⋅<>=
==⋅
n n n .
因为二面角P DM B −−为钝角，所以二面角P DM B −−的余弦值为.
选择条件②
因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，又因为
AD DC ⊥，所以建立如图空间直角坐标系D xyz −．
取CD 的中点E ，连接BE . 因为AB
DC ，1
=2
AB DC ，所以AB
DE ，=AB DE ，
又因为AD DC ⊥，所以四边形ABED 为矩形. 在BCD △中，因为BD BC ⊥，所以1
2
BE DC =. 又因为1
2
AB DC =，所以AB BE =.
所以四边形ABED 为正方形，即1AB AD ==，2DC =.
由题意得(0,0,0)D ,(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,1)P ,1
(0,1,)2M ，
所以(1,0,0)DA =，1
(0,1,)2
DM =，(1,1,0)DB =.
设平面BDM 的法向量为(,,)x y z =n ， 所以0,
0,DM DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即10,20.
y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
令1y =−，则1,2x z ==.
所以平面BDM 的一个法向量为(1,1,2)=−n . 易知DA 为平面PDM 的一个法向量.
所以1cos ,||||6DA DA DA ⋅<>=
==⋅
n n n .
因为二面角P DM B −−为钝角，所以二面角P DM B −−的余弦值为. （18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由图可知，亩产量是400 kg 的概率约为0.005500.25⨯=，亩产量是450 kg 的概率约为
0.01500.5⨯=，亩产量是500 kg 的概率约为0.005500.25⨯=.
估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.250.60.15⨯=. （Ⅱ）X 的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500.
(960)0.250.40.1P X ==⨯=，(1080)0.50.40.2P X ==⨯=，(1200)0.250.40.250.60.10.150.25P X ==⨯+⨯=+=， (1350)0.50.60.3P X ==⨯=，(1500)0.250.60.15P X ==⨯=.
X 的分布列为
()9600.110800.212000.2513500.315000.151242E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）建议农科所推广该项技术改良.
设增产前每亩冬小麦产量为ξkg ，增产后每亩冬小麦产量为ηkg ，则50.ηξ=+ 设增产后的每亩冬小麦总价格为Y 元， 由分析可知()()50(2.40.430.6)E Y E X =+⨯⨯+⨯
所以增产的50 kg 会产生增加的收益是50(2.40.430.6)138125⨯⨯+⨯=>，故建议农科所推广该项技术改良. 19. （本小题14分）
（Ⅰ）解法一：0是()f x 的极小值点，
理由如下：
当0x >时，ln(1)0x +>，所以()ln(1)0f x x x =+>.
当10x −<<时，011x <+<，可知ln(1)0x +<，所以()ln(1)0f x x x =+>. 而(0)0f =，
由极小值点的定义知，0是()f x 的极小值点.
（Ⅰ）解法二：0是()f x 的极小值点，
理由如下：
对函数求导得()ln(1)1
x
f x x x '=+++. 当0x >时，ln(1)0,
01
x
x x +>>+，
所以()0f x '>.
当10x −<<时，011x <+<，可知ln(1)0,01
x
x x +<<+，
所以()0f x '<.
所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,在区间(1,0)−上单调递减. 所以0是()f x 的极小值点.
（Ⅱ）证明：2()112f x x x >−+等价于
ln(1)112
x x x +>−+，即 2
1ln(1)20x x x x ++−>.
记21
()ln(1)(1)2
g x x x x x =++−>−.
求导得2
1()111
x g x x x x '=+−=
++. 当1x >−时易知()0g x '≥，所以函数()g x 在区间(1,)−+∞上单调递增. 又(0)0g =， 可得当0x >时，()(0)0g x g >=，
即当0x >时，不等式21
ln(1)02
x x x ++−>成立.
即当0x >时，不等式
2()1
12
f x x x >−+成立. 当10x −<<时，()(0)0
g x g <=，
即当10x −<<时，不等式21
ln(1)02
x x x ++−<成立.
即当10x −<<时，不等式
2()1
12
f x x x >−+成立.
综合上述，不等式2()1
12
f x x x >−+成立.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）将点(2,1)P −
，Q 坐标带入椭圆E 的方程，得
22
2
4
11,8 1.a b a ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ 解得228,2a b ==. 所以椭圆E 的方程为22182
x y +=.
（Ⅱ）若直线l 斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 点重合，B 和N 点重合，分别为椭圆
的上下顶点
，此时||||(2(22GM GN ⋅=⨯+=，符合题意. 若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y (12x ≠−且22x ≠−). 联立方程222182y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得，22(41)1680k x kx +++=.
222(16)32(41)32(41)0k k k ∆=−+=−>，21
4k ∴>，即12
k >或12k <−.
1221641k x x k −+=+，12
28
41
x x k =+. 111
2
PA
y k x −=+，所以直线PA 的方程为1
11(2)12y y x x −=+++，取0x =得112(1)(0,1)2y M x −++. 同理可得222(1)
(0,
1)2
y N x −++.
由||||2GM GN ⋅=得
12122(1)2(1)
1212222
y y x x −−+−⋅+−=++， 即
12122(1)2(1)
11222
kx kx x x ++−⋅−=++.
所以2
1212(21)222
x x
k x x −⋅=++，
即2121212(21)22()4
x x k x x x x −=+++. 22228
41(21)283244141
k k k k k +−=−+++， 即2
2(21)1483
k k k −=−+， 因为12
k >
， 所以得|21|1|23|k k −=−， 即1k =.
经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+.
综上所述，直线l 的方程为0x =或2y x =+.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）1,2,1和 3,1.
（Ⅱ）()S Q 的最小值为7.
首先证明()7S Q ≥：由题知26n C ≥得4n ≥.
① 当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=； ② 当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥. 若()6S Q =，满足上述要求 的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符； ③ 当n ≥6时，同②可得()S Q ≥7.
综上所述，有()S Q ≥7. 同时当Q 为2,2,1,1,1时，()S Q =7，所以()S Q 的最小值为7. （Ⅲ）()T Q 的最大值为511566.
下面分五步证明当()T Q 最大时，数列Q 应满足：
① 存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；
② 1n a =，否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；
③ 当1,2,,1t n =−时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +的顺序后()T Q 变为()1T Q +. 进一步有1{0,1}t t a a +−∈，否则有12t t a a ++≥，此时将t a 改为1t a −，并在数列末尾添加一项 1，此时()T Q 变大；
④ 各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中存在相邻的两项13, 2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()T Q x ++ 1()1x T Q −=+;
⑤ 由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式, 设其中有x 项为2, 有y 项为1, 则有22023x y +=,
从而有2
()(20232)22023
T Q xy x x x x
==−=−+，由二次函数性质可得，当且仅当
506
1011
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
时，
()
T Q最大，为511566.
综上可得()
T Q的最大值为511566.。