2021暑8A-第4讲 勾股定理(一)-北师大版

第四讲 勾股定理（一）

【学霸预习】

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．

2.勾股定理中常见的基本图形：

21

1

45°

32

1

30°3

1

1

120°

5

2

1

5

4

3

1312

5

2524

7

【例题1】（1）如图1，用若干个几何图形拼成了两个边长都为a ＋b 的正方形，这就是传说中毕达

哥拉斯证明勾股定理的方法，请给出具体证明．

c c

c

b

a

b

a

c b

a

b a b

b

a

b a

a

b

a

图1

②

①

（2）如图2是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的方法：以a ,b 为直角边（b ＞a ），以c

为斜边作四个全等的直角三角形，把这四个直角三角形拼成如图所示形状，请给出具

体证明．

图2

c

b a

H

E

F G

A

C

D

【练1.1】 如图是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法，已知四边形ACDE 为梯形，△ABE

为等腰直角三角形，请给出具体证明．

a a

b

b

c c

C B D

E

A

【例题2】（1）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，若正方形A ,B ,C ,D 的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E 的面积是__________．

（2）如图，已知△ACB 的面积为30，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，正方形ADEB 的面积

为169，则(a －b )2的值为__________．

b a

C D E

B

A

（3）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC 的三个顶点均在正方形格点上，

则AC 边上的高长为__________．

B

C

A

【练2.1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC ,BC 为直径作半圆S 1和S 2，S 1＋S 2＝2π，则

AB 的长为（ ）． A ．16 B ．8 C ．4 D ．2

S 2

S 1C B

A

【练2.2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC 中BC 边上的高长为（ ）． A ．1.4 B ．1.5 C ．1.6

D ．2

B

A

C

【例题3】在△ABC 中，AC ＝15，AB ＝13，BC 边上的高AD ＝12，则边BC 的长为__________．

【练3.1】等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．

【例题4】如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，AB

＝BC的长为__________．

C

B

A

【练4.1】如图，在△ABC中，∠B＝120°，∠C＝45°，BC＝2，则AC的长为（）．

A

．

．＋2 C

D

C

B

A

1.等腰三角形的腰长为5cm ，底边长为6cm ，则该三角形的面积是（ ）． A

．cm 2 B ．24 cm 2

C

．cm 2

D ．12 cm 2

2.如图，在Rt △ABC 中，两直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ，若Rt △ABC 的面积为3，且a ＋b ＝5，则c 的值为（ ）． A

．

B

C

D ．5

3.如图，正方形ABGF 和正方形CDBE 的面积分别是100和36，则以AD 为直径的半圆面积是（ ）． A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π

c

a

b

C B

A

36

100

F

G

B

E

C

D A

第2题图 第3题图 4.如图，在△ABC 中，∠A ＝135°，∠B ＝30°，求AB

BC

的值．

C

B

A

【学霸自修】

1.如图，锐角△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．

（1）AB＝25，AD＝7，求BC的长；

A

D

B C

（2）BD＝4，CD＝3，求AB的长；

A

D

B C

（3）BC＝30，AD＝7，求AB的长；

A

D

B C

（4）AB＝25，BC＝30，求BD的长．

A

D

B C