最新2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题

一、选择题（每小题5分）
1.已知集合则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法得到集合M的元素，再由对数的真数大于0以及对数不等式的解法得
到集合N，再由集合交集的概念得到结果.
【详解】 ，故集合,

,集合N，.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的
元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集；（2）看这些元素满足什么限制条件；（3）根
据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异
性．
2.若，且，则（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设t=g(x),反解出x，再代入表达式得到，将t换为x即可.
【详解】若=，设t=2x+1,
故.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了复合函数解析式的求法，一般常用的方法有：换元法，即设整体为
t,反解x，再代入表达式，得到f(t)的表达式，将t换为x即可；还有配凑法，即将函数表
达式配凑出括号内的整体.
3.已知a=2log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. c＞b＞a B. c＞a＞b C. a＞b＞c D. b＞c＞a
【答案】D
【解析】
试题分析：
考点：比较大小
4.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：单调递增，仅有一个零点．又，, 故函数
的零点位于区间．
考点：函数的零点问题.
5.在等差数列中，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由等差数列的性质，可知，
又因为，故选C．
考点：等差数列的性质．
6.运行如下图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函
数， 是增函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，
其中基本事件的总数为5，
设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，
当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0
事件E包含基本事件为3，
则．
故选：A．
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注
意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循
环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要
正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中
只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
7.设数列满足，通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
当时，，
…………(1) ， …….(2),
(1)-(2)得： ，，符合，则通项公式是，选C.
8.已知函数的一部分图像，如下图所示，则下列式子成立
的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数y=Asin（ωx+φ）+B的图，分别求出A=2，B=2, 又T=﹣=得到ω=2，代入最
值点得到φ的值即可．
【详解】根据函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象知，
A=2，B=2，∴A、C错误；
又T=﹣=，
∴T==π，解得ω=2，B错误；
由五点法画图知x=时，ωx+φ=2×+φ=，
解得φ=，∴D正确；
故选：D．
【点睛】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的
最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得
ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已
知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②
特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图
象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
9.用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝㏑y，变换后得到线性回
归直线方程，则常数的值为（ ）
A. B. C. 0.3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
我们根据对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出lny=ln（cekx）
=lnc+lnekx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，对应常数为4= lnc，c=e4.
【详解】∵y=cekx，
∴两边取对数，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴l n c=4，
∴c=e4．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问
题的关键．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线
可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线
性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线
性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
10.半径为的扇形的圆心角为，点在弧AB上，且，若，
则（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
试题分析：以为坐标原点,,所在直线分别为建立直角坐标系,则
,,
即,,
,

,.故B正确.
考点：坐标法解决向量问题.
11.如果已知的三个内角所对的三条边分别是，且满足
， ，则周长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到边的程，再由不等式得到，解出
a+b的最大值，，根据三角形两边之和大于第三边得到a+b>c=2，从而得到周长的最小值.
【详解】根据已知条件和余弦定理得到

消去c得到
解得0c,周长l的取值范围为
故答案为：D.
【点睛】解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范
围问题.利用余弦定理，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等
式考查相关范围问题.
12.下列命题中错误的个数为：（ ）
①的图像关于点对称；②的图像关于点对称；
③的图像关于直线对称；④的图像关于直线对称。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义：设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f
（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立判断②，根据三角函数的图象 的性质判断④.

【详解】，f（﹣x）==+=﹣ =﹣f（x），
∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确;
y=x3-x-1的图象关于（0，-1）对称；
由题意设对称中心的坐标为（a，b），
则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，
2b=（a+x）3-（a+x）-1+（a﹣x）3-（a﹣x）-1对任意x均成立，
∴a=0，b=-1
即对称中心（0，-1），故不正确;
③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正
确，
④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断和应用，以及函数的对称性的应用，常见的结论有：
一般 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）.
二、填空题：每小题5分
13.已知，则______________。
【答案】或
【解析】
试题分析：，当为第二象限角时，，
当为第三象限角时，.所以.
考点：三角函数值.
14.若x，y满足：,则2y−x的最小值是__________。
【答案】3
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，将目标函数化为z=2y﹣x，则y=x+z，结合图像得到最值.
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=2y﹣x，则y=x+z，
平移y=x+z，
由图象知当直线y=x+z经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率
型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
15.若正数满足，则的最大值为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
令t=，则由基本不等式可得，，再根据不等式将表达式化简得到
，最终根据二次函数的性质得到最值.
【详解】∵3a+b=1，a＞0，b＞0
令t=，则由基本不等式可得，
则
=1﹣2t2+结合二次函数的性质可得，当t= 取得最大值，结果为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”
等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边
必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

16.已知数列满足,记数列的前项和为,则数列
的前项和为_________。
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，两式相减得
世，所以，所以数列是等差数列，在中令得，