振动力学第三章_ppt课件

位移向量：
2018/11/16 《振动力学》
x1 { x} x2
激励向量：
F1 {F } F2
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
c u u f (t) 1 d 2 f (t) u 2
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3.2 无阻尼系统的自由振动
令
c u u a u1 b u 2 2 1 d 2 u u1 2
2 f() t f() t 0
则有 其解为： 由第一式：
ft ( ) C c o s ( t )
振动方程两个同步解为：
( 1 ) ( 1 ) x () t u o s ( t ) 1 1C 1c 1 1 (1 ) ( 1 ) x () t u C o s ( t ) 2 1 r 1 1c 1 1
( 2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 1 1 C 2c 2 2 (2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 2 1 rC 2 2c 2 2
( 2 ) 2 u a c 2 2 r 2 ( 2 ) 2 u b d 1 2
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3.2 无阻尼系统的自由振动
由上述分析可知： 1.系统的固有频率仅与系统的物理有关。 2.系统按任一固有频率做同步运动时，m 1 和m 2 振具有确定比值的一对常数u 1( 1 ) 、u 2( 1 ) 或 u 1 、 的振动形态，称之为固有振型。 向量形式：
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坐标间的耦合项
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3.2 无阻尼系统的自由振动
3.2 无阻尼系统的自由振动
图示两自由度系统，无阻尼，无激励
k1
m1
k2
m2
k3
运动微分方程为：
m x ( k k ) x kx 0 1 1 1 2 1 2 2 m x kx ( k k ) x 0 2 2 2 1 2 3 2
2 a b
c
d
2
0
可得两个正值的
，称为系统的固有频率（自然频率）。
较小的 对于的频率叫基频。
两自由度系统有两个自然频率。
u 2 ，但可求得其比值： 由于特征行列式为零，无法求得 u 1 ， ( 1 ) 2 u a c 2 1 r 1 ( 1 ) 2 u b d 1 1
c2(x2 x c2(x2 x 1) 1)
c3x2
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3.1 两自由度系统的运动微分方程 F1(t) k1x1 k2(x2-x1)
m1
F2(t) k2(x2-x1)
m2
k3x2
c1x1
c2(x2 x 1)
c2(x2 x 1)
c3x2
建立方程：
m x c x c ( x x ) k x k ( x x ) F 1 1 1 12 21 1 12 21 1
模态向量和相应的固有频率构成系统的自然模态。 { u ( 1 ) }和 1 构成第一阶自然模态。
2018/11/16 (2) 《振动力学》
{u
}和 2 构成第二阶自然模态。
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3.2 无阻尼系统的自由振动
4.两自由度系统有两个自然模态，代表两种形式的同步运动。 m 1 r2 0 可知系统按第一阶自然模态做同步运动时， 5.由 r1 0 ， m 1 和 m 2 的运动方向相反，而按第二阶自然模态做同步运动时， 和 m 2 的运动方向相同。
通解写为向量形式:
1 1 { x ( t ) } C c o s ( t ) C c o s ( t ) 1 1 1 2 2 2 r r 1 2
M1 (t )
M 2 (t )
建立方程：
I k k ( ) M () t 11 11 2 1 2 1 I k ( ) k M () t 2 2 2 1 2 3 3 2
矩阵形式：
k k I M ( t ) k 1 2 2 1 0 1 1 1 k k k 0 I M ( t ) 2 2 3 2 2 2 2
一般情况下，两自由度振动方程的阻尼项及刚度项 有耦合。 在两自由度系统中可将质量、刚度、位移、加速度 及力都理解为广义的。
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
例2：转动运动
两圆盘
外力矩 M ( t ), M ( t ) 1 2
转动惯量 I1 , I 2
,k 轴的三个段的扭转刚度 k 1 2,k 3
两自由度系统的振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
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两自由度系统的振动
m人
k1
c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
令：
k1 k 2 a m1 2018/11/16
《振动力学》
k2 b m1
k2 c m2
k 2 k3 d m2
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3.2 无阻尼系统的自由振动
运动微分方程可表示为：
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
假设其解： 即
x ( t)u t) 1 1f (
2 (a )u u 1 b 2 0 2 c u ( d )u 1 2 0
u 2 有非零解，则： 若u 1，
2 ( )
2 2018/11/16
2 a b
c
d
2
0
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称 ( ) 为特征行列式。
《振动力学》
3.2 无阻尼系统的自由振动
由
2 ( )
k1
M1 (t )
1
k 2
I1
M 2 (t )
2
k 3
M1 (t )
I2
k 2) 2( 1
k 3 3
M 2 (t )
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
k 1 1
k ( ) 2 1 2
k 2) 2( 1
k 3 3
m x c x c ( x x ) k x k ( x x ) F 2 2 3 2 2 2 1 3 22 2 1 2
整理得：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
x () t u t 2 2f ()
称同步振动
xt ( ) / xt ( ) c o n s t 1 2
将解代入振动方程：
uf t ( a u b u )f() t 0 1 () 1 2 uf t (c u d u )f() t 0 2 () 1 2
即：
u u f (t) a 1 b 2 2018/11/16 f (t) u 1 《振动力学》
2018/11/16 《振动力学》
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两自由度系统的振动
教学内容
3.1 两自由度系统的运动微分方程 3.2 无阻尼系统的自由振动 3.3 坐标变换和坐标耦合 3.4 自然坐标 3.5 拍击现象 3.6 两自由度系统在谐波激励下的 强迫振动
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
1
k1
M1 (t )
k 2
I1
M 2 (t )
2
k 3
I2
试建立系统的运动微分方程
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
解：
建立坐标：
受力分析： 设某一瞬时： 角位移 1 , 2
k 1 1
, 角加速度 1 2
k ( ) 2 1 2
振动力学第三 章
两自由度系统的振动
大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的物 理本质。 例：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 2018/11/16 2 间的相互影响 《振动力学》 c
k2
m2
x2 k3
c3
c1
c2
建立坐标：
x 1 , x 2 的原点分别取在 m1, m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m 、 m 1 2上分别有位移
x 1 ( t ) 、x 2 ( t )
F2(t)
受力分析：
F1(t) k1x1 k2(x2-x1)
m1
k2(x2-x1)
m2
k3x2
c1x1
2018/11/16 《振动力学》
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
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k2
c2
k2
c2
m m 轮
k3 c3 k3
m轮
c3
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两自由度系统的振动
与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上的新 概念，需要新的分析方法。
二自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从二自由度 系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表述、 求解方法、振动性态上没有本质区别。 数学工具：线性代数、矩阵理论
叠加可得到微分方程的通解为：
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3.2 无阻尼系统的自由振动
x ( t ) C c o s ( t ) C c o s ( t ) 1 1 1 1 2 2 2 x ( t ) r C c o s ( t ) r C c o s ( t ) 2 11 1 1 22 2 2 ( 1 ) ( 2 ) CC u CC 注意：此处 u 1 1 1 1 2 2
可写成矩阵形式：
[ m ] { xc } [ ] { xk } [ ] { x } { F }
其中，质量矩阵：
阻尼矩阵： 刚度矩阵：
m1 0 c2 -c2 c k + k k 1+ 1 2 2 [m] [c] [k] 0 m c c c 2 2 2 3 k2 k2 k3
3.1 两自由度系统的运动微分方程
先看两个例子 例1：质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼,
F1(t) k1
m1
F2(t) k2
m2
k3
c3
c1
c2
试建立系统的运动微分方程
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3.1 两自由度系统的运动微分方程
解：
k1
F1(t)
m1
x1 F2(t)
( 1 ) u 1 1 (1) ( 1 ) { u } (1) u 1 r u 1 2
(2 ) u 1 1 (2) (2 ) { u } (2) u 1 r u 2 2
{ u ( 1 ) } 和{ u ( 2 ) } 叫系统的模态向量。