小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数-0星题(含解析)

数论-因数和倍数-因数-0星题
课程目标
知识提要
因数
•定义对于整数a和b，如果a∣b，我们就称a是b的因数。

精选例题
因数
1. 算式1×2×3×⋯×10的结果中末尾有个连续的零．
【答案】2个
【分析】此题算式中，有10、5分别有1个因数5，共2个因数5；2、4、6、8、10共有8个因数2．由于因数5的个数少于因数2的个数，只有2个，所以该算式结果末尾有2两个连续的零． 2. A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和．那么A、B两数之差的最大值是．
【答案】1781
【分析】
2007=1×1×3×3×223
=1×1×1×9×223
=1×1×1×3×669
=1×1×1×1×2007,
所以A的可能值是231或235或675或2011．又
2007=1×3×3×223
=1×1×9×223
=1×1×3×669
=1×1×1×2007,
所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为2011−230=1781．
，那么在这三个最简真分数中， 3. 三个最简真分数的分母分别是6，15和20，它们的乘积是1
30
最大的数是．
【答案】56． 【分析】设这三个真分数分别为a 6,b 15,c 20，其中a 不含因数2和3；b 不含因数3和5；c 不含因数2和5，且a,b,c 均为非0自然数．
依题意：a 6×b 15×c 20=130
，abc =60=22×3×5．所以a =5,b =4,c =3． 所以最大数为：56．
4. 2016名同学排成一排，从左至右依次按照1，2，⋯，n 报数〔n ≥2〕．假设第2016名同学所报的数恰是n ，那么给这轮中所有报n 的同学发放一件新年礼物．那么无论n 取何值，有名同学将不可能得到新年礼物．
【答案】576
【分析】由题目条件可知，n ∣2016，
2016=25×32×7,
所以当n =2时，所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼物，同理可得编号为3和7的倍数的同学也能拿到礼物，因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物，小于2016且与2016互质的数的个数为 2016×(1−12)×(1−13)×(1−17)=576(个). 5. 有80颗珠子，5年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．姐姐比妹妹大2岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差颗．
【答案】4
【分析】设5年前妹妹的年龄为x ，那么
5年前
今年妹妹x x +5姐姐x +2x +7
5年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以2x +2与2x +12均为80的因数，且这两个因数的差为10，80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，所以只有10与20的差为10，所以
2x +2=10,x =4, 5年前按照4:6的比例分配，姐姐分
80÷(4+6)×6=48(颗),
今年按照9:11的比例分配，姐姐分到
80÷(9+11)×11=44(颗),
两次分配相差
48−44=4(颗).
6. 算式333×625×125×25×5×16×8×4×2的结果中末尾有个连续的零．
【答案】10
【分析】乘积末尾0的个数取决于乘数中因数2与因数5的搭配情况．该算式中，625、125、25、5分别提供4、3、2、1个因数5，一共可以提供
4+3+2+1=10(个);
16、8、4、2分别可以提供4、3、2、1个因数2，一共可以提供
4+3+2+1=10(个).
10对因数5和因数2乘积产生10个零，所以该算式结果中有10个连续的零0．
7. 如图，方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上
面方格中的数．比方a=5×10=50，b=50×12=600．那么c方格内所填的自然数的末尾
有个连续的0．
【答案】102
【分析】
含有102个2，106个5，所以末尾有102个0．
8. 两个相邻质数的和乘以它们的差得120，这样的质数有两组，它们分别是〔，〕和〔，〕．
【答案】31,29和17,13．
【分析】两个数的乘积是120，可以把120分成以下乘积
120=1×120
=2×60
=3×40
=4×30
=5×24
=6×20
=8×15
=10×12,
而两个数的和与差的奇偶性是相同的，满足条件的只有2×60，4×30，6×20，10×12．相
应的，得到这两个数分别是31,29；17,13；13,7；11,1．
满足相邻质数这个条件的是前两组，31与29，17与13．
9. 算式2×16×24×5×25×125的计算结果的末尾有个连续的零．
【答案】6
【分析】此题算式中，125、25、5分别有3、2、1个因数5，共6个因数5；2、16、24共有8个
因数2．由于因数5只有6个，少于因数2的个数，所以该算式结果末尾有6个连续的零．算式中
有8个因数2，6个因数5，所以末尾有6个零．
10. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．
【答案】336
【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．
20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,
有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：
2×2×2×2×3×7=336;
所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．
11. 算式25×26×27×⋯×50的结果中末尾有个连续的零．
【答案】8个
【分析】此题算式中，30、35、40、45分别有1个因数5，25、50分别有2个因数5，共有8个
因数5；此题中含有偶数12个，那么至少含有12个因数2，很明显，因数5的个数少于因数2的
个数，只有8个，所以该算式结果末尾有8个连续的零．算式中有8个因数5〔其中25、50分别
含有两个因数5〕，所以末尾有8个零．
12. 大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，那么n的最小值是．
【答案】15
【分析】因为3n是5的倍数，所以n也是5的倍数，那么n是3和5的共同倍数，那么n最小为15．13. 小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个水果糖．请问
小高把糖分给了多少个朋友？
【答案】4个、6个或12个
【分析】简答：分出去了60个奶糖和72个水糖果，那么朋友们的个数应该是60和72的公约数，而且要比3大．所以只能是4个、6个或12个．
14. 对四位数abcd，假设存在质数p和正整数k，使a×b×c×d=p k，且a+b+c+d=p p−5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。

【答案】1399
【分析】①范围分析：a+b+c+d⩽36⇒p=3⇒a+b+c+d=27−5=22；
②质因子分析：a×b×c×d=3k⇒a、b、c、d为1、 3、 9⋯；
③极值突破：a=1,b=3,c=9,d=9⇒abcd，最小是1399．
15. 一个自然数N共有9个约数，而N−1恰有8个约数．满足条件的自然数中，最小的和第二小
的分别是多少？
【答案】196；256
【分析】有9个约数的数可以表示为两种形式：a8或a2×b2．从小往大逐个尝试发现22×72= 196，195=3×5×13，有8个约数．28=256，255=3×5×17，有8个约数．因此最小的
和第二小的分别是196和256．
17. 把假设干个自然数1，2，3，⋯乘到一起，如果这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最
后出现的自然数最小应该是多少？
【答案】55
【分析】方法一：要求乘积的末十三位均是0，那么这个乘积至少含有13个质因数2，13个质
因数5．
连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数．所以只用考虑质因数5的个数，有：
13×5=65，而1∼65中，25、50均含有2个质因数5．
所以只需连乘到(13−2)×5=55即可．也就是说1×2×3×⋯的积的末十三位均是0，那么
最后出现的自然数最小应是55．
方法二：我们分段考虑质因数5的出现的情况：
在1至9中，有5本身，出现1次因数5；
在10至19中，有10、15，出现2次因数5；
在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出现了2次，所以共出现3次因数5；
在30至39、40至49中，各出现2次5的因子，至此共出现了1+2+3+2+2=10次5的因子．在50至59中，有50、55、50=2×5×5出现了两次5的次因子，所以这里共有3个5的因子．
所以到55为止，共出现13次5的因子，55为出现的最小自然数，使得2乘到它的结果中末尾有
13个0．
18. 如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4
个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数．可以连续地数出几个零？
【答案】10
【分析】如下列图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数2、5个数的和．
所以，最后一行的一个数含有10个质因数2，15个质因数5．
而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾
含有10个连续的0．
19. 把自然数从1开始作连乘积，即：1×2×3×4×5×⋯当乘到40，乘积的末尾连续出现多
少个“0〞？
【答案】9
【分析】每个因数5，与偶数的乘积，会在末尾增加1个0，连续自然数，偶数足
够多，只需要考虑因数5的个数，1到40中有9个因数5，所以乘积的末尾有9个“0〞．
20. n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008．请问：n最小是多少？
【答案】502
【分析】由于2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8．
如果这n个数的和为2008，平均数为1，那么n为2008．
如果这n个数的和为1004，平均数为2，那么n为502．
如果这n个数的和为502，平均数为4，那么这不可能．
如果这n个数的和为251，平均数为8，那么这不可能．
因此n最小是502．
21. 111111111的第二大的约数是多少？
【答案】37037037
【分析】简答：111111111第二小的约数为3，因此第二大的约数为11111111÷3= 37037037．
22. 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按适宜的顺序写成一行，使得这一行数中的任
何一个都是它前面所有数之和的约数．
【答案】其中一个答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．
【分析】设填好后的数从左往右依次为a1,a2,⋯,a11,所有数的和为66，那么有a11∣66−a11，故a11∣66，可以设a11=11，那么其余数的和为55，那么倒数第二个数肯定是55的约数，可
以填5；还剩50，那么倒数第三个数肯定是50的约数，可以填10，最后经过尝试得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、3、7、2、6、4、10、5、11等答案．
观察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11这组答案，可以发现一个一般的规律：
假设所给数是1∼2n+1，那么n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n，2n+1符合题意；
假设所给数是1∼2n，那么n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n符合题意．
23. 24有哪些约数？36有哪些约数？公共的约数有哪些？最大的是多少？
【答案】12
【分析】24的约数1，2，3，4，6，8，12，24；
36的约数1，2，3，4，6，9，12，18，36．
公共的约数为1，2，3，4，6，12．最大的为12．
24. 试求1981×1982×1983×1984×1985×⋯×2005这25个数相乘，积的末尾有多少个连
续的“0〞？
【答案】7
【分析】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因数5分别有1，1，1，3，1个，所以共
有l+1+1+3+1=7(个)因数5；
其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含
有因数2，分别有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2个，所以共有1+6+1+2+1+
3+1+2+1+4+1+2=25(个)因数2．
其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7．
25. 一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？
【答案】1350
【分析】一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，满足条件的形式为25×3x或a×b2×3x，前一种情况不可能满足“恰有8个约数不是5的倍数“．因此只能取a×b2×3x的形式，并且x只能等于3，b只能等于5，再考虑偶数，那么a只能等于2，因此这个数为2×52×33=1350．
26. 甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008．请问：满足上述条件的自然数有几组？
【答案】4
【分析】由题目条件得，
甲×甲−甲×乙=甲×(甲−乙)=2008,
将2008写成两个数乘积的形式，有如下几种：
2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8.
因此满足条件的甲、乙数为(2008,2007)、(1004,1002)、(502,498)、(251,243)，共有4组．27. 28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？
【答案】6个；共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.
【分析】28=22×7，共6个因数，枚举6个因数的两位数．6=1×6=2×3，原数为a5或b2c形式共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.
28. 把假设干个自然数1、2、3、⋯⋯连乘到一起，如果这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？
【答案】55；59
【分析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．
5=5×1，10=5×2，15=5×3，20=5×4，25=5×5，30=5×6，⋯⋯，发现只有25、50、75、100、⋯⋯这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11+2=13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．
【答案】1763664903
30. 某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了假设干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人？共调进了多少工人？
【答案】4
【分析】1月份共有31天，所以这个车间的原有工人至少生产出了
63×31=1953(件)
或增加31的倍数，但因不超过1994件，所以工厂的原有工人生产了1953或1984件．
所以，后来调进的工人生产了
1994−1953=41(件)
或
1994−1984=10(件)
易知后来调进的工人生产的产品总数是假设干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．
有
41=1×41
所以奇约数只有1和41，这样的数只有一种表达为假设干个连续自然数和的形式
41=20+21
所以调入的次数n=2，第一次调入的人数x=20，共调进人数
x+n−1=20+2−1=21(人)
10=2×5
所以奇约数只有1和5，这样的数只有一种表达为假设干个连续自然数和的形式
10=1+2+3+4
所以调入的次数n=4，第一次调入的人数x=1，共调进人数
x+n−1=1+4−1=4(人)
所以为：调人2天，1月30日开始调入，共调进21人；调入4天，1月28日开始调入，共调进4人．31. 计算：
〔1〕37×( )=666；37×( )=888；
〔2〕8547×( )=888888；8547×( )=999999．
〔3〕12345679×( )=999999999．
【答案】〔1〕18;24；〔2〕104;117；〔3〕81
【分析】〔1〕观察算式发现一个因数是37，而积是重叠数．所以我们可以分析下面算式
37×3=111，
37×3×2=222，
37×3×3=333，
37×3×4=444，
37×3×5=555，
37×3×6=666，
37×3×7=777，
37×3×8=888；
〔2〕观察算式发现一个因数是8547，积是重叠数，当然我们可以用积除以一个因数，该题是
有特点的，我们从下面的式子来分析．
8547×13=111111，
8547×13×2=222222，
8547×13×3=333333，
8547×13×4=444444．
不难发现8547乘以一个13是111111，乘以两个13是222222，乘以三个13是33333，⋯，乘以
八个13是888888，乘以九个13是999999，乘以n个13就是nnnnnn．〔n是1至9的自然数〕
原式=8547×(13×8)
=8547×104
=888888;
原式=8547×(13×9)
=8547×117
=999999.
〔3〕观察算式发现一个因数是12345679，积是重叠数，当然我们可以用积除以一个因数，该
题是有特点的，我们从下面的式子来分析．
12345679×9=111111111,
12345679×9×2=222222222,
12345679×9×3=333333333,
12345679×9×4=4444444444,
⋯
原式=12345679×9×9
=12345679×81
=99999999.
所以，括号内填81．
32. 猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数
的密码是：
A B C D E F
他又发现主人为了防范忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数，B的所
有因数是1，2，4，8，C是最小的自然数．D只有一个因数，E既是质数，又是偶数，F既是9
的因数又是9的倍数．你能帮助小侦探找到密码翻开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么？
【答案】580129；理由见解析．
【分析】A是5的最大因数，因为5的最大因数是5，所以A是5；B的所有因数是1，2，4，8，
根据一个数最大的因数是它本身，可知B是8；C是最小的自然数，最小的自然数是0，所以C是0；D只有一个因数，是1；E是2；F既是9的因数又是9的倍数，所以F是9；由此即可写出答案．33. 一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两
位数的约数中，最大的是多少？
【答案】96
【分析】设这个数为A，有A=25×33×56×7，99=3×3×11，98=2×7×7，97均不是A的约数，而96=25×3为A的约数，所以96为其最大的两位数约数．
34. 两个自然数的差为16，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？
【答案】5；16
【分析】最大公因数一定是16的因数，16共有5个因数，所以最大是16．
35. 蓝精灵王国的A、B两地的距离等于2010米．国王派1号信使从A地出发以1米/分钟的速度向B地送信，一分钟后又派出第2号信使用比1号信使快1米/分钟的速度向B送信，……，同样，
第k分钟后又派出第k+1号信使用比第k号信使快1米/分钟的速度向B送信，直到第2009分钟后，派出第2010号信使用比第2009号快1米/分钟的速度向B送信．每个信使都是匀速行进．问
其中哪些号的信使能同时到达B地？
【答案】同时到达B地的送信精灵的号数为(1,2010)，(2,1005)，(3,670)，(5,402)，(6,335)，(10,201)，(15,134)，(30,67)共8对．
【分析】设第m号与第n号送信使(m<n)可以同时到达B点．那么它们的速度分别是m米/分钟
和n米/分钟．走完全程的时间分别为2010
m 分钟和2010
n
分钟，因为第m号送信精灵比第n号送信精
灵行路中应多用n−m分钟，所以成立等式2010
m −2010
n
=n−m．
由此得mn=2010=1×2×3×5×67．
所以同时到达B地的送信精灵的号数为(1,2010)，(2,1005)，(3,670)，(5,402)，(6,335)，(10,201)，(15,134)，(30,67)共8对．
36. 假设干个连续自然数1，2，3⋯的乘积的末尾有13个0，这些自然数中最大是？
【答案】59
【分析】每个因数5，与偶数的乘积，会在末尾增加1个0，连续自然数，偶数足
够多，只需要考虑因数5的个数．末尾有13个0，那么就要有13个因数5，每5个连续自然数，至少含有一个因数5，13×5=65，即1～65中5的倍数有65÷5=13个，25的倍数有25和50这2个，一共有13+2=15个因数5，所以要去掉65和60，那么最大的一个自然数就是59．37. 26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
【答案】36个；6个．
【分析】26460=22×33×5×72，约数是6的倍数，那么因子2可以选21或22，因子3可以选31、32或33，5和7可以任意选，因此共有2×3×2×3=36个．与6互质的约数不含有2和3，因子5和7可以任意选，共有2×3=6个．
38. 有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是13，17，19，111，133
，另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数．
【答案】15，115，145，
1385
【分析】 1−(13+17+19+111+133)=2×1013×3×7×11=10103×3×5×7×11. 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×11的约数．因此，
它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得
693+231+77+9=1010. 所以，其余的4个分数是：15，115，145，1385．
39. 有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数．请问：这个正整数是多少？
【答案】156
【分析】设这个正整数为n ，那么
n +100=b 2,n +168=a 2,
两式相减得
a 2−
b 2=68,
而
a 2−
b 2=(a +b)×(a −b),
由于68=1×68=2×34=4×17,由此可得
{a +b =34,a −b =2,
解得
{a =18,b =16,
所以n 为156．
40. 200以内恰有10个因数的数有多少个？
【答案】5
【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a 4×b ，a 只能取2和3：24×3、24×5、24×7、24×11、24×13=208>200；34×2、34×5=405>200，综上，共有5个． 41. 一个正整数n ，它是75的倍数，并且有75个因数，求n 75
的最小值． 【答案】432
【分析】把75分解质因数75=3×52，所以n 必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为
2．根据约数个数公式
75=3×5×5=(2+1)×(4+1)×(4+1),
即知，n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次．所以n可表达为：n=x2×y4×z4，要使n最小，显然x=5，y=3、z=2，即
n=52×34×24=25×81×16=32400,
n
=50×33×24=33×24=432.
75
42. 24
表示的是正整数，那么满足要求的正整数X共有多少个？
x−1
【答案】8
【分析】因为24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
当x−1=1时，x=2；
当x−1=2时，x=3；
当x−1=3时，x=4；
当x−1=4时，x=5；
当x−1=6时，x=7；
当x−1=8时，x=9；
当x−1=12时，x=13；
当x−1=24时，x=25；故满足要求的正整数X共有8个．
43. 一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．
【答案】130
【分析】最小的那个约数肯定是1，接着感觉到还是不好下手，先考虑奇偶分析．〔或随便尝试几种情况后肯定会想到奇偶分析〕如果这个数不含因数2，即为奇数．
由于12+奇2+奇2+奇2=偶，矛盾．
如果这个数含因数2，即为偶数，由于12+22+奇2+奇2=奇，12+22+偶2+奇2=偶，12+22+奇2+偶2=偶，12+22+偶2+偶2=奇，那么只有1、2、偶、奇和1、2、奇、偶这两种情况可能，故这个数最小的四个约数从小到大依次为：1、2、4、p或1、2、p、
2p．〔其中p为1个非2的质数〕
对于1、2、4、p，说明p∣12+22+42+p2，即p∣21+p2，所以p∣21，那么p是3或7，经验证都不对．
对于1、2、p、2p，说明p∣12+22+p2+(2p)2，即p∣5+5p2，整理得p∣5(1+p2)，很明显p不能整除1+p2，所以p只能是5，所以这个数是5×(1+52)=130．
44. A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．数A有12个约数，数B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？
【答案】2550
【分析】方法一：由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b，其中a、b为整数且只含质因子3、5．
即A:31+x×52+y，B=31+m×52+n，其中x、y、m、n均为自然数〔可以为0〕
由A有12个约数，所以
[(1+x)+1]×[(2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12,
所以\[ \left\{\begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
y = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.,\left\{ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
y = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \]
或\[ \left\{\begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
y = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right. \]
对应A为31+2×52=675，31+1×52+1=1125，或31+0×52+4=46875；
由B有10个约数，所以
[(1+m)+1]×[(2+n)+1]=(2+m)×(3+n)=10,
所以$$\left\{ \begin{gathered}
m = 0 \hfill \\
n = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$对应B为31+0×52+2=1875．
只有(675,1875)=75，所以A=675，B=1875．
那么A，B两数的和为675+1875=2550．
方法二：由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它
出现了N次3，那么约数有：(2+1)×(N+1)=3×(N+1)(个)
12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)=12，易知N=3，这个数是A，即A=
33×52=675．
那么B的质数中出现了一次3，多于两次5，那么出现了M次5，那么有：
(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10,
M=4．B=3×54=1875．
那么A，B两数的和为675+1875=2550．
45. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位
同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，
其余同学都对，问：
〔1〕说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
〔2〕如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．
【答案】〔1〕8和9；〔2〕60060
【分析】〔1〕为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为a．根据2～15号同学所述结论，
2∼15中只有两个连续的自然数不能整除a，其他的数都能整除a．由于2∼7中的每一个数的2倍都在15以内，如果2∼7中有某个数不能整除a，那么这个数的2倍也不能整除a，然而2∼7
中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2∼7中每一个数都是a的约数．由于2与5互质，那么2×5=10也是a的约数．同理可知，12、14、15也都是a的约数．还剩下的四
个数为8、9、11、13，只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编
号分别是8和9．
〔2〕1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是：22×3×5×7×11×13=60060．因为60060
是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是60060．
46. 有一个长长的纸条，里面有37个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从1到37，既
不重复，也不遗漏．但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第1个数能被第2个数整除，第1
个数与第2个数之和能被第3个数整除；第1、2、3个数之和能被第4个数整除，⋯这个规律一
直要保持下去，直到前面36个数的和能被最后一个数整除为止．
37⋯?
如果第一个方格内已填入37，那么最后一个方格中填几？
【答案】19
【分析】因为题目要求前面36个数的和能被最后一个数整除，而
1+2+⋯+36+37=1×19×37.
假设最后一个数填n，那么，前面36个数的和等于：1×19×37−n，所以，为了让前面36个数的和1×19×37−n能被最后一个数整除，就要求1×19×37中含有n，这样，最后一格可填1或19或37．
但第一个数已经填了37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填1．
所以，最后一个方格中的可填的数是只能是19．。