最新人教版七年级数学上册第二章《整式的加减》学习导航

2.1 整式的加减
【名师解惑】
1．如何理解多项式的升幂排列与降幂排列．
释疑：对于只含一个字母的多项式，若按降幂排列先找次数最高的，再逐次降低，常数项放在最后，反之是按升幂排列；对于含两个或两个以上字母的多项式重排时，先确定是按哪个字母升（降）幂排列，再将不含这个字母的项按升幂排列时，排在第一项，按降幂排列时，排在最后一项. 比如，多项式x 4y 2－7xy +6+3x 5y 3按x 的降幂排列为3x 5y 3+x 4y 2－7xy +6；按x 的升幂排列为6－7xy +x 4y 2+3x 5y 3.
2．如何理解同类项及合并同类项．
释疑：识别同类项的标准是：①对几个单项式而言；②所含字母相同；③相同字母的指数相同．
同类项与其系数无关，与所含字母的顺序无关.比如，－2和0是同类项，3x 2y 和－yx 2是同类项，而－a 2b 与ab 2，12ax 与12bx 不是同类项．
合并同类项的实质是应用乘法分配律．法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．
3．如何准确地进行整式加减运算．
释疑：整式的加减实质就是合并同类项，思路简单，但容易出现如下错误：
（1）合并同类项时，找不准同类项，比如，x 2+x 3＝x 5.
（2）去括号时，常出现符号错误，例如，－（2x 2－3xy +y 2）＝－2x 2－3xy +y 2.
【讲练互动】
【例1】(1)－7
23
2y x 的系数是_____，3ab 3的次数是_______，m 3的系数是_______； (2)多项式6m 5n －8m 2n +3mn 3＋1共有_______项，它的次数是_______次；
(3)已知4a m －3b 5与3a 2b 2n +3的和仍是一个单项式，则m ＝_______，n ＝_______．
【解析】直接利用单项式、多项式和合并同类项等有关概念解答.
(1)单项式的所有的数字因数都是它的系数，a 的次数不是0而是1，系数是1的时候可以省略；
(2)常数项是多项式中比较特殊的项，但它也是一项，在表达项数时不能把它漏掉；多项式的次数概念和单项式的不一样，它的次数不是所有字母的指数之和，而是次数最高的项的次数，要注意两者之间的区分.
（3）要想两个单项式的和仍是单项式，这两个单项式一定是同类项才行，否则不能合并，因此根据同类项的概念可得到一个关于m 、n 的简单方程，由m －3＝2，知m ＝5；由5＝2n ＋3，知n ＝1.
【答案】(1)－7
2 4次 1 (2)4 6 (3) 5 1 【绿色通道】对于单项式、多项式概念的理解，要根据定义分清字母和常数．
【变式训练】
(1)已知(x －3)a |x |b 3是关于a 、b 的6次单项式，试求x 的值.
(2)已知多项式6m 5n －8m 2x +3n +3mn 3－8，若这个多项式是一个八次多项式，求x 的值并写出它的各项及项的系数和次数.
解析：(1)单项式的次数是项中各字母次数之和，由此可得到一个关于x 的简单方程，解出这个方程即可得到x 的值，但要注意不能使系数为0，否则就不是关于a 、b 的6次单
项式了.
(2)多项式的次数是次数最高的项的次数，因此对各项的次数分析可知，只有第二项才可能是八项式，由此可求出x .
解：(1)由题意，知|x |+3＝6，因此x ＝±3，但因为x －3≠0，即x ≠3，所以x ＝－3.
(2)由(2x ＋3)＋1＝8，知x ＝2.
它的项及项的系数、次数分别为：6m 5n 的系数是6，次数是6；－8m 7n 的系数是－8，次数是8；+3mn 3的系数是3，次数是4；－8是常数项，次数是0．
【例2】先化简，再求值：
5x 2－(3y 2＋5x 2)＋(4y 2＋7xy )，其中x =－1，y ＝1．
【解析】本题考查的是整式的加减运算，应先去括号再合并同类项，最后带入求值．合并前，一般先画出同类项．
解：5x 2－(3y 2＋5x 2)＋(4y 2＋7xy ) ＝5x 2－3y 2－5x 2＋4y 2＋7xy
＝y ＋7xy ．
当x ＝－1，y ＝1时，y 2＋7xy ＝－6.
【绿色通道】求代数式值的问题，要注意解题步骤，切忌直接代入．代数式求值问题中，一般是先化简再代值计算．而已知字母数值的给出有的是直接给出，有的是整体给出，有的是用特殊形式给出．
【变式训练】
若代数式2x 2＋3x ＋7的值为8，则代数式4x 2＋6x －9的值为（ ）
A.2
B.－17
C.－7
D.7
解析：把2x 2＋3x 作为一个整体，把2x 2＋3x ＝1代入4x 2＋6x －9＝2(2x 2＋3x )－9＝－7． 答案：C
【例3】A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司年薪10 000元，从第二年开始每年加工龄工资200元，B 公司半年薪5 000元，每半年加工龄工资50元，从经济收入的角度考虑的话，选择哪家公司有利？
不过逐年计算每家公司的收入过于麻烦，所以应借助于字母n ，计算第n 年在每个公司的收入，并进行比较，才能使对问题的讨论具有一般性，才能保证结论是正确的.
解：第n 年在A 公司收入为10 000+200（n －1）；
第n 年在B 公司收入为[5000+100(n －1)]+[5 000+100(n －1)+50]=10 050+200(n －1). ∵10 000+200(n －1)－[10 050+200(n －1)]＝－50,∴选择B 公司有利.
【绿色通道】这是一道决策题，使用了代数式、整式加减及大小比较的方法等知识解决，这说明数学就在我们身边.
多项式比较大小时，经常用比差法：若a －b >0，则a >b .
两个正数时，还可以用比商法：若a b
>1(a >0,b >0)，则a >b . 【变式训练】
三角形的周长为56，第一边长为3a ＋2b ，第二边长的2倍比第一边长少a －2b ＋2，求第三边长.
解析：根据三角形第一边与第二边的关系，再根据周长等于56，就可以列出式子，然
后化简就可以了．
解：根据题意，知第二边长为12
［(3a+2b )－(a －2b+2)］， 第三边长为56－(3a ＋2b )－12
•［(3a+2b )－(a －2b+2)］ ＝56－3a －2b －12
(2a ＋4b －2) ＝56－3a －2b －a －2b ＋1
＝57－4a －4b ，
所以第三边长为57－4a －4b .
【例4】已知A =2x 2+3ax －2x －1，B =－x 2+ax －1，且3A +6B 的值不含x 项，求a 的值.
【解析】一个多项式不含哪一项，说明这一项的系数为0.
解：当A =2x 2+3ax －2x －1，B =－x 2+ax －1时，
3A +6B ＝3(2x 2+3ax －2x －1)+6(－x 2+ax －1)
＝6x 2+9ax －6x －3－6x 2+6ax －6
＝15ax －6x －9
＝（15a －6）x －9.
因为3A +6B 中不含x 项，即x 项的系数为零，所以15a －6＝0，即a ＝ 25
. 【绿色通道】整式加减运算的实质是合并同类项. 不含x 项的意思是x 的系数是0，由此算出a 的值.
【变式训练】有人说，任何含字母的式子的值，都随着字母取值的变化而变化；有人说未必如此，还举了一个例子，说：不论x 、y 取任何有理数，多项式(x 3+3x 2y －2xy 2+1)+(－xy 2+x 2y －2x 3+2)+(x 3－4x 2y +3xy 2－8)的值恒等于一个常数，你认为哪种意见正确？请加以说明.
解析：这个多项式不是最简多项式，把它化简后就明确了．
解：原式＝x 3+3x 2y －2xy 2+1－xy 2+x 2y －2x 3＋2+x 3－4x 2y +3xy 2－8
＝（1－2+1）x 3+(3+1－4)xy 2+(1+2－8)
＝－5．
这个多项式的值确实是与x 、y 的值无关，恒等于－5，可见，后一种意见是正确的.。