20-21版：微专题1 计数问题的常用方法（步步高）

微专题1计数问题的常用方法

有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等．求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解．

一、“多面手”问题

例1某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？

解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．

方法一分两类．

第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．

第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．

所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．

方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．

第一类：甲入选．

(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；

(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．

第二类：甲不入选．可分两步．

第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．

综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．

反思感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示

具体意义如下：

从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．

所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，

“类”与“步”可进一步地理解为：

“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．

二、“相邻”与“不相邻”问题

例2把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

答案36

解析记其余两种产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，有A22A33种方法，再将C插入，每种排列均只有3个空位可选，故不同的摆法共有A22A33×3＝2×6×3＝36(种)．

反思感悟解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列．

三、含“至多”“至少”的问题

例3某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()

A．720 B．768 C．810 D．816

答案 B

解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A44＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；

其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A33＝48(种)，

则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．故选B.

反思感悟求解含有附加条件的计数问题的两种方法

通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解．对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即间接求解，也可以通过分类讨论直接求解．

四、组数问题

例4有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

解方法一(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：

(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面

或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 13·

22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C 24·

22·A 33个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C 34·23·A 33个．

综上所述，共有不同的三位数

C 14·C 12·C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432(个)．

方法二 (间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C 35·23·A 33个，其中0在百位的有C 24·22·A 22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C 35·23·A 33－C 24·22·A 22

＝432(个)． 五、分组分配问题

例5 登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )

A ．30

B ．60

C ．120

D ．240

答案 B

解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有C 24C 22A 22

种，再将余下的6人平均分成两组，有C 36C 33A 22

种，然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有C 24C 36A 22＝60(种)． 反思感悟 本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以A m m ，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．

例6 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．

(1)每个盒子都不空；

(2)恰有一个空盒子；

(3)恰有两个空盒子．

解 (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C 35＝10(种)方法．

(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C 25种方法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一

块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C 14种方法，故共有C 25C 14＝40(种)方法．

(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C 15种方法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如||00||0000|，有C 23种方法．

②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C 13种方法．

故共有C 15·(C 23＋C 13)＝30(种)方法．

反思感悟 相同元素分配问题的处理策略

(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子