2018-2019学年吉林省长春实验高中高二上学期期末考试数学(文)试题

2018-2019学年吉林省长春实验高中高二上学期期末考试
数学（文）试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】C
【解析】
试题分析：，选C.
考点：分层抽样.
2.已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义进行判断即可.
【详解】p：a≠0，q：ab≠0，显然a≠0，不一定有ab≠0，但是ab≠0⇒a≠0，所以p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断
命题p与命题q的关系．
3.已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么p是（）
A. ∀x≤2，x3－8≤0
B. ∃x≤2，x3－8≤0
C. ∀x>2，x3－8≤0
D. ∃x>2，x3－8≤0
【答案】B
【解析】
命题的否定，就是把命题的结论否定，条件不变，但条件中的存在量词必须作相应的改变，因此是．选B．
【考点】命题的否定．
4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=
5.已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是( )
A. y＝2x－2
B. y＝2x＋2
C. y＝x－1
D. y＝x＋1
【答案】C
【解析】
略
6.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为,因为椭圆上
任意一点到两焦点的距离之和为,所以根据椭圆的定义可得,则
,,选B
考点：椭圆定义离心率
7.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由中位数为5，求出x值，再利用平均数和方差公式计算即可得到答案．
【详解】∵﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，
∴，
∴x＝6，
∴这组数据的平均数是
这组数据的方差是
故选：A．
【点睛】本题考查对一组数据的中位数，平均数，方差的计算，掌握各公式是求解的关键.
8.已知双曲线C： (a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A. y＝±x
B. y＝±x
C. y＝±x
D. y＝±x
【答案】C
【解析】
【分析】
由离心率和a,b,c的关系可得b2＝4a2，即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e＝＝＝，即4b2＝a2，
故渐近线方程为y＝±x＝±x，
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，主要考查双曲线的渐近线方程，属基础题．
9.函数，x∈[0,4]的最大值为（）
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数f(x)求导，得到函数的单调性，由单调性即可得到函数的最值.
【详解】,则，
当x∈（0,1）时，，则函数在（0,1）上单调递增，
当x∈（1,4）时，，则函数在（1,4）上单调递减，
所以当x=1时函数取到最大值为f(1)=,
故选：B
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，属于基础题.
10.在（0，1）之间随机取两个数，则的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得x、y满足的区域为的边长为1得正方形内部，而表示正方形内部且在直线x+y＝下方的部分，计算两部分面积，由几何概型公式计算即可.
【详解】由题意得满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，即如图的正方形OABC的内部，其面积为S＝1×1＝1，
若两数之和小于，即x+y＜，对应的区域为直线x+y＝下方，且在正方形OABC内部，即如图的阴影部分．
∵直线x+y＝分别交BC、AB于点D（，1）、E（1，），
∴S△BDE＝．
因此，阴影部分面积为S'＝S ABCD﹣S△BDE＝1-＝．
由此可得：两数之和小于概率为P＝．
故选:A
【点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，解决几何
概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
11.设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为（）
A. 9,12
B. 8,11
C. 10,12
D. 8,12
【答案】D
【解析】
【分析】
椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P到两焦点的距离|PF1|+|PF2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF1|+|PF2|减去两个半径和加上两个半径．
【详解】∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆的焦点，∴|PF1|+|PF2|＝10，两圆的半径r＝1，
∴（|PM|+|PN|）min＝|PF1|+|PF2|﹣2r＝10﹣2＝8．
（|PM|+|PN|）max＝|PF1|+|PF2|+2r＝10+2＝12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．
12.已知偶函数f(x)在定义域内可导，且，设，，，则（）
A. a<b<c
B. c<a<b
C. c<b<a
D. b<c<a
【答案】B
【解析】
【分析】
由知，f（x）在（0，+∞）上为减函数，根据函数的奇偶性和单调性即可得到a,b,c 的大小关系.
【详解】因为，当x>0时，,即函数在上单调递减，又函数为偶函数，则a=f(-1)=f(1),又<1<2,则>>,即c<a<b,
故选：B.
【点睛】利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意
转化在定义域内进行
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为____.
【答案】0. 18
【解析】
试题分析：设阴影部分的面积为，由于边长为的正方形的面积为，并且在边长为的正方形中，随机撒粒豆子，有粒落到阴影部分，则，解得，故答案应填.
考点：几何概型.
【此处有视频，请去附件查看】
14.已知为椭圆C： (a>b>0)上一点，若，则_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】
令|F1P|＝m、|PF2|＝n，由椭圆的定义得m+n，在Rt△F1PF2中，由勾股定理得m2+n2，从而可得m•n的值，即得△F1PF2的面积，从而得到答案．
【详解】令|F1P|＝m、|PF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a①，
Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2＝m2+n2②，由①②可得mn＝2b2，
∴△F1PF2的面积是==9,即b=3,
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查椭圆的定义，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
15.已知函数有两个零点，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数f(x)求导,然后分a0和a>0来确定函数的单调区间，得f（）＞0，进而可求得a 的取值范围；
【详解】f′（x）＝-a+（x＞0），
当a0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，故函数在x＞0时单调递增，与题意不符，舍去；
当a>0，f′（x）＝-a+＝，时，x=,
∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时f′（x）＜0，
即函数f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，
∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，要保证函数有两个零点，
只需f（）＝﹣1+ln（）＞0，解得0＜a＜，
综上a的取值范围；
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，研究函数最值和函数零点问题，考查数学分类讨论思想的运用.
16.过双曲线(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝ (＋)，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
如图，∵＝ ()，∴E为FP的中点，又O为FF′的中点，∴OE为△PFF′的中位线，∴OE∥PF′，OE＝PF′，
∵OE＝a，∴PF′＝a，∵PF切圆O于E，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，
∵FF′＝2c，PF－PF′＝2a，∴PF＝2a＋a＝3a，
∴由勾股定理得a2＋9a2＝4c2，
∴10a2＝4c2，∴e＝＝.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.某班抽取20名学生周测物理考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a的值，并写出众数；
（2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．
【答案】（1）a＝0.005.众数：75（2）2,3 (3).
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1，求出a，再根据众数的定义计算即可得到答案.（2）利用频率分布直方图能求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．（3）利用列举法得到成绩在[50，70）的学生中任选2人的基本事件总数以及此2人成绩都在[60，70）中包含的基本事件数,由概率公式计算即得到答案.
【详解】（1）据直方图知组距＝10，由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，
解得a＝0.005,众数：75
（2）成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3
(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60,70)中的3人为B1，B2，B3，
则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
记“两人成绩都落在[60,70)”为事件C，
则事件C包含的基本事件有3个：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
.
【点睛】本题考查频率分布直方图的众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，还考查了古典概型概率的求解.
18.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【答案】（1）（2）1或－1.
【解析】
试题分析：（I）由已知条件可得和的值，利用可得的值，进而可得椭圆的方程；（II）先设、的坐标，再联立直线的方程和椭圆的方程，消去，化简得关于
的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，由弦长公式求|MN|，由点到直线的距离公式求△AMN的高，再根据三角形的面积求．
试题解析：（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．
（2）由得．
设点M，N的坐标分别为，，则，，，
．
所以|MN|===．
由因为点A（2,0）到直线的距离，
所以△AMN的面积为．由，解得，经检验，所以．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．解题时要注意运用弦长公式和点到直线的距离公式，最后注意验证．
【此处有视频，请去附件查看】
19.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数据资料，算得＝80，＝20，＝184，＝720.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
参考公式：
【答案】(1) y＝0.3x－0.4(2)正相关(3) 1.7(千元)．
【解析】
试题分析：(1)先根据所给数据算出样本中心点的坐标，再根据所给数据算出公式
所需要的有关量，从而可得到的值，将样本中心点的坐标代入回归方程即可得
到的值，进而可求得回归方程；（2）由所求回归方程的斜率的正负，可判断两变量间是正相关还是负相关；（3）代入所求回归方程可预测该家庭的月储蓄．
(1)由题意知n＝10，＝＝＝8，＝＝＝2.
又l xx＝－n2＝720－10×82＝80，
l xy＝y i＝n＝184－10×8×2＝24.
由此得b＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及其应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依
据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计
算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性
质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点K(－1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，
直线l与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设·＝，求直线l的方程．
【答案】（1）y2＝4x（2）3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.
【解析】
【分析】
（1）由点K（﹣1，0）为直线l与抛物线C准线的交点知－＝－1，从而可求抛物线C的方
程；（2）设直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，根据·＝，结合韦达定理，即
可求直线l的方程．
【详解】（1）依题意知－＝－1，解得p＝2,所以抛物线C的方程为y2＝4x. （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)．
将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.
由Δ>0，得m2>1.从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.
所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1
因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，
故8－4m2＝，解得m＝±满足m2>1.
所以直线l的方程为x＝±y－1.
即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
21.设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求函数定义域，由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；
（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的单调性可得lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；
【详解】（1）由题设，的定义域为，
，令，解得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．
由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；
设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）＝0，
即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；
【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求函数单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．
22.已知函数f（x）=x2+alnx．
（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；
（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．【答案】（1）极小值f（1）=；（2）e2+1；（3）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）代入a=﹣1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；
（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．
解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x﹣=；
故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=；
（2）当a=1时，f（x）=x2+lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x+＞0；
故f（x）在[1，e]上是增函数，
故f min（x）=f（1）=，f max（x）=f（e）=e2+1；
（3）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx；
则F′（x）=2x2﹣x﹣=，
∵x∈[1，+∞），
∴F′（x）=≥0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函数，
故F（x）≥F（1）=﹣=＞0；
故在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．。