第六章第二节基本不等式

a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
2．利用基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知 a，b，x，y 为正实数，若 ax＋by＝1，则有1x＋1y＝(ax＋by)1x＋1y＝ a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2. (2)已知 a，b，x，y 为正实数，若ax＋by＝1，则有 x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a ＋b＋axy＋byx≥a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2.
1
2
1
－λ)m，3＝λn，解得m＝31－λ，n＝3λ.因为点M在点P，Q之间，所以λ
21 2
21＋3λ
∈(0,1)，所以mn＋m＝31－λ·3λ＋31－λ＝－1＋3λ2＋51＋3λ－4＝
2
2
4
1
－1＋3λ＋1＋43λ＋5 ≥－2×2＋5 ＝2，当且仅当1＋3λ＝ 1＋3λ ，即λ＝3
时等号成立，mn＋m取得最小值2.
即 y2＝12，x2＝130时取等号， 故 x2＋y2≥45， 即 x2＋y2 的最小值为45. 答案：45
题型二 基本不等式的实际应用 合作探究
[例] (2021·泰安调研)某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售 价格最多可提高多少元？
2．若 a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为( C )
A．8
B．6
C．4
D．2
3．(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由 5x2y2＋y4＝1，可得 x2＝1－ 5y2y4，
由 x2≥0，可得 y2∈(0,1]，
D．6
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积 是________ m2. 答案：25
题型一 利用基本不等式求最值 多维探究
利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数 的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．常见的命题角度有：
2x·5x0＋34＝443，
故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销 售收入与总投入之和.
利用基本不等式求解实际问题的两个注意点 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并 引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求 解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可 利用函数单调性求解.
，
→ AQ
＝n
→ AC
(m，n∈R)，则mn＋m
的最小值为( D )
A．1 C. 3
B． 2 D．2
[解析]
连接AM(图略)，由题知
A→M
＝
A→B
＋
B→M
＝
A→B
＋
1 3
B→C
＝
2 3
A→B
＋
1 3
A→C，A→P＝mA→B，A→Q＝nA→C，且Q，P，M三点共线，所以存在实数λ使得
A→M＝λA→Q＋(1－λ)A→P，即有23A→B＋13A→C＝(1－λ)mA→B＋λnA→C，所以23＝(1
⑤不等式a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C
3．(2021·济宁调研)若正数x，y满足1y＋3x＝1，则x＋3y的最小值为( C )
A．24
B．18
C．12
所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－ 1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75y－87002＋12070000＜y＜4300， 当y＝8700时，PQ有最小值2007 21，此时x＝2700. 即AP长为2700米，AQ长为8700米时，可使竹篱笆用料最省．
均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最 小 值是2 p
(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x＝y
时，xy有最
大
值是
s2 4
(简
记：和定积最大)．
• 温馨提醒 • 二级结论 1．三个重要的结论 (1)a2＋2 b2≥a＋2 b2. (2)ba＋ab≥2(ab＞0)． (3)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
考法(二) 通过常数代换法求最值
[例2]
(2021·湖北八校联考)已知x＞0，y＞0，且
1 x
＋
9 y
＝1，则x＋y的最
小值为( B )
A．12
B．16
C．20
D．24
[解析]
由题意x＋y＝
1x＋9y
(x＋y)＝1＋
y x
＋
9x y
＋9≥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋2
x＞0， y＞0， 16，当且仅当1x＋9y＝1，即 yx＝9yx，
解析：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b＝ 12时，等号成立，即有 ab≤14. 对于 A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故 A 正确； 对于 B,2a－b＝22a－1＝12×22a，
因为 a＞0，所以 22a＞1，即 2a－b＞21，故 B 正确； 对于 C，log2a＋log2b＝log2ab≤log214＝－2，故 C 错误； 对于 D，由( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝1＋2 ab≤2，得 a＋ b≤ 2，故 D 正确．
[解析] (1)设商品的销售价格提高 a 元， 则(10－a)(5＋a)≥50，解得 0≤a≤5.
所以商品的价格最多可以提高 5 元．
(2)由题意知，技术革新后的销售收入为 mx 万元，
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足 mx＝
12(x2＋x)＋4x＋50(x＞5)即可，此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”．
最大值为( )
A．8
B．2
1 C.8
D．16
(2)已知正数 x，y 满足 x2＋2xy－3＝0，则 2x＋y 的最小值是________．
[解析] (1)因为 a，b，c 都是正数，且满足 2a－b＋c＝0，所以 b＝2a＋c，
所以abc2＝2aa＋c c2＝4a2＋a4cac＋c2＝4ca＋1ac＋4≤2
(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新， 将技术革新后生产的商品售价提高到每件 x 元，公司拟投入12(x2＋x)万元 作为技改费用，投入4x万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商 品销售量 m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收 入等于原销售收入与总投入之和？
x＝4， y＝12
时取等号．
yx×9yx ＋9＝
常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和 或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值.
考法(三) 通过消元法求最值
[例 3] (1)(2021·上饶联考)已知正数 a，b，c 满足 2a－b＋c＝0，则abc2的
[对点训练]
如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的 长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？ (2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围
第二节 基本不等式
热点命题分析
学科核心素养
本节是高考的热点，主要考查利用基本不等 本节通过基本不等式及其
式求最值、证明不等式、求参数的取值范围 应用考查考生的数学运算
等，常与函数结合命题，解题时要注意应用 核心素养.
基本不等式的三个前提条件.
知识点 基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成a立＋的b 条件：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中 2 称为正数a，b的算术平均数， ab 称为正数a，b的几何平
可使竹篱笆用料最省？
解析：设AP＝x米，AQ＝y米． (1)x＋y＝200，△APQ的面积S＝12xy·sin 120°＝ 43xy.所以S≤ 43x＋2 y2＝2 500 3.
当且仅当xx＝ ＋yy， ＝200， 即x＝y＝100时取“＝”． 即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大． (2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000， 即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省， 只需其长度PQ最短，
则 x2＋y2＝1－ 5y2y4＋y2＝1＋5y42y4＝154y2＋y12≥15·2
4y2·y12＝54，当且仅当 y2
＝12，x2＝130时，等号成立，
故 x2＋y2 的最小值为45.
法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤5x2＋y22＋4y22＝245(x2＋y2)2， 当且仅当 5x2＋y2＝4y2＝2，
＝x2－2x＋1x－＋12x－2＋3
＝x－12＋x－21x－1＋3
＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2.
当且仅当x－1＝x－3 1，
即x＝ 3＋1时，等号成立．
[答案]
2 (1)3
(2)2 3＋2
代数式最值的求解方法——配凑法 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变 系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用 基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变 形，配系数、凑常数是关键． [注意] 变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.
4c1a·ac＋4＝18，当且仅当
c＝2a＞0 时等号成立． (2)由 x2＋2xy－3＝0，得 y＝3－2xx2＝23x－21x，则 2x＋y＝2x＋23x－12x＝32x＋
23x≥2 32x·23x＝3，当且仅当 x＝1 时，等号成立，所以 2x＋y 的最小值为
3. [答案] (1)C (2)3
抓住交汇点与利用基本不等式求最值的条件进行．
[题组突破]
1．(2021·吉安期末测试)已知函数f(x)＝
sin2x sin x＋2
，则f(x)的最大值为
________． 解析：设t＝sin x＋2，则t∈[1,3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝t－t22＝t＋
必明易错
1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件 缺一不可． 2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要 条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． 3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
1．(易错题)下列结论正确的个数为( A ) ①函数y＝x＋1x的最小值是2； ②函数f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，2π的最小值等于4； ③“x＞0且y＞0”是“xy＋yx≥2”的充要条件； ④若a＞0，则a3＋a12的最小值为2 a；
(1)通过配凑法求最值；(2)通过常数代换法求最值；(3)通过消元法求最值.
考法(一) 通过配凑法求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________；
(2)函数y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为________． [解析] (1)由题意， x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即x＝23时，取等号． (2)由题意， y＝xx2－＋12
基本不等式应用中的核心素养 数学运算——基本不等式的创新交汇问题 基本不等式求最值涉及交汇知识较多，应用广泛，多涉及三角向量、数 列、立体几何、解析几何等最值与范围的求法．
[例] 如图，在△ABC中， C→M ＝2 M→B ，过点M的直线分别交射线AB，
AC于不同的两点P，Q，若
→ AP
＝m
→ AB
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代 数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法 是消元后利用基本不等式求解．
[题组突破]
1．(多选题)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，则
( ABD )
A．a2＋b2≥12
B．2a－b＞21
C．log2a＋log2b≥－2 D. a＋ b≤ 2