与绳、杆、弹簧模型有关问题的归类分析(经典版)

（区别于杆模型是半径不变）
２、绳、杆模型在非匀速圆周运动中的应用： 运动学特征： v 的大小随位置而发生改变， a 包括an和a 两部分， a合 不再指向圆心；
动力学特征： F合 包括两部分： Fn和F ，合外力不再指向圆心，弹力不做功，整个过
程遵循机械能守恒定律；依据运动情况分为临界极值和突变两类问题：
细绳，则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力
为多少？
解析：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分，只有重力做功，故
而机械能守恒，选取最低处为零势能面，则： mgl(1 sin ) mvB2 2
（1）T mg mvB2 l
(2)
vB 2gl(1 sin )
T mg 2mg(1 sin ) mg(3 2 sin )
C
到
B
的过程中，
2
只有重力做功，机械能守恒，选取 B 点为零能面则：
1 2
mv12
mgL(1
sin
)
1 2
mv
2 B
(2)
v1 vc cos
(3)
解得： vB
5gl 2
T / mg mvB2 解得：T / 3.5mg 则 C 处是绳子张紧的突变点。 l
通过以上分析发现，分析此类问题的关键是区别各模型的特点，分析发生的物理过 程，依据不同的物理场景，把握其运动状态，分析其临界状态下的条件或突变问题中的 “拐点”，弄清变化和不变的物理量，只有如此才能更好的解决此类问题。
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说明物体 B 运动比物体 A 的运动快，绳松弛，所以 FT 0 的假设成立。故有
a g(sin cos ) 0.196m / s2 因而实际不符，则 A 静止。
A.
A
a g(sin cos ) 3.27m / s2
B.
B
（2）如 B 与 A 互换则 g cos ( A B) aB a A 0 ，即 B 物运动得比 A 物快，所以 A、B 之 间 有拉力且共速，用整体法mA g sin mB g sin AmAg cos BmB g cos (mA mB )a 代入
分析：绳模型；关键：等效重力场中的最高点； 隐含条件；v0 最小，意味着带电体到达等效最高点时，对绳的拉力恰好为 0，向心力 由等效重力来提供。
解：在轨道圆心处做mg 与 qE 的合力，对角线的反向延长线与轨道相交于 P 处，则
P 点为等效重力场的最高点，由题意分析可得：
mg qE (2) mv 2 p 2mgR (3)
与绳、杆、弹簧模型有关问题的归类分析
（绝对经典，好好看）
李雨 绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在中学物理习题中经常出现,尤其在曲 线运动问题中更是频繁，与此有关的问题较多涉及临界和突变问题，因此易成为学生学 习的障碍。究其原因，症结在于：不清楚这三种模型弹力产生的机理及特点；不清晰物 理过程，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，突变点的分析；以及临界状态对 应的临界条件。本文将结合复习，谈谈对这类问题的分析思路与方法。
［模型回顾］
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［模型讲解］ 例 1. 如图 1 中 a 所示，一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1、l2 的两根细线上，l1 的一端悬挂在 天花板上，与竖直方向夹角为 ，l2水平拉直，物体处于平衡状态。现将 l2 线剪断，求剪断瞬时物体 的加速度。
图1 1 下面是某同学对题的一种解法：
解：设 l1 线上拉力为 FT1 ，l2 线上拉力为 FT2 ，重力为 mg，物体在三力作用下保持平衡 FT1 cos mg ， FT1 sin FT2 ， FT2 mg tan
mB 5kg 。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：
1 如 A 和 B 对斜面的动摩擦因数分别为 A 0.6 ， B 0.2 时，两物体的加速度各为多大？ 绳的
张力为多少？
2 如果把 A 和 B 位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？ 3 如果斜面为光滑时，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？
剪断线的瞬间， FT2 突然消失，物体即在 FT2 反方向获得加速度。 因为mg tan ma ，所以加速度a g tan ，方向沿 FT2 反方向。
你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。 2 若将图 a 中的细线 l1 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图 b 所示，其他条件不变，求解 的步
向 A 运动，在 OA之间，临界状态是绳中张力为零，即：
Wx2
G(
AB 2
OA)
解得：x2 1m
∴人的活动范围O 点右侧0.5m ，左侧1m
换成细杆，人向 B 点运动和绳相同，向左侧运动有别与绳模型，因为杆可提供斜向
下的压力，从而使人的活动范围增加：
Wx3
G(
AB 2
OA) TmOB sin 30 0
a g tan ）
若 l1、l2 皆为弹性绳，剪断 l1 的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案a g / cos ） 在（2）中剪断 l1 的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案a g ）
例 2.
如图 2 所示，斜面与水平面间的夹角 30 ，物体 A 和 B 的质量分别为mA 10kg 、
2 ：若其它条件都不变， B 端用轻杆拉住，且轻杆承受的最大拉力也为200N ， 求 人的活动范围是多少？
解析：从 O 向 B 行走，人对木板的压力和板自身的重力产生的力矩 与绳拉力产生的力矩相平衡，设人距 A 端为 x ，
G(
AB 2
OA)
WX
TMOB sin 300
代入数据解得： x 0.5m
θ=450
mv2FΒιβλιοθήκη (mg)2 (qE)2
p (1) R
由动能定理可得：
qER sin mgR(1 sin )
mv
2 p
1 mv 20
22
联立解得： v0
2gR(1 3 2
2)
3
（２）、突变问题： 在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，从而引
起运动和受力在短时间内发生急剧的变化，物理学上称之为突
O
故 C 选项正确。
(三)绳、杆模型在曲线运动中的应用 １、绳模型在匀速圆周运动中的应用： 根据实际物理场景，分为约束与非约束两类问题： 思路：根据运动状态确定受力情况； 技巧：首先三个确定（确定轨道平面、圆心、圆周半径），其次分析向心力的来源； 解决问题的关键：确定临界状态，分析临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研 究已知状态所处的运动范围，从而分析受力情况。 典型的就是如例 4 中的圆锥摆问题， 例 4、如图 5 示长为 L 的绳子，下端连接质量为m 的小球，上 端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的夹角成 600 ， 此时小球静止于光滑的水平桌面上，当小球以下列情况下做圆锥摆 运动时，求绳子上的弹力T 和对桌面的压力 N ？
TB sin TA
mg TB cos
TB cos mg 解得 TA mgtg
剪断OA的瞬间，TA 瞬时消失，但弹簧上的形变没有改变，
所以弹力TB 不变，则TB 和 mg 的合力与TA 相平衡 ，即：
TB2 (mg)2 T A OB 换为细绳，张力随外界条件的变化发生瞬时突变，如图 2 所示，则
沿绳OB 方向瞬态平衡TB F1 mg cos ；重力的分力 F2 使物体向最低位置
运动，即： F2 mg sin ma2
从而使物体沿圆周运动。
２：细绳和杆的平衡类问题：
例 2：如图 3 所示：一块长木板长为12m ， G 200N ，距 A 端 3m 处有
1
一个固定的轴o ， 1 ：若另一端 B 用轻绳拉住，使木板呈水平状态，绳和木板的夹角300 ，轻绳能 承受 的最大拉力200N ，如果一个重为W 600N 的人在该木板上行走，求活动范围为多 少 ？
分析与三种模型有关的问题时一定要结合它们各自产生的弹力的特点，具体问题具 体分析。下面将对常见的问题进行归类分析。
二、常见问题归类解析
（一）：平衡态发生瞬时突变时的问题 1：弹簧与细绳模型 例 1：如图 1 所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为m 的小球，平衡时细 线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是 ，若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？ 将弹簧改为细绳，剪断的瞬间 BO 上张力如何变化？ 解析：绳未断时球处于平衡态，由图 1 得：
变问题。在突变过程中往往伴随着能量的转移或损耗，绳模型
在沿径向张紧瞬间，将其方向上的能量损耗掉；杆模型往往将
其能量发生转移。
例 6：轻杆长为 L，一端用光滑轴o 固定，另一端系一个可 视为质点，质量为m 的小球，把小球拉至图 9 所示的位置，无 初速度地自由释放到最低处 B 的过程中，小球做什么运动？到 最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为
即只有重力势能向动能的转化，无能量损耗。
绳连接时，球由 A 到 C 做自由落体运动，设 C 处的速度为vc ，且方向竖直向下，选
取 C 点为零能面， A、C 关于水平线对称： 2mgl sin mvc2 (1) 2
所以在C 处 v 按图 c
示的方向分解，在绳猛然拉紧的瞬间，将径向的动能
mv
2 2
损耗掉，由
2
（1）： g 做圆锥摆运动;（2）： 4g 做圆锥摆运动；
l
l
解析：初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上的作用力 N mg ；当球以o 为圆心，
以 r Lsin 为半径在光滑地板上做圆周运动时，受 mg、T、N 作用，设角速度为 0时地 面 对球的弹力 N 0 ，
T cos mg
则：
一、三种模型弹力产生的特点：
细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖 于细绳受到的外力和自身的运动状态。由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状 态将发生突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的 弹力，弹力的产生是由于外力作用下而引起形变产生的，形变不发生变化，弹力不变。 弹簧的形变一般不能发生突变，故弹簧的弹力一般也不能发生突变；轻杆：拉伸、压缩、 剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面 方向上的弹力，取决于外力作用的情况。中学阶段，讨论以上模型的形变均不计由其自 身的重力而引起的形变。
图2
解析：（1）设绳子的张力为 FT ，物体 A 和 B 沿斜面下滑的加速度分别为aA 和 aB ，根据牛顿第
二定律：
对 A 有 mA g sin FT AmAg cos mAa A
对 B 有 mB g sin FT BmB g cos mBaB
设 FT 0 ，即假设绳子没有张力，联立求解得 g cos ( A B) aB a A ，因 A B，故 aB a A
解得：x3 2.5m
∴人的活动范围O 点右侧0.5m , 左侧2.5m
（二）杆模型在非平衡态中的应用
例 3：如图示,一轻杆一端固定一小球,绕光滑固定轴 O 在竖直面内匀速转动。当转到 图示位置时杆的弹力：
A、 沿着杆指向 O B、沿着杆背离 O
C、在图中阴影区域内斜向上的某个方向 D、以上皆不对 分析：球作匀速圆周运动，合力充当向心力，即沿着杆指向 O。
（１）、临界极值问题： 物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情 况。
例 5：如图 6 所示，一轻绳一端固定一质量为 m 的带正电的小球， 另一端固定在 O 点，绳长为 R。匀强电场的场强为 E ，方向水平 向左，带电小球所受的电场力与重力大小相等，在最低点 A 给小 球一初速度 v0，使其在竖直平面内能沿圆轨道运动到与圆心等高 的 D 点，求 v0 至少多大方能满足条件？
骤和结果与（1）完全相同，即 a g tan ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。
解析：因为 l2 被剪断的瞬间，l1 上的张力发生突变，故物体获得的瞬间加速度由重力的分力提供，
大小为 g sin ，方向垂直 l1 斜向下，所以（1）错。
5
因为 l2 被剪断的瞬间，弹簧的长度不能发生突变而导致弹力不能突变，所以（2）对。 拓展：在（1）中若 l1、l2 皆为弹性绳，剪断 l2 的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案
T sin
m
r
2 0
解得： ＝ 2g
0
l
(1)
4g l
受0 力如图所示
T cos N mg T sin F nm 2r
解得 N 3mg ；T mg 4
（2）：
4g l
球将飘离桌面做匀速圆周运动，设与轴线的夹角为
0
，受力
T cos mg 如图所示：
T sin F n m 2r
解得：T 4mg