初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦
1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边
运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米，
∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，
∴BPD CQP △≌△． （4分） ②∵
P Q
v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间
4
33BP t =
=秒，
∴
515
44
3
Q
CQ
v
t
===
厘米/秒．（7分）
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得15
3210
4
x x
=+⨯
，
解得
80
3
x=
秒．
∴点P共运动了80
380
3
⨯=
厘米．
∵8022824
=⨯+，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过80
3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）
2、直线
3
6
4
y x
=-+
与坐标轴分别交于A B
、两点，动点P Q
、同时从O点出
发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A B
、两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ
△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当
48
5
S=
时，求出点P的坐标，并
直接写出以点O P Q
、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
解（1）A（8，0）B（0，6）1分
（2）86OA OB ==，
10AB ∴=
点Q 由O 到A 的时间是88
1=（秒） ∴点P 的速度是610
2
8+=（单位/秒） 1分
当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
2S t = 1分
当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,
如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865t
PD -=
， 1分 21324
255S OQ PD t t
∴=⨯=-+ 1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
1分
12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，，，，， 3分 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于
A ，
B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？
解：（1）⊙P 与x 轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8.
由题意，OP=－k，
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，
∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE=1
2CD=
3
2，PD=3，
∴PE=33
.
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，
∴
33
2
,
45
AO PE
AB PB PB
=即
，
∴
315 PB=
∴
315
8
PO BO PB
=-=
，
∴
315
8)
P-
，
∴
315
8
k-
.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－315
－8)，
∴k=－315
－8，
∴当k=315
－8或k=－
315
－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P
为顶点的三角形是正三角形.
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
解：
B
E
Q
D
A C
图16
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每
秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；
点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的
运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q
同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时
间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．
解：（1）1，8
5；
（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．
由△AQF ∽△ABC
，4BC =，
得45QF t =．∴4
5QF t
=． ∴
14
(3)25S t t
=-⋅， 即
22655S t t
=-+． （3）能．
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP
AC AB =， 即335t t -=． 解得9
8t =
．
②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC ，得 AQ AP
AB AC =， 即353t t -=． 解得15
8t =
．
（4）52
t =或
45
14t =．
P
图4
①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t =，222QC QG CG =+2
234[(5)][4(5)]55t t =-+-
-． 由2
2
PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得5
2t =
．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．
22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，45
14t =
】
6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°
，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合
的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．
（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；
②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；
（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分
（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边
形. ……………………6分
在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴3∴
AO=12AC 3……………………8分
A
C (E ) B
P
Q
D
图6
G
A C (E )
B P
Q
D
图7
G
O
E C
D
A
α l
O
C
A
（备用图）
在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC 是平行四边形，
∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分
7如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形
∴3KH AD ==． 1分
在Rt ABK △中，sin 454
2AK AB =︒==． 2
cos 4542
42BK AB =︒=
= 2分
在Rt CDH △中，由勾股定理得，
3HC = ∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分
C
（图①）
A
D
C
B K H
（图②）
A
D
C
B
G M
N
（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形
∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△
∴
CN CM
CD CG = 5分 即1025
7t t -=
解得，
50
17t =
6分
（3）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =-
∴
10
3t =
7分
A
D
C
B M
N
（图③）
（图④）
A
D C
B
M N
H E
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
()11
102522EC MC t t =
=-=-
在Rt CEN △中，
5cos EC t
c NC t -=
= 又在Rt DHC △中，
3
cos 5CH c CD =
=
∴53
5t t
-= 解得
258t =
8分
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△
∴
NC EC DC HC = 即553t t -=
∴
25
8t =
8分
③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t =
=
解法一：（方法同②中解法一）
132cos 1025t
FC C MC t ===-
解得6017t =
解法二：
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，
（图⑤）
A D
C
B
H N M
F
∴MFC DHC △∽△
∴
FC MC
HC DC = 即110223
5t
t
-= ∴
6017t =
综上所述，当103t =
、258t =或60
17t =时，MNC △为等腰三角形 9分
8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作
EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.
（1）求点E 到BC 的距离；
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.
①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点，
∴
1
22BE AB =
=．
在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分
∴
1
12BG BE EG =
===，
即点E 到BC 3分
（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 4分
如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．
∴
122PH PM == A D E B F C 图4（备用） A D E B F C 图5（备用） A D E B
F C 图1 图2 A
D E B F C P N
M
图3 A D E B
F
C
P N M （第25题） 图1
A D E
B
F C
G
图2
A D E
B
F
C
P
N
M
G H
∴
3
cos302MH PM =︒=．
则
35422NH MN MH =-=-
=．
在Rt PNH △
中，PN ===
∴PMN △的周长
=4PM PN MN ++=．
6分
②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．
当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．
类似①，
3
2MR =．
∴23MN MR ==． 7分
∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．
此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分
当MP MN =时，如图4
，这时MC MN MP ===
此时，615x EP GM ===-=-
当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．
图3
A D E B
F
C
P
N M
图4
A D E
B
F C
P M
N 图5
A D E
B
F （P ） C
M
N G
G
R
G
因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．
∴tan301MC PM =︒=．
此时，6114x EP GM ===--=．
综上所述，当2x =或4或(53
时，PMN △为等腰三角形． 10分 9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，
同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t 秒．
(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
解：（1）Q （1，
0） 1分
点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分
（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．
在Rt △AFB 中，22
8610AB =+ 3分
过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．
∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分
A B C
D
E
F G H M N
P
Q O
x
y
（3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴
AP AM MP
AB AF BF ==
． 10
68t AM MP ∴==． ∴
3455AM t PM t ==，． ∴34
10,55PN OM t ON PM t
==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位）
∴
2
13473
(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵
3
10a =-
<0 ∴当
47
471036
2()10
t =-
=⨯-
时， △OPQ 的面积最大． 6分
此时P 的坐标为（9415，53
10） ． 7分
（4） 当
53t =
或295
13t =时， OP 与PQ 相等． 9分
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D F C G E
B 图1 A D F
C G E B 图2
A
D F
C G E B 图3
解：（1）正确． （1分）
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分）
BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，
∴BAE CEF ∠=∠．
AME BCF ∴△≌△（ASA ）． （5分） AE EF ∴=． （6分） （2）正确． （7分）
证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． （8分）
BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形，
AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．
NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． （10分） AE EF ∴=． （11分）
11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°
，，．如A D
F C G
E
B
M A
D
F
C G
E B
N
图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．
（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．
解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A
则ACD BCD △≌△.
设点C 的坐标为(
)()
00m m >，.
则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.
在Rt AOC △中，由勾股定理，得222
AC OC OA =+，
即(
)2
2
2
42
m m -=+，解得
32m =
.
∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪
⎝⎭，. 4分
（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',
则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，
在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222
B C OC OB ''=+.
()2
22
4y y x ∴-=+，
即21
2
8y x =-+ 6分
由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，
∴ 解析式21
28y x =-+()
02x ≤≤为所求. ∴
当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，
y ∴的取值范围为3
2
2y ≤≤. 7分
（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.
又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.
有OB OC
OA OB ''=
，得2OC OB ''=. 9分
在Rt B OC ''△中， 设
()
00OB x x ''=>，则
2OC x =.
由（Ⅱ）的结论，得2001
22
8x x =-+，
解得000808x x x =-±>∴=-+，
∴点C
的坐标为
()016.
10分
12问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当
12CE CD =
时，求AM BN 的值．
类比归纳
在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，
则AM
BN 的
值等于 ；若1CE CD n =
（n 为整数），则AM
BN 的值等于 ．（用含n
的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与
点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m
CD n =>=，，
则AM
BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）
解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．
方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2）
N A
B
C
D E
F
M
图（1）
A B
C
D
E
F
M
N N 图（1-1）
A B
C
D
E
F
M
由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵
四
边
形
ABCD
是正方形，∴
902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．
∵1
12CE CE DE CD =∴==，．
设BN x =，则NE x =，2NC x =-．
在Rt CNE △中，222
NE CN CE =+．
∴
()2
2
2
21x x =-+．
解得
54x =
，即5
4BN =． 3分
在Rt ABM △和在Rt DEM △中，
222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，
∴2222AM AB DM DE +=+． 5分
设AM y =，则2DM y =-，∴()2
222221y y +=-+． 解得14y =，即1
4AM =．
6分 ∴
15AM BN =． 7分
方法二：同方法一，
5
4BN =．
3分 如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．
N
图（1-2）
A B
C D
E
F
M
G
∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．
同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴
5
4AG BN ==．
∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．
90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． BCE △与NGM △中
90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩，
，
°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ５分
∵
114AM AG MG AM =--=5，=．
4 6分 ∴1
5AM BN =．
7分
类比归纳
25（或410）；9
17； ()2
2
11n n -+ 10分
联系拓广
222221
1n m n n m -++ 12分。