高斯小学奥数含答案三年级(上)第05讲 植树问题

第五讲
植树问题
这两讲我们将要学习一个新的问题——间隔问题．植树问题是间隔问题中重要的一种，像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们在日常生活中会遇到很多，这一讲我们就主要来解决这类问题．
对于植树问题而言，主要分为两类，第一类是直线上的植树问题，第二类是环线上的植树问题．下面先来讲讲直线上的植树问题．
对于一条线段来说，两边的端点是特殊的地方，需要尤其注意．
§1直线上的植树问题
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（1）马路的一侧种树，且两端种树．若每隔 5 米种一棵树，马路长 30 米， （2）马路的两侧种树，且两端种树．若每隔 5 米种一棵树，共有 20 棵树， 道路的两侧插红旗，且两端也要插上红旗．若每隔 6 米插一面，马路长 24 米，问有几面 ．． （1）一端有路灯，另一端没有．若每隔 4 米安一盏灯，马路长 40 米，问有 （2）两端都没有路灯．若每隔 6 米安一盏灯，共有 12 盏灯，问马路有多长？ 马路的两侧种树，且两端不种．若每隔 3 米种一棵树，马路长 30 米，问有几棵树？ ．． ．．
问有几棵树？
．． ．．
问马路有多长？
分析：审清楚题目，两端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？
练习 1 ．． ．．
旗？
例题 2
马路的一侧安路灯．
．．．．．．．．．．．
几盏灯？
．．．．．．．
分析：审清楚题目，一端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？
练习 2 ．． ．．．．
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．． ．．． ．． ． 有如图三条马路．现在要在马路的一侧种树，且每条马路的两端都种树．已
知北路长 40 米，东路和西路分别长 80 米．每隔 5 米种一棵树，问共种几棵
树？
北路
西路
东路
分析：试着一条路一条路的求出有几棵树？并且把树画一画？
练习 3 在如图两条马路的一 侧安路灯，且每条马路的两 端都没有路灯．若每隔 9 米安一盏路灯， 一共安了 20 盏路灯．已知北路长 81 米，问西路长多少米？
北路
西路
§2 环线上的植树问题
除了一条直线上的间隔问题之外，环形的排列也会存在间隔，先来看一个示意图：
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2端点2间隔3端点3间隔4端点4间隔5端点5间隔
从图中不难看出，在环形上间隔数和端点数是相同的．
例题4
学校有一个圆形水池，
（1）水池外的周长为40米．如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？
（2）水池内的周长为30米．如果绕着水池内共有10个换水孔，且相邻两个换水孔的距离相等，问相邻的两个换水孔间的距离是多少米？
分析：环形植树中，间隔数和棵树之间什么关系？
练习4
鸟巢外一周共有1000米，绕着鸟巢的一周有灯和树木，
（1）如果每两盏灯之间的距离是5米，问鸟巢外一周有几盏灯？
（2）如果鸟巢外共有250棵树，且相邻两棵树的距离相等，问相邻两棵树的距离是多少？例题5
10个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等．现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等．请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是
多少米？
分析：试着求出站好男生后有多少个间隔？每个间隔中加入2个女生后一共有多少人？
例题6
如下图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米．现
在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或
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中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？
50
35
中点
中点
分析：试着求出每条线上种几棵数？交点处要额外注意，加重了要去掉，少加了记得加上．课堂内外
植树节
“植树节”是一些国家以法律形式规定的以宣传森林效益，并动员群众参加
造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周或植树月，总称植
树节．通过这种活动，激发人们爱林、造林的感情，提高人们对森林功用的认
识，促进国土绿化，达到爱林护林和扩大森林资源、改善生态环境的目的．是
为了动员全民植树而规定的节日．中国的植树节开始时是为纪念孙中山先生逝
世，1979年2月23日，中国第五届全国人大常务委员会第六次会议决定，以3
月12日为中国的植树节，以鼓励全国各族人民植树造林，绿化祖国，改善环境，
造福子孙后代．
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作业
1.一条长500米的路的两边都要种树，并且两头都要种，如果每隔5米种一棵树，请问一共要种多
少棵树？
2.一条路的一边种树，并且两头都不种树，如果每隔12米种一棵树，
（1）共种了6棵，请问马路长多少米？
（2）若马路长120米，则种了多少棵树？
3.有如图三条马路，长度都是100米．现在要在马路的一侧种树，且每条马路的两端都种树．每隔5
米种一棵树，问共种几棵树？
4.用蜡烛摆成一个周长60厘米圆形的造型，
（1）若蜡烛每隔4厘米摆一个，一共需要多少根蜡烛？
（2）如果共有20根蜡烛，且相邻两个蜡烛间隔相同，问相邻的两根蜡烛间的距离是多少厘米？
5.同学12人围着长480米的操场玩游戏，每两名同学间距离相等．如果在每两名同学间插入3名老
师，使每两人间距离相等．请问：有多少名老师？每两人间距离是多少米？
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（ （
（ （ （ 第五讲 植树问题
1. 例题 1
答案：（1）7 棵；（2）45 米
详解：（1）共有 30 ÷ 5 = 6 个间隔，种 7 棵树．（2）每侧种 10 棵树，有10 - 1 = 9 个间隔，马路 长 5 ⨯ 9 = 45 米．
2. 例题 2
答案：（1）10 盏；（2）78 米
详解： 1）共有 40 ÷ 4 = 10 个间隔，间隔和灯一样多，有 10 盏灯． 2）共有12 + 1 = 13 个间隔， 马路长13 ⨯ 6 = 78 米．
3. 例题 3
答案：41 棵
详解：北路有 40 ÷ 5 + 1 = 9 棵树，东路和西路各有 80 ÷ 5 + 1 = 17 棵树．交点处的树被重复计算 了，要扣除，共 9 + 17 + 17 - 2 = 41 棵树．
4. 例题 4
答案：（1）10 棵；（2）3 米
详解： 1）有40 ÷ 4 = 10 个间隔，要种 10 棵树．
（2）有 10 个间隔，每个间隔长30 ÷ 10 = 3 米． 5. 例题 5
答案：（1）20 个；（2）10 米
详解：开始有 10 个间隔，加入了10 ⨯ 2 = 20 个女生．后来总共 30 人，30 个间隔，每个间隔长 300 ÷ 30 = 10 米．
6. 例题 6
答案：99 棵
详解：每棵树的距离相等，间隔最长是 5 米，每条横线上种100 ÷ 5 + 1 = 21 棵，每条竖线上种 70 ÷ 5 + 1 = 15 棵，扣除重复的 9 棵，共种 21 ⨯ 3 + 15 ⨯ 3 - 9 = 99 棵．
7. 练习 1
答案：10 面
简答：共有 24 ÷ 6 = 4 个间隔，每侧有 5 面旗，两侧共 5 ⨯ 2 = 10 面．
8. 练习 2
答案：18 棵
简答：共有 30 ÷ 3 = 10 个间隔，每侧有 9 棵树，两侧共 9 ⨯ 2 = 18 棵．
9. 练习 3
答案：117 米
简答：北路有81 ÷ 9 - 1 = 8 盏灯，西路有 20 - 8 = 12 盏灯．马路两端没有灯，不会重复计算．西 路长13 ⨯ 9 = 117 米．
10. 练习 4
答案：（1）200 盏；（2）4 米
简答： 1）有1000 ÷ 5 = 200 个间隔，有 200 盏灯． 2）有 250 个间隔，每个间隔长1000 ÷ 250 = 4 米．
11. 作业 1
答案：202 棵
简答：把 500 米长的路分成每段 5 米，共要分成 500 ÷ 5 = 100 段，单条线段端点数比段数多 1，
所以共有100 + 1 = 101 棵树．由于路的两边都种树，所以是 202 棵．
12. 作业 2
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（ 答案：（1）84 米；（2）9 棵
简答： 1）因
为两头不种，共种 6 棵树，所以共有 7 个间隔，每个间隔是 12 米，则长12 ⨯ 7 = 84 米；
（2）共有120 ÷ 12 = 10 个间隔，两头不种，所以间隔比树多 1，那么有10 - 1 = 9 棵树．
13. 作业 3
答案：60 棵
简答：三角形每条边种100 ÷ 5 + 1 = 21 棵，共种 21⨯ 3 - 3 = 60 棵．也可以看成环形问题来做．
14. 作业 4
答案：（1）15 根；（2）3 厘米
简答：（1）环形排列间隔数和端点数相同，所以每隔 4 厘米放一根蜡烛，共需蜡烛60 ÷ 4 = 15
根；（2）共有 20 根蜡烛，则相邻蜡烛的距离为 60 ÷ 20 = 3 厘米．
15. 作业 5
答案：（1）36 名；（2）10 米
简答：12 名同学相当于将环形分为 12 个间隔，每两名同学间插入 3 名老师相当于每个间隔插
入 3 名老师，所以共需插入老师12 ⨯ 3 = 36 名老师；插入老师后，环形上共有12 + 36 = 48 人，
所以每两人之间的间隔是 480 ÷ 48 = 10 米．
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