九年级数学上学期入学试卷含解析新人教版1

重庆市西南大学附中2016-2017学年九年级（上）入学数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．在，﹣2，π，这四个数中，无理数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列图形中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列计算结果正确的是（）
A．6x6÷2x3=3x2B．x2+x2=x4
C．﹣2x2y（x﹣y）=﹣2x3y+2x2y2D．（﹣3xy2）3=﹣9x3y6
4．一个正多边形的内角和是1080°，则它是（）边形．
A．六B．七C．八D．九
5．下列调查中，最适合采用普查方式的是（）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查全国人民对延迟退休政策的态度
C．调查某航班的旅客是否携带了违禁物品
D．调查全国人民对里约奥运会的收视情况
6．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EM平分∠BEF，FM平分∠DFE，则∠EMF的度数为（）
A．70° B．80° C．90° D．100°
7．若b=++1，则a﹣3b+1的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．代数式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠0 D．x≥﹣2且x≠﹣1
9．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）
A．18﹣9πB．18﹣3πC．9﹣D．18﹣3π
10．如图是由火柴棒搭成的几何图案，其中图形①中有4根火柴，图形②中有12根火柴，图形③中有24根火柴，则图形⑧中火柴的根数是（）
A．96 B．112 C．144 D．180
11．甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中y与之间的函数图象是（）
A．
B．C．
D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．据统计，到2015年末我国现有人口约为00人，把00用科学记数法表示为．14．计算：﹣22+（π﹣4）0++（）﹣1= ．
15．因式分解：x2y2﹣y4的结果是．
16．若直线y=（a﹣2）x+3﹣b不经过第一象限，化简：|a﹣2|++|3﹣b|= ．17．若关于x的方程（m﹣3）x2+x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围为．18．如图，在正方形ABCD中，有一个△AMN，MA=NA，M、N分别在DC、BC上，连接BD、AC，若∠DAM=15°，则下列说法中：
①MC=NC；
② △AMN为等边三角形；
③ AC⊥MN；
④NP=AM；
⑤若S△AMN=，则S△ABN=，
正确的有个．
三、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（7分）已知：如图，点E是线段AB的中点，∠A=∠B，∠AED=∠BEC．求证：CE=DE．
20．（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=．点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．（10分）计算：
（1）（m﹣n）2+m（2n﹣m）+（m+n）（m﹣n）
（2）÷（x﹣1﹣）﹣．
22．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y=（m+1）x+m﹣3与一次函数y=（2m+1）x ﹣m交于点A，
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点A的直线l与坐标轴在第一象限围成等腰直角三角形，交y轴于点B，求△AOB
的面积．
23．（10分）第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行，里约热内卢成为奥运史上首个主办奥运会的南美洲城市，某经销商抓住商机在今年6月底购进了一批奥运吉祥物1160件，预计在7月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元，销售量就减少2件．
（1）求该经销商在7月份的销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，8月份该吉祥物进价比6月底的进价每件增加20%，该经销商增加了进货量，并加强了宣传力度，结果8月份的销售量比7月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比7月份在（1）的条件下的最高售价减少m%，结果8月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．
24．（10分）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为（3×6）能被（3+6）整除；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（3a，4a，5a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD=DN．
（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．
26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ 的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．
（3）如图2，抛物线与y轴交于点C，直线AB交x轴于点E，点D（，0），连接CD，将CD所在的直线绕着点D顺时针旋转90°，所得直线交直线AB于点H，将直线DH沿着x 轴正方向平移得到直线D1H1，其中点H1为直线D1H1与直线AB的交点，D1为直线D1H1与x轴的交点，当点D1平移到点E时平移结束，连接BD1．当△BD1H1是等腰三角形时，试求出点
D1的坐标．
2016-2017学年重庆市西南大学附中九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．在，﹣2，π，这四个数中，无理数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.01…，等有这样规律的数．
2．下列图形中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列计算结果正确的是（）
A．6x6÷2x3=3x2B．x2+x2=x4
C．﹣2x2y（x﹣y）=﹣2x3y+2x2y2D．（﹣3xy2）3=﹣9x3y6
【考点】整式的混合运算．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果然后对照即可解答本题．
【解答】解：∵6x6÷2x3=3x3，故选项A错误；
∵x2+x2=2x2，故选项B错误；
∵﹣2x2y（x﹣y）=﹣2x3y+2x2y2，故选项C正确；
∵（﹣3xy2）3=﹣27x3y6，故选项D错误；
故选C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
4．一个正多边形的内角和是1080°，则它是（）边形．
A．六B．七C．八D．九
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形内角和公式结合该多边形内角和为1080°，即可算出该多边形的边数，由此即可得出结论．
【解答】解：（1080°+360°）÷180°=8，
∴该正多边形为正八边形．
故选C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是牢牢掌握多边形内角和公式．
5．下列调查中，最适合采用普查方式的是（）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查全国人民对延迟退休政策的态度
C．调查某航班的旅客是否携带了违禁物品
D．调查全国人民对里约奥运会的收视情况
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：调查一批灯泡的使用寿命适合采用抽样调查方式；
调查全国人民对延迟退休政策的态度适合采用抽样调查方式；
调查某航班的旅客是否携带了违禁物品适合采用普查方式；
调查全国人民对里约奥运会的收视情况适合采用抽样调查方式，
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EM平分∠BEF，FM平分∠DFE，则∠EMF的度数为（）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【考点】平行线的性质．
【分析】由于AB∥CD，那么直线AB、CD被直线EF所截得的同旁内角∠BEF、∠DFE互补，而ME、MF分别平分两角，故∠MEF、∠MFE的度数和为∠BEF、∠DFE的度数和的一半，于是得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°；
∵ME平分∠BEF、MF平分∠DFE，
∴∠BEM=∠MEF，∠DFM=∠MFE，
∴∠MEF+∠MFE=（∠BEF+∠DFE）=90°，
∴∠EMF=90°．
故选C．
【点评】本题考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力．
7．若b=++1，则a﹣3b+1的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义可得：，解不等式组可得a=2，进而可得b的值，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：a=2，
则b=1，
a﹣3b+1=2﹣3×1+1=0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
8．代数式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠0 D．x≥﹣2且x≠﹣1
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】结合二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．求解即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
∴x≥﹣2且x≠﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
9．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）
A．18﹣9πB．18﹣3πC．9﹣D．18﹣3π
【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．
【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3﹣
=18﹣9π．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
10．如图是由火柴棒搭成的几何图案，其中图形①中有4根火柴，图形②中有12根火柴，图形③中有24根火柴，则图形⑧中火柴的根数是（）
A．96 B．112 C．144 D．180
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】先利用前面三个图形中火柴的根数得到规律，即图形n值火柴的根数为n×（2n+2），然后计算n=8时的值即可．
【解答】解：图形①中火柴的根数为4=1×4=1×（2×1+2），
图形②中火柴的根数为4=2×6=2×（2×2+2），
图形③中火柴的根数为4=3×8=3×（2×3+2），
所以图形⑧中火柴的根数为8×（2×8+2）=144．
故选C．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
11．甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中y与之间的函数图象是（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：当甲跑到终点时所用的时间为：2000÷8=250（秒），
此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250=300（米），
乙到达终点时所用的时间为：（2000﹣200）÷6=300（秒），
∴最高点坐标为（250，300）．
设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
当0≤x≤100时，有，解得：，
此时y=﹣2x+200；
当100＜x≤250时，有，解得：，
此时y=2x﹣200；
当250＜x≤300时，有，解得：，
此时y=﹣6x+1800．
∴y关于x的函数解析式为y=．
∴整个过程中y与之间的函数图象是B．
故选B．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出a、b、c之间的关系，对照4条结论判断其正确与否，由此即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口朝上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0．
当x=0时，y=c+2＞2，
∴c＞0．
∴abc＞0，①错误；
②∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，
∴b2﹣4ac=8a＞0，②错误；
③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，
∴a=c+2＞2，③正确；
④∵b=2a，c＞0，
∴4a﹣2b+c=c＞0，④正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出a、b、c之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．据统计，到2015年末我国现有人口约为00人，把00用科学记数法表示为 1.375×109．【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：00=1.375×109．
故答案为：1.375×109．
【点评】此题考查科学记数法表示较大数的方法，准确确定a与n值是关键．
14．计算：﹣22+（π﹣4）0++（）﹣1= 3．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】本题涉及乘方、零指数幂、负指数幂、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果
【解答】解：原式=﹣4+1+3+3=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
15．因式分解：x2y2﹣y4的结果是y2（x+y）（x﹣y）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=y2（x2﹣y2）=y2（x+y）（x﹣y），
故答案为：y2（x+y）（x﹣y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．若直线y=（a﹣2）x+3﹣b不经过第一象限，化简：|a﹣2|++|3﹣b|= 2b﹣1 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系；二次根式的性质与化简．
【分析】先根据直线y=（a﹣2）x+3﹣b不经过第一象限得出a、b的取值范围，再把原式进行化简，合并同类项即可．
【解答】解：∵直线y=（a﹣2）x+3﹣b不经过第一象限，
∴a﹣2＜0，3﹣b＜0，解得a＜2，b＞3，
∴原式=2﹣a++b﹣3
=2﹣a+b﹣a+b﹣3
=2b﹣1．
故答案为：2b﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出a、b的取值范围是解答此题的关键．
17．若关于x的方程（m﹣3）x2+x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围为2≤m＜，且m≠3 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式、二次根式有意义的条件可得m﹣3≠0，（）2﹣4（m﹣3）＞0且m﹣2≥0，解之即可．
【解答】解：∵方程（m﹣3）x2+x+1=0有两个不等的实根，
∴m﹣3≠0，且△＞0，即（）2﹣4（m﹣3）＞0，其中m﹣2≥0，
解得：2≤m＜，且m≠3，
故答案为：2≤m＜，且m≠3．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其定义、二次根式有意义的条件，熟练掌握根的情况与根的判别式间的关系是解题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，有一个△AMN，MA=NA，M、N分别在DC、BC上，连接BD、AC，若∠DAM=15°，则下列说法中：
①MC=NC；
② △AMN为等边三角形；
③ AC⊥MN；
④NP=AM；
⑤若S△AMN=，则S△ABN=，
正确的有 5 个．
【考点】四边形综合题．
【分析】如图，在AB上截取一点G，使得AG=NG..先证明△ADM≌△ABN，推出∠DAM=∠BAN=15°，推出∠MAN=60°，由此可以判断①②③④正确，设BN=a，则GN=AG=2a，BG=a，由AB2+BN2=AN2，列出方程求出a，即可求出△ABN的面积，作出判断．
【解答】解：如图，在AB上截取一点G，使得AG=NG．．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ADB=∠ABC=90°，
在Rt△ADN和Rt△ABN中，
，
∴△ADM≌△ABN，
∴∠BAN=∠DAM=15°，DM=BN，
∴CM=CN，∠MAN=90°﹣∠DAM﹣∠BAN=60°，故①正确，
∵AM=AN，
∴△AMN是等边三角形，故②正确，
∵∠MAC=∠NAC=30°，AM=AN，
∴AC⊥MN，PN=AN=AM，故③④正确，
∵•AN2=，
∴AN2=4，
∵GA=GN，
∴∠GAN=∠GNA=15°，
∴∠BGN=∠GAN+∠GNA=30°，设BN=a，则GN=AG=2a，BG=a，
∵AB2+BN2=AN2，
∴（2a+a）2+a2=4，
解得a2=，
∴S△ABN=•a•（2a+a）=）•=．故⑤正确．
综上所述，①②③④⑤都是再正确的，
故答案为5、
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造30度角，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．已知：如图，点E是线段AB的中点，∠A=∠B，∠AED=∠BEC．求证：CE=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由∠AED=∠BEC可求得∠AEC=∠BED，则可证明△AEC≌△BED，可证得CE=DE．【解答】证明：
∵∠AED=∠BEC，
∴∠AED+∠DEC=∠DEC+∠BEC，
即∠AEC=∠BED，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴CE=DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=．点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形．
【分析】要求△ABC的周长，只要求得BC及AB的长度即可．根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值，可以求得AD的长度，也可求得CD的长度；再根据已知条件求得BD的长度，继而求得BC的长度；运用勾股定理可以求得AB的长度，求得△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ADC中，
∵sin∠ADC=，
∴AD===2．
∴BD=2AD=4，
∵tan∠ADC=，DC===1，
∴BC=BD+DC=5．
在Rt△ABC中，AB==2，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+5+．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．（10分）（2016秋•重庆校级月考）计算：
（1）（m﹣n）2+m（2n﹣m）+（m+n）（m﹣n）
（2）÷（x﹣1﹣）﹣．
【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．
【分析】（1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=m2﹣2mn+n2+2mn﹣m2+m2﹣n2=m2；
（2）原式=÷﹣=﹣•﹣=﹣﹣=﹣=．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（10分）（2016秋•重庆校级月考）在平面直角坐标系中，正比例函数y=（m+1）x+m ﹣3与一次函数y=（2m+1）x﹣m交于点A，
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点A的直线l与坐标轴在第一象限围成等腰直角三角形，交y轴于点B，求△AOB 的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题；等腰直角三角形．
【分析】（1）由题意可知：m﹣3=0，求出m的值后分别代入两个函数的解析式，然后联立两个函数的解析式即可求出A点的坐标；
（2）利用条件求出直线l的解析式，再求出点B的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：m﹣3=0，
∴m=3，
∴正比例函数为：y=4x，
一次函数为：y=7x﹣3，
∴
解得：，
∴A的坐标为（1，4）；
（2）设直线l的解析式为：y=kx+b，
把A（1，4）代入y=kx+b，
∴4=k+b，
∴直线l的解析式为：y=kx+4﹣k，
令x=0代入y=kx+4﹣k，
∴y=4﹣k，
∵过点A的直线l与坐标轴在第一象限围成等腰直角三角形，
∴直线l与x轴交点为（4﹣k，0），
∴把（4﹣k，0）代入y=kx+4﹣k，
∴k=4或k=﹣1，
∵直线l与第一象限围成等腰直角三角形，
∴k＜0，
∴k=﹣1，
∴直线l的解析式为：y=﹣x+5，
∴B（0，5），
∴OB=5，
过点A作AD⊥y轴于点D，
∴AD=1，
∴△AOB的面积为：AD•OB=，
【点评】本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数求解析式，三角形面积公式等知识，属于综合问题．
23．（10分）（2016秋•重庆校级月考）第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行，里约热内卢成为奥运史上首个主办奥运会的南美洲城市，某经销商抓住商机在今年6月底购进了一批奥运吉祥物1160件，预计在7月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元，销售量就减少2件．（1）求该经销商在7月份的销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，8月份该吉祥物进价比6月底的进价每件增加20%，该经销商增加了进货量，并加强了宣传力度，结果8月份的销售量比7月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比7月份在（1）的条件下的最高售价减少m%，结果8月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设售价应为x元，根据不等关系：在7月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；
（2）先求出8月份的进价，再根据等量关系：8月份利润达到3388元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设售价应为x元，依题意有
1160﹣≥1100，
解得：x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），
由题意得：
1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]=3388，
设m%=t，化简得50t2﹣25t+2=0，
解得：t1=，t2=，
所以m1=40，m2=10，
因为m＞10，
所以m=40．
答：m的值为40．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．
24．（10分）（2016秋•重庆校级月考）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为（3×6）能被（3+6）整除；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（3a，4a，5a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题．
（2）首先根据定义判断出a是7，8，9的倍数，由此即可解决问题．
【解答】（1）∵n•n（n﹣1）=n2（n﹣1），而n+n（n﹣1）=n2
且：n2（n﹣1）能被n2整除，
∴n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组．
（2）∵（3a，4a，5a）是三个数的祖冲之数组，
∴=， =， =a都是整数，
∴a是7，8，9的倍数，
∴满足条件的所有三位正整数a为504．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解决本题的关键是弄清、理解并运用新定义．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．（12分）（2016秋•重庆校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD=DN．
（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．首先证明△ADB≌△KDM，再证明△ANC≌△KNM，推出△ANK是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）结论：AD=DN．延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．首先证明△ADB≌△KDM，再证明△ANC≌△KNM，推出△ANK是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）结论：AD=DN，AD⊥DN．延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．首先证明△ADB ≌△KDM，再证明△ANC≌△KNM，推出△ANK是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．
在△ADB和△KDM中，。