大学物理下第14章-10

称为阻尼振动振幅
O
t
' 02 2
设T '为物体相继两次通过极大(或极小)位置所经时间
2 T' ' 2

2 0
2

2
0
T0
图中曲线1为 阻尼振动 ( 0 ) 曲线2为 临界阻尼 曲线3为 过阻尼振动
3
( 0 )
2 1
( 0 )
张福俊
2013-2014 第一学期
Flash tracking the key points of last lecture 简谐振动方程的推导：胡克定律和牛顿第二定律
d x 2 x 0 2 dt
2
x A cos(t 0 )
dx v A sin(t 0 ) dt 2 d x a 2 2 A cos( t 0 ) dt
7 4
2
9 4
x2 y2 xy 2 2 cos( 20 10 ) sin 2 ( 20 10 ) 2 A1 A2 A1 A2
两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比
利 萨 如 图 形
§14-3 阻尼振动 受迫振动与共振
本节内容：
A1 sin 1 A2 sin 2 4 sin 0 2 sin / 3 3 tg A1 cos 1 A2 cos 2 4 cos 0 2 cos / 3 5
合振动方程 x 2 7 cos(3t 0.346 )
例2: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振 动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来 两个振动的相位差。
2 A A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
20 10 ( 2k 1) k 0,1,2,...
由 A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 A A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
max cos(2 t )
max 2 sin(2 t )
max 2 max (2)
1 (2)式代入(1)式 2 mgl 2k a2 2 ml
或写出系统任意时刻的能量
l 1 1 2 2 2 2 m(l ) mgl ka C 2 2 1 1 2 m(l ) ( mgl k a 2 ) 2 C 对此式求导 2 2 1 d 1 2 d 2 0 ml 2 ( mgl ka )2 2 dt 2 dt
14-3-1 阻尼振动
14-3-2 受迫振动与共振
14-3-1 阻尼振动
无阻尼自由振动 阻尼振动( 摩擦阻尼，辐射阻尼 )
( 称为阻尼系数)
dx 对于摩擦阻尼,当 不太大时 Ft dt
d2 x dx 由牛顿第二定律 m 2 kx dt dt
令
k 2 0 m
消去t 得到轨道方程 (椭圆方程)
x2 y2 xy 2 2 2 cos( 20 10 ) sin ( 20 10 ) 2 A1 A2 A1 A2
(1) 20 10 0
x A1 y A2
2 A2
(2) 20 10
x A1 y A2
k k
a
取水平面MN为重力零势能面， 摆在最低位置时:
1 2 1 2 M mg E1 E p1 Ek1 mv max m(lmax ) 2 2
N
摆在最大偏离位置时
1 2 E2 E p 2 E p1 mgl(1 cos max ) 2 k (a max ) 2 1 2 2 mgl max k a 2 max 2 1 2 2 m(lmax ) 2 1 mgl max k a 2 max (1) 2 2 按题意设小角度摆动为谐振动，以表示其振动频率。

2

重要的应用：已知频率的音叉测出其它音叉的频率。
2 1 b | || 2 1 | 2
拍现象是一种很重要的物理现象。
手风琴的中音簧：
键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率大 概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。而俄 罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片的，因此 没有拍频造成的颤音效果。
141 同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
利用三角函数公式
x x1 x2
x A cos(t 0 )
合成振动仍为简谐振动。
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
1 A1 o 4 3
2

x
o
A4 A A3 3 2 A2 2 1 A1
x
1
x
讨论两个特例
x
合成振动
(1)两个振动同相
20 10 2k
k 0,1,2,...
o
T 2 3T 2
T
2T
t
由 A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
如图拍现象 （beat）x 2 A cos 2 1 t
x

2
1 2 cos t 2
x1
o
x2
t
合振幅在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。 其周期是合振幅变化周期的一半。 1 2 2 Tb 2 2 1 2 1 2 1 2 A cos t 2
2

m
2
( 称为阻尼因子)
d x dx 2 2x 0 dt 2 dt
d2 x dx 2 2x 0 2 dt dt 在阻尼较小时， <0，
此常系数线性齐次微分方程的解为
x A0 e
t
cos( ' t 0 ' )
x
t
A A0 e
稳态振动后，方程的解为 x A cos(t 0 ) 注意:稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质有所 不同。 对于一定的振动系统，当 F0 一定时，位移振幅A随频率 而改变。
A
F0 m ( 0 2 ) 2 4 2 2
2
2 共 振 0 2 2
共振时，振动速度与驱动 力同相位，从而驱动力作正 功，使振幅急剧增大。最后 当阻力功率与驱动力功率相 抵时，振幅急剧增大。 稳定受迫振动的频率相应曲线 共振现象极为普遍，有其有利的一面，也 可引起损害。
1 1 2 机械能的一半。 E kA 2 4
1 2 2. 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比。 k A 2
3. 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映 了振动系统总能量的大小及振动的强度。
例1 : 设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，
使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固 定有质量为m的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的 两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆 在小角度摆动时， 角按余弦函数规律随时间变化。试 求摆在小摆角摆动时的固有频率。两根弹簧的劲度系数 均为k。 解：用机械能守恒定律 l
利用拍频测速
从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要 发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的 拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用 于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。
14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成
两个互相垂直同频率简谐振动的合成 x A1 cos( t 10 ) y A2 cos( t 20 )
在生产实际中根据不同要求，控制阻尼大小。
生产技术中通常用改变阻尼大小的方法来控制系
统的振动情况： 1、在机床上安装阻尼装置，作为减震器使机床运转 时冲击引起的振动迅速衰减，保护机件。 2、精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，使指 针尽快停止摆动，以便及时读数。
这种加大阻尼使振动尽快停下来的最好办法是将 阻尼加大到临界阻尼。
14-3-2 受迫振动与共振
驱动力 F F0 cos f t
d2 x dx 运动方程 m 2 k x F0 cos f t dt dt k 2 2 0 , 令
m
m
2 x A0 e t cos( 0 2 t 0 ) A cos( f t 0 )
解：
A A1 A2
A1 A2 A
A2
A
O
A1
2 2 1 3
14-2-2
同方向不同频率简谐 振动的合成 拍

2
着重研究 1 , 2 相近且很大 (1 2 ), 初相相同的情况时
x1 A cos( 1t 0 ) x2 A cos(2t 0 )
2A 1
(3) 20 10 2
x y 2 1 2 A1 A2
A1 A2 轨迹为圆
2 2
x
y
Y方向的振动 超前Ｘ方向，得 到的是顺时针方 向的圆。
当两个振动的频率差异很小时
20 10 0
4
12:

2
3 4
2A2
2A1
5 4
3 2
1 2 1 A 1 E p k x k k A2 2 2 3 18
2
系统总能量： E
1 k A2 2
根据机械能守恒定律：E＝Ek＋Ep
4 2 此时动能： Ek E E p k A 9
§14-2 谐振动的合成
本节内容：
14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成 14-2-2 同方向不同频率简谐振动的合成 拍