大物 上海交大课后答案 第九章

习题9
9-1．杨氏双缝的间距为m m 2.0，距离屏幕为m 1，求：（1）若第一级明纹距离为2.5mm ，求入射光波长。

（2）若入射光的波长为6000A
，求相邻两明纹的间距。

解：（1）由L
x k d
λ=，有：xd k L λ=，将0.2mm d =，1m L =，1 2.5mm x =，1k =代
入，有：33
72.5100.210 5.0101
m λ---⨯⨯⨯=
=⨯；即波长为：500nm λ=； （2）若入射光的波长为 A 6000，相邻两明纹的间距：7
3
161030.210D x mm d λ--⨯⨯∆===⨯。

9-2．图示为用双缝干涉来测定空气折射率n 的装置。

实验前，在长度为l 的两个相同密封玻璃管内都充以一大气压的空气。

现将上管中的空气逐渐抽去，（1）则光屏上的干涉条纹将向什么方向移动；（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为λ的干涉条纹移过N 条。

计算空气的折射率。

解：（1）当上面的空气被抽去，它的光程减小，所以它将 通过增加路程来弥补，条纹向下移动。

（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为λ的干涉条纹移过N 条，可列出：λN n l =-）（1 得：1+=
l
N n λ。

9-3．在玻璃板（折射率为50.1）上有一层油膜（折射率为30.1）。

已知对于波长为nm 500和nm 700的垂直入射光都发生反射相消，而这两波长之间没有别的波长光反射相消，求此油膜的厚度。

解：因为油膜（ 1.3n =油）在玻璃（ 1.5n =玻）上，所以不考虑半波损失，由反射相消条件有：2(21)
122
n e k k λ
=-= 油，，， 当12500700nm nm
λλ==⎧⎪⎨⎪⎩时，1122
2(21)2
2(21)2
n e k n e k λλ=⎧
-=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩油油⇒21
21217215k k λλ-==-， 因为12λλ<，所以12k k >，又因为1λ与2λ之间不存在'λ以满足'
2(21)
2
n e k λ=-油式，
即不存在21'k k k <<的情形，所以1k 、2k 应为连续整数，可得：14k =，23k =； 油膜的厚度为：17121 6.73104k e m n λ--=
=⨯油。

9-4．一块厚μm 2.1的折射率为50.1的透明膜片。

设以波长介于nm 700~400的可见光．垂直入射，求反射光中哪些波长的光最强?
解：本题需考虑半波损失。

由反射干涉相长，有：2(21)
122
ne k k λ
=-= ，，，
∴66
44 1.5 1.2107.210212121ne k k k λ--⨯⨯⨯⨯===
---； 当5k =时，5800nm λ=（红外线，舍去）；
当6k =时，6654.5nm λ=； 当7k =时，7553.8nm λ=； 当8k =时，8480nm λ=； 当9k =时，9823.5nm λ=；
当10k =时，10378.9nm λ=（紫外线，舍去）；
∴反射光中波长为654.5nm 、553.8nm 、480nm 、823.5nm 的光最强。

9-5．用589.3nm λ=的光垂直入射到楔形薄透明片上，形成等厚条纹，已知膜片的折射率为52.1，等厚条纹相邻纹间距为5.0mm ，求楔形面间的夹角。

解：等厚条纹相邻纹间距为：2l n λα
=
， ∴9
53
589.310 3.881022 1.52 5.010
rad nl λ
α---⨯===⨯⨯⨯⨯， 即：5
3.88101800.002228''απ
-⨯=
⨯==
9-6．由两平玻璃板构成的一密封空气劈尖，在单色光照射下，形成4001条暗纹的等厚干涉，若将劈尖中的空气抽空，则留下4000条暗纹。

求空气的折射率。

解：本题需考虑半波损失。

由λλ40012==k nd ┄①，而λλ40002='=k d ┄②
由①/②得：00025.14000
4001
==
n 。

9-7．用钠灯（nm 3.589=λ）观察牛顿环，看到第k 条暗环的半径为m m 4=r ，第5+k 条暗环半径m m 6=r ，求所用平凸透镜的曲率半径R 。

解：考虑半波损失，由牛顿环暗环公式：r =
012k = ，，，
有：3
3410610⨯=⨯=⎧⎪⎨⎪⎩
⇒23=⇒4k =，
∴2
3219(410) 6.794589.310
r R m k λ--⨯===⨯⨯。

9-8．柱面平凹透镜A ，曲率半径为R ，放在平玻璃片B 上，如图所示。

现用波长为λ的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A 和B 间空气薄膜的反射光的干涉条纹。

设空气膜的最大厚度λ2=d 。

（1）求明、暗条纹的位置(用r 表示)；
（2）共能看到多少条明条纹；
（3）若将玻璃片B 向下平移，条纹如何移动？
解：设某条纹处透镜的厚度为e ，则对应空气膜厚度为d
e -，
那么：2
2r d e R -=，
222
2
e k
λ
λ
+=，（123k =±±± ，，，明纹）
， 2(21)
2
2
e k λ
λ
+
=+，（012k =±± ，，，暗纹）
； （1）明纹位置为：r =，12k =±±，， 暗纹位置为：r =
012k =±±，，；
（2）对中心处，有：max 2e d λ==，0r =，代入明纹位置表示式，有：max 4.54k =≈， 又因为是柱面平凹透镜，∴明纹数为8条；
（3）玻璃片B 向下平移时，空气膜厚度增加，条纹由里向外侧移动。

9-9．利用迈克尔孙干涉仪可以测量光的波长。

在一次实验中，观察到干涉条纹，当推进可动反射镜时，可看到条纹在视场中移动。

当可动反射镜被推进0.187mm 时，在视场中某定点共通过了635条暗纹。

试由此求所用入射光的波长。

解：由2
d N λ
=，3
7220.18710 5.8910()589635d m nm N λ--⨯⨯===⨯=。

9-10．波长为nm 546的平行光垂直照射在缝宽为m m 437.0的单缝上，缝后有焦距为cm 40的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。

解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：
93
3
22546100.42 1.0100.43710
f x m a λ---⨯⨯⨯∆===⨯⨯。

9-11．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光的第三极亮纹与波长'630nm λ=的单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长λ。

解：单缝衍射的明纹公式为：sin (21)
a k ϕ=+2
λ， 当'630nm λ=时，'2k =，未知单色光的波长为λ、3=k ，重合时ϕ角相同，所以有：
630sin (221)
(231)22nm a λϕ=⨯+=⨯+，得：5
6304507
nm nm λ=⨯=。

e
d e -
9-12．用波长1400nm λ=和2700nm λ=的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中1λ的第1k 级明纹中心位置恰与2λ的第2k 级暗纹中心位置重合。

求满足条件最小的1k 和2k 。

解：由1
1sin (21)
2
a k λθ=+，2
2
sin 22
a k λθ=，有：
1221217
24
k k λλ+==， ∴12427k k +=，即：13k =，22k =。

9-13．波长为nm 500和nm 520的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为cm 002.0的光栅上，紧靠光栅后用焦距为m 2的透镜把光线聚焦在屏幕上。

求这两束光的第三级谱线之间的距离。

解：两种波长的第三谱线的位置分别为1x 、2x ，
由光栅公式：sin d k ϕλ=±，考虑到f x ==ϕϕtan sin ，有：11f x k d λ=，22f
x k d
λ=，
所以：93125
2
32010610210
f x x x k m d λ---∆=-==⨯⨯⨯=⨯⨯。

9-14．波长600nm 的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在sin 0.20θ=处，第四级缺级。

试求：
（1）光栅常数()a b +；
（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a ；
（3）按上述选定的a 、b 值，在光屏上可能观察到的全部级数。

解：（1）由()sin a b k θλ+=式，对应于sin 0.20θ=处满足：
90.20()260010a b -+=⨯⨯，得：6() 6.010a b -+=⨯m ；
（2）因第四级缺级，故此须同时满足：()sin a b k θλ+=，sin a k θλ'=，
解得：k k b
a a '⨯='+=-6105.14
，取1='k ，得光栅狭缝的最小宽度为61.510m -⨯； （3）由()sin a b k θλ+=，()sin a b k θλ+=，当2
π
θ=，对应max k k =，
∴10106000100.610
6
max =⨯⨯=+=
--λ
b
a k 。

因4±，8±缺级，所以在︒
︒
<<-9090ϕ范围内实际呈现的全部级数为：
01235679k =±±±±±±±，，，，，，，共15条明条纹(10±=k 在90θ︒=±处看不到)。

9-15．已知天空中两颗星相对于望远镜的角宽度为4.84×10-6rad ，它们发出的光波波长λ=550nm 。

望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 解：由分辨本领表式：1 1.22
R d
λ
θθ==，
∴9
6550101.22 1.220.1394.8410
R d λθ--⨯==⨯=⨯（m ）。

9-16．一缝间距0.1d mm =，缝宽0.02a mm =的双缝，用波长600nm λ=的平行单色光垂直入射，双缝后放一焦距为 2.0f m =的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？ 解：（1）双缝干涉实际上是单缝衍射基础上的双光束干涉，单缝衍射两暗纹之间的宽度内，考察干涉的主极大，可以套用光栅的缺级条件。

由
'k a b
k a
+=
有：0.10''5'0.02a b mm k k k k a mm +===，当'1k =时，有5k =， ∴第五级为缺级，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有01234k =±±±±，，，，共九条干涉主极
大条纹；
（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，则此时的0.05a b mm +=，
同理：0.05'' 2.5'0.02a b mm
k k k k a mm
+=
==，当'1k =时，有 2.5k =， 显然，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有012k =±±，，共五条干涉主极大条纹。

9-17．从某湖水表面反射来的日光正好是完全偏振光，己知湖水的折射率为33.1。

推算太阳在地平线上的仰角，并说明反射光中光矢量的振动方向。

解：由布儒斯特定律：tan n i =，有入射角：arctan1.3353i == ，
∴仰角9037i θ=-= 。

光是横波，光矢量的振动方向垂直于入射光线、折射光线和法线在所在的平面。

9-18．自然光投射到叠在一起的两块偏振片上，则两偏振片的偏振化方向夹角为多大才能使： （1）透射光强为入射光强的3/1；
（2）透射光强为最大透射光强的3/1。

(均不计吸收)
解：设两偏振片的偏振化方向夹角为α，自然光光强为0I 。

则自然光通过第一块偏振片之后，透射光强
012I ，通过第二块偏振片之后：α20cos 21
I I =， （1）由已知条件，透射光强为入射光强的13，得：20011
cos 23
I I α=，有：
35.26α==
（2）同样由题意当透射光强为最大透射光强的3/1时，得：200111
cos ()232
I I α=，有：
arccos 54.733
α== 。

9-19．设一部分偏振光由一自然光和一线偏振光混合构成。

现通过偏振片观察到这部分偏振光在偏振片由对应最大透射光强位置转过 60时，透射光强减为一半，试求部分偏振光中自然光和线偏振光两光强各占的比例。

解:由题意知：max 012max 011211cos 6022I I I I I I =⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ⇒max 01
max 01
12111224
I I I I I I ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩⇒01I I =，
∴即得0111I I =::。

9-20．使自然光通过两个偏振化方向成60°角的偏振片，透射光强为1I ，今在这两个偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少？
解：设自然光的光强为0I ，则有02018
160cos 21I I I ==
再插入另一偏振片后，透射光强为1
1022024
9
832932930cos 30cos 21I I I I I ==== 12.25I =
思考题9
9-1在劈尖的干涉实验中，相邻明纹的间距__________（填相等或不等），当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小），当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小）。

答：根据相邻条纹的间距：2l n
λ
θ=
，条纹间距相等； 当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将减小； 当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将减小。

9-2．图示为一干涉膨胀仪示意图，上下两平行玻璃板用一对热膨胀系数极小的石英柱支撑着，被测样品W 在两玻璃板之间,样品上表面与玻璃板下表面间形成一空气劈尖，在以波长为λ的单色光照射下，可以看到平行的等厚干涉条纹。

当W 受热膨胀时，条纹将： （A ）条纹变密，向右靠拢； （B ）条纹变疏，向上展开； (C )条纹疏密不变，向右平移；
(D )条纹疏密不变，向左平移。

答：由于W 受热膨胀时，虽空气劈尖变小，但劈尖角不变， 根据相邻条纹的间距：2l n λ
θ
=
，知间距不变；干涉条纹反映了厚度，所以当厚度向左平
移，则相应的条纹也向左平移。

选择（D ）。

9-3．如图所示，在一块光学平玻璃片B 上，端正地放一锥顶角很大的圆锥形平凸透镜A ，在A 、B 间形成劈尖角ϕ很小的空气薄层。

当波长为λ的单色平行光垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜锥面上出现干涉条纹。

（1）画出于涉条坟的大致分布并说明其主要特征； （2）计算明暗条纹的位置；
（3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹有何变化？用图表示。

答：（1）图略，分析：这是一个牛顿环和劈尖的综合体，所以 它的形状类似于牛顿环，也属于等厚干涉，干涉条纹是中心处 为暗纹，一系列间隔均匀的同心圆环； （2）计算明暗条纹的位置； 明条纹：2ne 2
k λ
λ+
=±，暗条纹：2ne 2122
k λ
λ
+
=±+（）； （3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹将不再是对称的圆环，而是左密右疏的类圆环。

图示略。

9-4．若待测透镜的表面已确定是球面，可用观察等厚条纹半径变化的方法来确定透镜球面半径比标准样规所要求的半径是大还是小。

如图，若轻轻地从上面往下按样规，则图__________中的条纹半径将缩小，而图_________中的条纹半径将增大。

答：设工件为L ，标准样规为G 。

若待测工件表面合格，则L 与G 之间无间隙，也就没有光圈出现。

如果L 的曲率R 太小（如图b ），则L 与G 的光圈很多，轻压后中心仍然为暗斑，但条纹半径要减小；如果L 的曲率R 太大（如图a ），则L 与G 的光圈除边缘接触，中间部分形成空气膜，轻压后中心斑点明暗交替变化，而且所有光圈向外扩展。

第一空选b ，第二空选a 。

9-5．在单缝夫琅禾费衍射试验中，试讨论下列情况衍射图样的变化： （1）狭缝变窄；
（2）入射光的波长增大；
（3）单缝垂直于透镜光轴上下平移；
（4）光源S 垂直透镜光轴上下平移； （5）单缝沿透镜光轴向观察屏平移。

解：（1）中央及各级衍射条纹变宽，衍射更明显。

（2）中央及各级衍射条纹变宽，衍射更明显。

（3）衍射条纹没有变化。

（4）衍射条纹反方向发生平移。

（5）衍射条纹没有变化。

9-6．要分辨出天空遥远的双星，为什么要用直径很大的天文望远镜？ 答：最小分辨角为：D
λ
θ22
.1=，它的倒数为分辨本领，当D 越大，θ越小，那么分辨本领
就越大。

所以用的天文望远镜的直径很大，提高了分辨本领。

9-7．使用蓝色激光在光盘上进行数据读写较红色激光有何优越性？ 答：最小分辨角为：D
λ
θ22
.1=，它的倒数为分辨本领，当λ越小，θ越小，那么分辨本
领就越大。

所以用的蓝色光比红色光好，提高了分辨本领。

9-8．孔径相同的微波望远镜和光学望远镜相比较，哪个分辨本领大？为什么？ 答：最小分辨角为：D
λ
θ22
.1=，它的倒数为分辨本领，当λ越小，θ越小，那么分辨本
领就越大。

由于微波的波长大于光波的波长，所以光波望远镜的分辨本领大。

9-9．用偏振片怎样来区分自然光、部分偏振光和线偏振光？
答：将光通过偏振片，光强无变化的为自然光；光强有变化但不会出现完全消光的为部分偏振光；光强有变化且在某个方向为零的为线偏振光。

9-10．在如图所示的各种情况中，以非偏振光或偏振光由空气入射到水面时，折射光和反射光各属于什么性质的光？在图中所示的折射光线和反射光线上用点和短线把振动方向表示出来，把不存在的反射线和折射线划掉。

图中0arctan ,=i n n 为水的折射率，0≠i i 。

解：第一个图：反射光和折射光均为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示。

第二个图：反射光和折射光均为平行于入射面的偏振光，用“短线”表示。

第三个图：反射光和折射光均为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示。

第四个图：没有反射光线，折射光为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示。

第五个图：反射光为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示，折射光为部分偏振光，且平行于入射面的偏振光（用“短线”表示）占优势。