第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

课时规范练
A组基础对点练
1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．
答案：C
2．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x ＋y＞2，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若x＞1且y＞1，则有x＋y＞2成立，所以p⇒q；反之由x＋y＞2不能得到x＞1且y＞1.所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但f(x)是单调递增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C. 答案：C
4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D
5．原命题为“若a n＋a n＋1
2＜a n，n∈N
*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，
否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
解析：从原命题的真假入手，由于a n＋a n＋1
2
＜a n⇔a n＋1＜a n⇔{a n}为递减数列，原
命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，故选A.
答案：A
6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.
答案：B
7．“x≥1”是“x＋1
x≥2”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由题意得x＋1
x≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋
1
x≥2”的充分不必要条件，
故选A.
答案：A
8．(2017·天津模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“ln a＞ln b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立；
当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立，故选B.
答案：B
9．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
解析：因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
答案：B
10．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：不等式|x－2|＜1的解集为{x|1＜x＜3},1＜x＜2可以推出1＜x＜3，反之不成立，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件．故选A.
答案：A
11．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.
答案：A
12．“x＞1”是“log 1
2(x＋2)＜0”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：由log 1
2(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log
1
2(x＋
2)＜0”的充分而不必要条件，故选B.
答案：B
13．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的() A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x －3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．
答案：B
14．(2017·河南洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，
∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，
∴“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案：A
15．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P ∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
答案：A
16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
解析：由正弦定理，得
a
sin A
＝b
sin B
，故a≤b⇔sin A≤sin B，选A.
答案：A
B组能力提升练
1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞b＞1⇔log2a＞log2b＞log21＝0，所以“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．
答案：A
2．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条
件，故选A.
答案：A
3．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的() A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由q⇒¬p且¬p q可得p⇒¬q且¬q p，所以p是¬q的充分而不必要条件．
答案：A
4．(2017·辽宁大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以q p，故选A.
答案：A
5．“x≠y”是“|x|≠|y|”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当x≠y时，不可以推出|x|≠|y|，例如：当x＝1，y＝－1时，有|x|＝|y|；但当|x|≠|y|时，可以推出x≠y，故“x≠y”是“|x|≠|y|”的必要不充分条件．答案：B
6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1.故选B.
答案：B
7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，
当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x
＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．
当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，
又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x
＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，所以2a ＝0，故a ＝0. 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.
答案：C
8．(2017·武汉武昌区调研)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a ＜0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a ＞0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：
函数f(x)在区间(0，＋∞)上有增有减．
所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C.
答案：C
9．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的()
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，
若a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，
故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选C.
答案：C
10．(2017·江西九校联考)下列判断错误的是()
A．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题
B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1＞0”C．“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题
D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题
解析：选项A、B中的命题显然正确；选项D中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项D正确；对于选项C中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故选C.
答案：C
11．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y
满足⎩⎨⎧ y ≥x －1，
y ≥1－x ，
y ≤1，则p 是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 答案：A
12．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是
( )
A ．a ≥4
B ．a ＞4
C ．a ≥1
D ．a ＞1
解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4， ∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．
答案：B
13．下列四个结论中正确的个数是( )
①“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的充分不必要条件；
②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”；
③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；
④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：对于①，由x 2＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞1，故“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”，故②正确；
对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假
命题，故③错误；对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32
＝1log 2
3≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．故选A.
答案：A
14．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△
OAB 的面积为12”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB 的
面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面
积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12” “k ＝1”，所以“k ＝1”是“△
OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.
答案：A。