高考数学总复习考点知识专题讲解54---曲线与方程

[思路引导] 设重心 G 的坐标(x，y)→用 x，y 表示点 P
坐标→点 P 在椭圆上→求出 x，y 满足的关系．
[解析] 依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x， y)，由三角形重心坐标关系可得
x＝x0－31＋1， y＝y30
即xy00＝＝33xy，， 代入x420＋y302＝1，
则 MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1， 所以|PM|＝ |MA|2＋|PA|2＝ 2， 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 即(x－1)2＋y2＝2 为点 P 的轨迹方程．
考点二 定义法 【例 2】 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋ y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程．
那么，这个方程叫做 曲线的方程 方程的曲线 ．
，这条曲线叫做
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
1．“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上 的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两 个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无 解，两条曲线就没有交点．
[解] 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要 条件．( √ )
(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) (4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( × )
[拓展探究] (1)将本例的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且
与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切”，则圆心 P 的轨迹方程为____y_＝__0_(_x_<_－__2_)____．
(2)把本例中圆 M 的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆 N 的 方程换为：(x－3)2＋y2＝1，则圆心 P 的轨迹方程为 ____x_2－__y_82_＝__1_(_x_>_1_) __．
直接法求轨迹方程的关键点和注意点 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列 出方程，然后进行化简． (2)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破 坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的 点，这是应该注意的．
1．已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，求 Q 点的轨迹方程．
高考数学总复习考点知识专题讲解 曲线与方程
最新考纲：1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系； 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性 质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．
基础
知识回顾
1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个 二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立如下的对应关系：
(2)由已知条件可知圆 M 和 N 外离，所以|PM|＝1＋R，|PN| ＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6.由双曲 线的定义知点 P 的轨迹是双曲线的右支，其方程为 x2－y82＝ 1(x>1)．
(3)由于点 P 到定点 N(1,0)和定直线 x＝－1 的距离相等， 所以根据抛物线的定义可知，点 P 的轨迹是以 N(1,0)为焦点， 以 x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为 y2＝4x.
[解] 设 P(x1，y1)，R(x，y)，
则 Q－12，y1，F12，0. OP 的方程为 y＝xy11x. FQ 的方程为 y＝－y1x－12. 联立得 x1＝1－2x2x，y1＝1－2y2x代入抛物线方程可得 y2＝ －2x2＋x.
考点四 参数法
【例 4】 若过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分 别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，求 AB 的中点 M 的轨迹方程．
5．平面上有三点 A(－2，y)，B0，2y，C(x，y)，若A→B⊥ B→C，则动点 C 的轨迹方程为____y_2＝__8_x______．
[解析] A→B＝2，－2y，B→C＝x，2y.∵A→B⊥B→C， ∴A→B·B→C＝0，得 2·x－2y·2y＝0.得 y2＝8x.
核心
考点突破
考点一 直接法 【例 1】 已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上 的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
参数法求轨迹方程的适用条件和步骤 (1)动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没 有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这 个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、 截距等)有关． (2)参数法求轨迹方程的一般步骤：选参数→列方程→消 参数→定结论．
设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且M→N＝2M→P， P→M⊥P→F，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．
→→ 的一点，若RA＝AP，则点 P 的轨迹方程为( B )
A．y＝－2x
B．y＝2x
C．y＝2x－8
D．y＝2x＋4
→→ [解析] 设 P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点 A 是线
段 RP 的中点，∴xy＋＋22xy11＝＝10，，
即xy11＝＝2－－y.x，
∵点 R(x1，y1)在直线 y＝2x－4 上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即 y＝2x.故选 B.
2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0 的曲线是( C ) A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 [解析] 由(x－y)2＋(xy－1)2＝0 得xxy－－y＝ 1＝0， 0.
∴yx＝＝11， 或yx＝＝－－11.， 故选 C.
3．已知圆(x＋2)2＋y2＝36 的圆心为 M，设 A 为圆上任
得重心 G 的轨迹方程为94x2＋3y2＝1(y≠0)．故选 C.
相关点(代入)法求轨迹方程的要点和步骤 (1)相关点(代入)法求曲线方程时一般有两个动点，一个 是主动的，另一个是被动的． (2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相 关点(代入)法求其轨迹方程： ①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动． ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化． ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律．
[思路引导] 求出两圆圆心和半径→两圆外切，内切列 出条件→根据定义得轨迹→求出轨迹方程．
[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆
N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半 径为 R.
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2. 由椭圆的定义可知，动圆圆心 P 的轨迹是以 M，N 为左、 右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)， 其方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．
一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点
P 的轨迹是( B )
A．圆
∵|PA|＝|PN|，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA|
＝6>|MN|.故动点 P 的轨迹是椭圆．故选 B.
4．已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－4，点 R 是直线 l 上
(3)“相关点(代入)法”求轨迹方程的基本步骤 ①设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)． ②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
x1＝fx，y， y1＝gx，y.
③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所 求动点的轨迹方程．
自抛物线 y2＝2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足 为 Q，连接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 F 与 Q 的直线交 于 R 点，求 R 点的轨迹方程．
定义法求曲线方程的 2 种策略 (1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发 直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求 出方程． (2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利 用条件把待定系数求出来，使问题得解．
(2019·山西吕梁二模改编)如图，已知圆 N：x2＋(y＋ 5)2 ＝36，P 是圆 N 上的点，点 Q 在线段 NP 上，且有点 D(0， 5) 和 DP 上的点 M，满足D→P＝2D→M，M→Q·D→P＝0.当 P 在圆上运 动时，求点 Q 的轨迹方程．
[思路引导] 设动点 P 的坐标为(x，y)→建立关于 x，y 的方程→化简可得．
[解] 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)．
因为Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 所以(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2) 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.
(3)在本例中，若动圆 P 过圆 N 的圆心，并且与直线 x＝ －1 相切，则圆心 P 的轨迹方程为___y_2＝__4_x_______．
[解析] (1)由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝
1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R，因为圆 P 与圆 M，N 都外切，所以|PM|－|PN| ＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN| ＝2，所以点 P 的轨迹方程为 y＝0(x<－2)．
[解] 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(－ 2－x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0 得 2x－y＋5＝0，即为点 Q 的 轨迹方程．
2．设点 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线， 且|PA|＝1，求 P 点的轨迹方程．
[解] 如图，设 P(x，y)，圆心为 M(1,0)．连接 MA，PM，
[思路引导] 斜率存在时，点斜式设 l1 的方程→得 l2 的 方程→联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率 不存在时将 M 的坐标代入验证．
[解] 当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时，l2 的斜率也存在，
设直线 l1 的方程是 y－1＝k(x－1)，则直线 l2 的方程是 y－1 ＝－1k(x－1)，所以直线 l1 与 x 轴的交点为 A1－1k，0，直线 l2 与 y 轴的交点为 B0，1＋1k，设 AB 的中点 M 的坐标为(x，
y)，则有yx＝＝121211＋－11kk， ，
两式相加消去 k，
得 x＋y＝1(x≠12)，即 x＋y－1＝0(x≠12)，所以 AB 中点 M 的 轨迹方程为 x＋y－1＝0(x≠12)．
当直线 l1(l2)的斜率不存在时，点 M 的坐标为12，12，此 点在直线 x＋y－1＝0 上．
综上，AB 的中点 M 的轨迹方程为 x＋y－1＝0.
考点三 相关点(代入)法
【例 3】 已知 F1、F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1 的左、
右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨
迹方程为( C )
A.3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B．49x2＋y2＝1(y≠0)
C.94x2＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋43y2＝1(y≠0)
[解] 连接 QD，由题意知，MQ 是线段 DP 的中垂线，
所以|NP|＝|NQ|＋|QP|＝|QN|＋|QD|＝6>|DN|＝2 5. 由椭圆的定义可知，点 Q 的轨迹是以 D，N 为焦点的椭
圆，依题意设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，则 c＝ 5，a＝3， b＝2，
所以点 Q 的轨迹方程是y92＋x42＝1.