高考数学总复习考点知识专题讲解54---曲线与方程

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[思路引导] 设重心 G 的坐标(x,y)→用 x,y 表示点 P
坐标→点 P 在椭圆上→求出 x,y 满足的关系.
[解析] 依题意知 F1(-1,0),F2(1,0),设 P(x0,y0),G(x, y),由三角形重心坐标关系可得
x=x0-31+1, y=y30
即xy00==33xy,, 代入x420+y302=1,
则 MA⊥PA,且|MA|=1, 又因为|PA|=1, 所以|PM|= |MA|2+|PA|2= 2, 即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2. 即(x-1)2+y2=2 为点 P 的轨迹方程.
考点二 定义法 【例 2】 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+ y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
那么,这个方程叫做 曲线的方程 方程的曲线 .
,这条曲线叫做
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
1.“曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线”是“曲线 C 上 的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两 个曲线方程组成的方程组的实数解; (2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无 解,两条曲线就没有交点.
[解] 设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打 “×”)
(1)f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要 条件.( √ )
(2)方程 x2+xy=x 的曲线是一个点和一条直线.( × ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( × ) (4)方程 y= x与 x=y2 表示同一曲线.( × )
[拓展探究] (1)将本例的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且
与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切”,则圆心 P 的轨迹方程为____y_=__0_(_x_<_-__2_)____.
(2)把本例中圆 M 的方程换为:(x+3)2+y2=1,圆 N 的 方程换为:(x-3)2+y2=1,则圆心 P 的轨迹方程为 ____x_2-__y_82_=__1_(_x_>_1_) __.
直接法求轨迹方程的关键点和注意点 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列 出方程,然后进行化简. (2)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破 坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的 点,这是应该注意的.
1.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,求 Q 点的轨迹方程.
高考数学总复习考点知识专题讲解 曲线与方程
最新考纲:1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系; 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性 质;3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
基础
知识回顾
1.曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个 二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立如下的对应关系:
(2)由已知条件可知圆 M 和 N 外离,所以|PM|=1+R,|PN| =R-1,故|PM|-|PN|=(1+R)-(R-1)=2<|MN|=6.由双曲 线的定义知点 P 的轨迹是双曲线的右支,其方程为 x2-y82= 1(x>1).
(3)由于点 P 到定点 N(1,0)和定直线 x=-1 的距离相等, 所以根据抛物线的定义可知,点 P 的轨迹是以 N(1,0)为焦点, 以 x 轴为对称轴、开口向右的抛物线,故其方程为 y2=4x.
[解] 设 P(x1,y1),R(x,y),
则 Q-12,y1,F12,0. OP 的方程为 y=xy11x. FQ 的方程为 y=-y1x-12. 联立得 x1=1-2x2x,y1=1-2y2x代入抛物线方程可得 y2= -2x2+x.
考点四 参数法
【例 4】 若过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1,l2 分 别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,求 AB 的中点 M 的轨迹方程.
5.平面上有三点 A(-2,y),B0,2y,C(x,y),若A→B⊥ B→C,则动点 C 的轨迹方程为____y_2=__8_x______.
[解析] A→B=2,-2y,B→C=x,2y.∵A→B⊥B→C, ∴A→B·B→C=0,得 2·x-2y·2y=0.得 y2=8x.
核心
考点突破
考点一 直接法 【例 1】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上 的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且Q→P·Q→F=F→P·F→Q, 求动点 P 的轨迹 C 的方程.
参数法求轨迹方程的适用条件和步骤 (1)动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没 有明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这 个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、 截距等)有关. (2)参数法求轨迹方程的一般步骤:选参数→列方程→消 参数→定结论.
设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且M→N=2M→P, P→M⊥P→F,当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程.
→→ 的一点,若RA=AP,则点 P 的轨迹方程为( B )
A.y=-2x
B.y=2x
C.y=2x-8
D.y=2x+4
→→ [解析] 设 P(x,y),R(x1,y1),由RA=AP知,点 A 是线
段 RP 的中点,∴xy++22xy11==10,,
即xy11==2--y.x,
∵点 R(x1,y1)在直线 y=2x-4 上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即 y=2x.故选 B.
2.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 的曲线是( C ) A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 [解析] 由(x-y)2+(xy-1)2=0 得xxy--y= 1=0, 0.
∴yx==11, 或yx==--11., 故选 C.
3.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任
得重心 G 的轨迹方程为94x2+3y2=1(y≠0).故选 C.
相关点(代入)法求轨迹方程的要点和步骤 (1)相关点(代入)法求曲线方程时一般有两个动点,一个 是主动的,另一个是被动的. (2)当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用相 关点(代入)法求其轨迹方程: ①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动. ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化. ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律.
[思路引导] 求出两圆圆心和半径→两圆外切,内切列 出条件→根据定义得轨迹→求出轨迹方程.
[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆
N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半 径为 R.
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2. 由椭圆的定义可知,动圆圆心 P 的轨迹是以 M,N 为左、 右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外), 其方程为x42+y32=1(x≠-2).
一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点
P 的轨迹是( B )
A.圆
∵|PA|=|PN|,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|
=6>|MN|.故动点 P 的轨迹是椭圆.故选 B.
4.已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上
(3)“相关点(代入)法”求轨迹方程的基本步骤 ①设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1). ②求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
x1=fx,y, y1=gx,y.
③代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所 求动点的轨迹方程.
自抛物线 y2=2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线,垂足 为 Q,连接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 F 与 Q 的直线交 于 R 点,求 R 点的轨迹方程.
定义法求曲线方程的 2 种策略 (1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发 直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求 出方程. (2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利 用条件把待定系数求出来,使问题得解.
(2019·山西吕梁二模改编)如图,已知圆 N:x2+(y+ 5)2 =36,P 是圆 N 上的点,点 Q 在线段 NP 上,且有点 D(0, 5) 和 DP 上的点 M,满足D→P=2D→M,M→Q·D→P=0.当 P 在圆上运 动时,求点 Q 的轨迹方程.
[思路引导] 设动点 P 的坐标为(x,y)→建立关于 x,y 的方程→化简可得.
[解] 设点 P(x,y),则 Q(x,-1).
因为Q→P·Q→F=F→P·F→Q, 所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2) 即 2(y+1)=x2-2(y-1),整理得 x2=4y, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2=4y.
(3)在本例中,若动圆 P 过圆 N 的圆心,并且与直线 x= -1 相切,则圆心 P 的轨迹方程为___y_2=__4_x_______.
[解析] (1)由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=
1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x, y),半径为 R,因为圆 P 与圆 M,N 都外切,所以|PM|-|PN| =(R+r1)-(R+r2)=r1-r2=-2,即|PN|-|PM|=2,又|MN| =2,所以点 P 的轨迹方程为 y=0(x<-2).
[解] 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(- 2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 2x-y+5=0,即为点 Q 的 轨迹方程.
2.设点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线, 且|PA|=1,求 P 点的轨迹方程.
[解] 如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0).连接 MA,PM,
[思路引导] 斜率存在时,点斜式设 l1 的方程→得 l2 的 方程→联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率 不存在时将 M 的坐标代入验证.
[解] 当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时,l2 的斜率也存在,
设直线 l1 的方程是 y-1=k(x-1),则直线 l2 的方程是 y-1 =-1k(x-1),所以直线 l1 与 x 轴的交点为 A1-1k,0,直线 l2 与 y 轴的交点为 B0,1+1k,设 AB 的中点 M 的坐标为(x,
y),则有yx==121211+-11kk, ,
两式相加消去 k,
得 x+y=1(x≠12),即 x+y-1=0(x≠12),所以 AB 中点 M 的 轨迹方程为 x+y-1=0(x≠12).
当直线 l1(l2)的斜率不存在时,点 M 的坐标为12,12,此 点在直线 x+y-1=0 上.
综上,AB 的中点 M 的轨迹方程为 x+y-1=0.
考点三 相关点(代入)法
【例 3】 已知 F1、F2 分别为椭圆 C:x42+y32=1 的左、
右焦点,点 P 为椭圆 C 上的动点,则△PF1F2 的重心 G 的轨
迹方程为( C )
A.3x62 +2y72 =1(y≠0)
B.49x2+y2=1(y≠0)
C.94x2+3y2=1(y≠0)
D.x2+43y2=1(y≠0)
[解] 连接 QD,由题意知,MQ 是线段 DP 的中垂线,
所以|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2 5. 由椭圆的定义可知,点 Q 的轨迹是以 D,N 为焦点的椭
圆,依题意设椭圆方程为ay22+bx22=1(a>b>0),则 c= 5,a=3, b=2,
所以点 Q 的轨迹方程是y92+x42=1.
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