第1讲 如何运用数形结合思想提升解题能力

第1讲 如何运用数形结合思想提升解题能力
例1 变式1 例2 变式2 例3 变式3 例4 变式4 例5 变式5 例6 例7 变式训练6 例8
3 【解题指南】 由题意知集合 M 的“长度”为 ，集合 N 的 4 1 “长度”为 ， 而集合{x|0≤x≤1}的“长度”为 1； 设线段 AB＝1， 3 3 1 p＝ ，q＝ ，p，q 可在线段 AB 上自由滑动，p，q 重叠部分的长 4 3 度即为 M∩N.如图，显然当 p，q 各自靠近 AB 两端时，重叠部分 3 1 1 最短，其值为 ＋ －1＝ .故选 C. 4 3 12
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→， → |＝1， →， 如图， 构造△ABO， 使得向量 β＝OB |OB 向量 α＝OA → ＝β－α.因为 α⊥(β－α)，所以∠OAB＝90°. 则AB 在 Rt△ABO 中，|α|＝|OA|≤|OB|＝1， 因为 α≠0，α≠β，所以|α|∈(0，1)． 【典型错误】 错误地认为 θ 的取值范围为，导致 cosθ的 值为，使|α|取值范围错误． 反思提炼： 通过数形结合，将向量问题转化到三角形中，从而利用正弦 定理轻松解决，达到“以形助数”的效果．

但( UA)∪B
A B.

第 1 题图
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x2＋bx＋c，x≤0 【例 2】 设函数 f(x)＝ ， 若 f(－4)＝f(0)， f (－ 2，x＞0 2)＝－2，则函数 y＝g(x)＝f(x)－x 的零点个数为________． 【测量目标】 函数的图象，函数的基本性质，函数与方程． 【解题指南】 由 f(－4)＝f(0)，得 16－4b＋c＝c.由 f(－2) ＝－2，得 4－2b＋c＝－2.联立两方程解得：b＝4，c＝2. x2＋4x＋2，x≤0 于是，f(x)＝ .在同一直角坐标系内，作出函 2，x＞0 数 y＝f(x)与函数 y＝x 的图象， 知它们有 3 个交点， 进而函数亦有 3 个零点．
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图1 图2 不等式的成立条件是： ①Δ ＝4a2－4(2－a)<0⇒a∈(－2，1)； Δ ≥0， ②a<－1，⇒a∈（－3，－2]. g（－1）>0 综上所述 a∈(－3，1)．
第 2 题图
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【例 3】已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)， 且在区间上是增函数，若方程 f(x)＝m (m>0)在区间上有四个不同 的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4 的值为 ( ) A．－8 B．－6 C．2 D．0 【测量目标】 函数的图象和性质，函数与方程． 【解题指南】 函数在上是增函数，由函数 f(x)为奇函数， 可得 f(0)＝0，函数图象关于坐标原点对称，这样就得到了函数在 上的特征图象，由 f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，故函数图象关 于直线 x＝2 对称，这样就得到了函数在上的特征图象，根据 f(x －4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 函数以 8 为周期， 即得到 了函数在一个周期上的特征图象，就不难根据周期性得到函数在 上的特征图象， 根据图象不难看出方程 f(x)＝m (m>0)的四个根中， 有两根关于直线 x＝2 对称，另两根关于直线 x＝－6 对称，故四 个根的和为 2×(－6)＋2×2＝－8.
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变式训练 4．不等式 2≤x2＋px＋10≤6 有唯一解，则实数 p ±4 ． ＝________ 【测量目标】 解一元二次不等式(组)． 【分析】 如图， 令 y＝x2＋px＋10， 2≤y≤6 有且只有一个解， y＝x2＋px＋10 的图象与直线 y＝6 相切．由 x2＋px＋10＝6，即 x2 ＋px＋4＝0 有等根，得Δ＝p2－16＝0，p＝± 4.
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反思提炼： 本题利用等差数列的性质，将“数”的问题通过“形”来解 决．
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( A ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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【分析】如图，A B 时，有( UA)∪B＝U；A＝B 时，有

( UA)∪B＝U 成立．综合以上情形，可得 A B⇒( UA)∪B＝U.
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反思提炼： 对一些不规则方程判断根的个数问题，借助函数图象，将根 的个数问题转化为图象的交点个数问题，从数形结合思想应用的 角度讲是最稳妥、最合理的．用数去弥补形缺乏的严谨，用形去 弥补数缺乏的直观．
图3

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方法二：由 f(x)>a⇔x2＋2>a(2x＋1)．令 y1＝x2＋2，y2＝a(2x ＋1)，在同一坐标系中作出两个函数的图象．如图 3，满足条件 的直线 l 位于 l1 与 l2 之间，而直线 l1，l2 对应的 a 值(即直线的斜 率)分别为 1，－3，故直线 l 对应的 a∈(－3，1)． 【典型错误】 a∈(－3，＋∞)(错因：不会把两个函数图象的 上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题．) 反思提炼： 解不等式问题经常联系函数的图象， 根据不等式中量的特点， 选择两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转 化数量关系来解决不等式的解的问题， 往往可以避免繁琐的运算， 获得简捷的解答．
反思提炼： 在考查集合的基本运算时，借助数轴，可以使问题变得清晰.
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例1 变式1 例2 变式2 例3 变式3 例4 变式4 例5 变式5 全集 U 的两个子集，则 A

B
是( UA)∪B＝U 的 A．充分不必要条件 C．充要条件
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3 1 【例 1】 设数集 M＝x|m≤x≤m＋4 ， 数集 N＝x|n－3≤x≤n ，
且 M，N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把 b－a 叫做集合 {x|a≤x≤b}的“长度”， 那么集合 M∩N 的长度的最小值为( ) 1 2 1 5 A. B. C. D. 3 3 12 12 【测量目标】 集合的基本运算(交集)．
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变式训练 3． 已知 0＜a＜1， 则方程 a|x|＝|logax|的实根个数为 ( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．1 个或 2 个或 3 个 【测量目标】 函数的图象与性质． 【分析】 判断方程的根的个数就是判断图象 y ＝ a|x| 与 y ＝ |logax|交点的个数， 画出两个函数图象， 易知两图象只有两个交点， 故方程有 2 个实根．故选 B.
变式训练 5. 数列{－2n＋2048}的前多少项的和最大？ 【测量目标】 等差数列的性质．
【解】如图所示，在函数 y＝－2x＋2048 中，当 y＝0 时，x ＝1024.对数列{－2n＋2048}来说， ak<0(k≥1025)， 所以， 数列{－ 2n＋2048}的前 1023 项或前 1024 项的和最大．
第 3 题图
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【例 4】 已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2， 当 x∈[－1， ＋∞)时 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围． 【测量目标】 一元二次函数的图象及性质， 不等式的性质． 【解题指南】 方法一： 由 f(x)>a 在[－1，＋∞)上恒成立⇔x2－2ax＋2－a>0 在[－1， ＋∞)上恒成立， 考查函数 g(x)＝x2－2ax＋2－a 的图象在[－1， ＋ ∞)时位于 x 轴上方．如图 1、图 2 两种情况：
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反思提炼： 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、 三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法， 其基本思想 是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 (不熟悉 时，需要作适当变形转化为熟悉的函数)，然后在同一坐标中作出 两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
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变式训练 2． 函数 f(x)＝cosx－|lgx|的零点的个数为________ 4 ． 【测量目标】 函数的图象，函数与方程． 【分析】令 f1(x)＝cosx，f2(x)＝|lgx|，在同一坐标系中画出图 π 象，如图所示，由图可知：当 0＜x≤ 时，f1(x)与 f2(x)有 2 个交 2 π 5π 5 点．当 ＜x＜ 时，f1(x)与 f2(x)有 2 个交点，当 x≥ π时，f2(x) 2 2 2 恒大于 f1(x)，两图象无交点，故共有 4 个零点．
第 5 题图
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【例 6】 已知平面向量 α， β(α≠0， α≠β)满足|β|＝1， 且 α⊥(β －α)，则|α|的取值范围是________． 【测量目标】 向量的模，向量的数量积． 【解题指南】方法一： 因为 α⊥(β－α)，所以 α· (β－α)＝0，|α|2＝α· β. 2 令 α，β 的夹角为 θ，则|α| ＝|α|· |β|· cosθ ，|α|＝cosθ . 因为 α≠0，α≠β，所以|α|∈(0，1)． 方法二：
第 4 题图
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【例 5】若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p，求 ap＋q.
【测量目标】 等差数列的性质，直线的斜率． 【解题指南】 不妨设 p<q，由于等差数列中，an 关于 n 的 图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p，q)，(q， p)，(p＋q，m)共线(如图)，设 ap＋q＝m，由已知，得三点，(p，ap)， p－q m－p (q，aq)，(p＋q，ap＋q)共线．则 kAB＝kBC，即 ＝ ，得 m q－p p＋q－q ＝0，即 ap＋q＝0.