全全等三角形截长补短 易错题难题检测试题

全全等三角形截长补短 易错题难题检测试题
一、全等三角形截长补短
1．已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC
交

直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点
F，连接CF
．

（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α
代数式表示）；

②用等式表示线段FA，FE与FC
的数量关系，并证明．

（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．

2．如图，ABC是边长为1
的等边三角形，BDCD，120BDC，点E，F分

别在AB，AC上，且60EDF，求AEF的周长．

3．问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是AB上的任意一点，连结PA
，

PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?

（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，
∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M
，从而证明

△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是
；

（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不
变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?
请说明理由：

②PC+PD与PA，PB的数量关系是
．（直接写出结果）

（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则
PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是
．（直接写出结果）

4．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE//BC，且DE=DB，点F
与点

G分别在BC、AC边上，∠FDG12∠BDE
．

（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：
_____________
．

5
．如图所示，//ABDCABADBE，，平分ABCCE，平分BCD；

（1）求ABCD、与BC的数里关系，并说明你的理由．
（2）若把ABAD条件去掉，则（1）中ABCD、与BC的数里关系还成立吗?并说明你
的理由．
6．如图1
，在四边形ABCD中，,,ABADBCCDABBC，2ABCEBF，

它的两边分别交ADDC、点,EF．且AECF．

1
求证：
.EFAECF


2
如图2，当MBN的两边分别交,ADDC的延长线于点,EF，其余条件均不变时，


1
中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AECFEF又有怎样的数

量关系？并证明你的结论．

7．如图所示，已知AC平分∠BAD，180BD，CEAB于点E，判断AB、AD
与BE之间有怎样的等量关系，并证明．

8
．如图，ABC中，BE，CD分别平分ABC和ACB，BE，CD相交于点F，

60A
．
（1）求BFD的度数；
（2）判断BC，BD，CE之间的等量关系，并证明你的结论．
9
．如图，在正方形ABCD中，点E迕射线BC上，连接AE，作EFAE，且EF交正

方形外角的平分线CF于点F．

（1）若点E在边BC的中点处时，AE________EF（填“＞”“＜”或“=”）
（2）若点E为边BC上的任意一点（不含点B，C），探究此时AE与EF的数量关系，
并说明理由．
（3）若点E是边BC延长线上的一点，探究此时AE与EF的数量关系，并说明理由．
10．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD
．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、全等三角形截长补短
1．（1）作图见解析；（2）①260，120；②FA=FC +FE，证明见解析；（3
）

AF=FC-EF
．

【分析】
（1）先根据轴对称的性质作出线段AC，再分别以A、C为圆心，AC长为半径画弧，两弧
交于点E，可得等边△ACE，最后根据题意画出图形即可；
（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2，根据等边三角形的性质可知
∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE
；根据轴对称的性质和等边三角形的性质
可得AB=AE，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE；
②在FA上截取FG=EF，连接EG，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG
是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF，利用SAS可证明△AEG≌△CEF，即
可得出AG=CF，根据线段的和差关系即可得结论；
（3）由60°＜α＜90°可知点E在直线l右侧，根据题意画出图形，在FA上截取FG=EF，根
据轴对称的性质可得AF⊥BC，BF=CF，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角
形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG是等边三角形，利用SAS可证明
△AEF≌△CEG，可得FA=CG
，根据线段的和差关系即可得答案．

【详解】
（1）补全图形如下：

（2）①260，
120.
①∵AB、AC关于直线l
对称，

∴∠BAD=∠CAD，AB=AC
，

∵△ACE
是等边三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC=EC
，

∵∠BAD=

，

∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2

，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2

-60°
．

∵AB=AC，AC=AE
，

∴AB=AE
，

∴∠ABE=
1
2
（180°-∠BAE）=120°-．

故答案为：2-60°，
120°-

②数量关系是FA =FC +FE
，证明如下：

在FA上截取FG=EF，连接EG，
由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，
∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°
，

∴△EFG
为等边三角形，
∴EG=FE=FG，∠GEF=60°
，

∵△AEC
是等边三角形，

∴∠AEC=60°，AE=CE
，

∴∠AEC=∠GEF=60°
，

∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF
，

在△AEG和△CEF中，EGEFAEGCEFAECE，
∴△AEG≌△CEF
，

∴AG=FC
∴FA=AG+FG=FC+FE
，

（3）AF=FC-EF．
∵60°＜α＜90°
，

∴如图所示，点E在直线l
右侧，

在FA上截取FG=EF，连接EG，
∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l
上，

∴AF⊥BC，BF=CF
，

∴∠ABC=∠ACB=90°-α
，

由（2）可知∠ABE=120°-α，
∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°
，

∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°
，

∴△EFG
是等边三角形，

∴∠FEG=60°
，

∵∠AEC=60°
，

∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°
，

∴∠AEF=∠CEG
，

在△AEF和△CEG中，EFEGAEFCEGAECE，
∴△AEF≌△CEG
，

∴AF=CG
，

∴AF=FC-EF
．
【点睛】
本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对
称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
2．2
【分析】
延长AC至点P，使CPBE，连接PD，证明BDECDPSAS△△推出DEDP，
BDECDP，进而得到60EDFPDF
，从而证明


DEFDPFSAS≌△△
，推出EF=CP，由此求出AEF的周长=AB+AC得到答案
.

【详解】
解：如图，延长AC至点P，使CPBE，连接PD．
∵
ABC
是等边三角形，

∴
60ABCACB
．

∵
BDCD，120BDC
，

∴
30DBCDCB
，

∴
90EBDDCF
，

∴
90DCPDBE
．

在BDE和CDP中，BDCDDBEDCPBECP，
∴

BDECDPSAS△△
，

∴
DEDP
，BDECDP．

∵
120BDC，60EDF
，

∴
60BDECDF
，

∴
60CDPCDF
，

∴
60EDFPDF
．

在DEF和DPF中，DEDPEDFPDFDFDF，
∴

DEFDPFSAS≌△△
，

∴
EFFP
，

∴
EFFCBE
，

∴AEF的周长2AEEFAFABAC.