全全等三角形截长补短 易错题难题检测试题

全全等三角形截长补短 易错题难题检测试题

一、全等三角形截长补短

1．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．

（1）根据题意将图1补全；

（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．

①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；

②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．

（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．

2．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．

3．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?

（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，

∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明

△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是 ； （自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，

①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：

②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）

（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）

4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12

=∠BDE ． （1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ； （2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：

_____________．

5．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；

（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．

（2）若把AB AD ⊥条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．

6．如图1，在四边形ABCD 中，,,AB AD BC CD AB BC ⊥⊥=，2ABC EBF ∠=∠，它的两边分别交AD DC 、点,E F ．且AE CF ≠．

()1求证：.EF AE CF =+

()2如图2，当MBN ∠的两边分别交,AD DC 的延长线于点,E F ，其余条件均不变时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

7．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．

8．如图，ABC ∆中，BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，CD 相交于点F ，60A ∠=︒．

（1）求BFD ∠的度数；

（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．

9．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．

（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）

（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．

（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 10．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、全等三角形截长补短

1．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．

【分析】

（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；

（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质

可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；

②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；

（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．

【详解】

（1）补全图形如下：

（2）①260α-︒，120.α︒-

①∵AB 、AC 关于直线l 对称，

∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，

∵△ACE 是等边三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，

∵∠BAD=α，

∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．

∵AB=AC ，AC=AE ，

∴AB=AE ，

∴∠ABE=12

（180°-∠BAE ）=120°-α． 故答案为：2α-60°，120°-α

②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：

在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，

由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，

∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，

∴△EFG 为等边三角形，