2021高一数学下新教材必修二课时作业(设计)全册跟踪训练作业精品练习作业

7．若 a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：
(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；
(5)若 a0 是与 a 同向的单位向量，则 a0＝b. 其中正确的是________．(填序号) 解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a 与 b 方向不一定相同或相反；对(3)，非零向
Hale Waihona Puke D．3 个解析：选 A ①忽略了 0 与 0 的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量
相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可
以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选 A.
―→ ―→ ―→ ―→ 5．四边形 ABCD 满足 AD ＝ BC ，且| AC |＝| BD |，则四边形 ABCD 是________(填四
量的模必大于 0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0 与 b 方向不一定相同．综上可
知(3)正确．
答案：(3)
―→
―→
―→
8．已知| AB |＝1，| AC |＝2，若∠ABC＝90°，则| BC |＝________.
―→ 解析：由勾股定理可知，BC＝ AC2－AB2＝ 3，所以| BC |＝ 3.
错误；对 B，零向量的长度是 0，正确；对 C，长度相等的向量方向不一定相同，故 C 错误；
对 D，共线向量不一定在同一条直线上，故 D 错误．故选 B.
3．汽车以 120 km/h 的速度向西走了 2 h，摩托车以 45 km/h 的速度向东北方向走了 2 h，
则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
―→ ―→ ―→ 4.如图，正六边形 ABCDEF 中， BA ＋ CD ＋ FE ＝( )
A．0
―→ B. BE
―→ C. AD
―→ D. CF
―→ 解析：选 B 连接 BE，取 BE 中点 O，连接 OF，BF.∵ CD ＝
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ AF ，则 BA ＋ CD ＋ FE ＝( BA ＋ AF )＋ FE ＝ BE .故选 B.
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因为共有 12 个小方格，所以满足条件的向量共有 24 个． ―→
(2)易知与向量 AB 方向相同且模为 3 2的向量共有 2 个． ―→ ―→ ―→ ―→
10．已知四边形 ABCD 中， AB ＝ DC 且| AB |＝| AC |，tan D＝ 3，判断四边形 ABCD 的形状．
―→ ―→ 解：∵在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵tan D＝ 3，∴B＝D＝60°.
边形 ABCD 的形状)．
―→ ―→
―→ ―→
解析：∵ AD ＝ BC ，∴AD∥BC 且| AD |＝| BC |，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
―→ ―→ 又| AC |＝| BD |知该平行四边形对角线相等，故四边形 ABCD 是矩形．
答案：矩形
6.如图所示，每个小正方形的边长都是 1，在其中标出了 6 个向量，在这 6 个向量中：
解：如图所示．
课时跟踪检测（二） 向量的加法运算
A 级——学考合格性考试达标练
―→ ―→ ―→ 1．在四边形 ABCD 中， AB ＋ AD ＝ AC ，则四边形 ABCD 是( )
A．梯形
B．矩形
C．正方形
D．平行四边形
解析：选 D 由平行四边形法则可得，四边形 ABCD 是以 AB，AD 为邻边的平行四边
―→ ―→ ―→ ―→
确； CB 与 DA 方向相同，大小相等，故 CB ＝ DA ， CB 与 DA 共线，D 错误．故选 A、
B、C.
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若 a∥b，则|a|＝
|b|.其中，正确的命题有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
―→ A. BC
―→ B. AB
―→ C. AC
―→ D. AM
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 解析：选 C ( AB ＋ MB )＋( BO ＋ BC )＋ OM ＝( AB ＋ BO )＋( MB ＋ BC )＋ OM
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ＝ AO ＋ MC ＋ OM ＝( AO ＋ OM )＋ MC ＝ AM ＋ MC ＝ AC .故选 C.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 B 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB
的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选 B.
2．下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则 a＝±b
B．零向量的长度是 0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 解析：选 B 对 A，当|a|＝|b|时，由于 a，b 方向是任意的，a＝±b 未必成立，所以 A
答案： 3
9.如图是 4×3 的矩形(每个小方格的边长都是 1)，在起点和终
―→ 点都在小方格的顶点处的向量中，与向量 AB 平行且模为 2的向量
―→ 共有几个？与向量 AB 方向相同且模为 3 2的向量共有几个？
解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量
―→ 都和 AB 平行且模为 2.
A．平行四边形
B．矩形
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C．菱形
D．等腰梯形
―→ ―→
―→ ―→
解析：选 C ∵ BA ＝ CD ，∴四边形 ABCD 为平行四边形．又∵| AB |＝| AD |，
∴平行四边形 ABCD 相邻两边相等，故四边形 ABCD 为菱形．故选 C.
6．下列叙述：
(1)单位向量都相等； (2)若一个向量的模为 0，则该向量的方向不确定； (3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； (4)方向不同的两个向量一定不平行． 其中正确的有________．(填所有正确的序号) 解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同． (2)正确．若一个向量的模为 0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的． (3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同． (4)错误．方向相反的两个向量一定平行． 答案：(2)
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等
于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和
等于________．
―→ ―→ 解析：结合图形可知，(1)| CH |＝| AE |＝ 10.
―→ ―→
―→
―→
―→ ―→
(2) DG 与 HF 共线，| DG |＝2 2，| HF |＝3 2，故| DG |＋| HF |＝5 2.
5．已知向量 a∥b，且|a|>|b|>0，则向量 a＋b 的方向( )
A．与向量 a 的方向相同
B．与向量 a 的方向相反
C．与向量 b 的方向相同
D．不确定 解析：选 A 若 a 和 b 方向相同，则它们的和的方向应该与 a(或 b)的方向相同；若它
们的方向相反，而 a 的模大于 b 的模，则它们的和的方向与 a 的方向相同．故选 A.
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选 C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知 A、B 错；汽车走的路程为
240 km，摩托车走的路程为 90 km，故 C 正确．故选 C.
4.如图，在矩形 ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
―→ ―→ A. DA 和 BC
―→ ―→
―→ ―→
答案：(1) CH ， AE 10 (2) DG ， HF 5 2
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7.如图，D，E，F 分别是正三角形 ABC 各边的中点．
―→ (1)写出图中所示与向量 DE 长度相等的向量；
―→ (2)写出图中所示与向量 FD 相等的向量；
―→ ―→ (3)分别写出图中所示向量与向量 DE ， FD 共线的向量．
―→ ―→ 6.如图所示，四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，则 OA ＋ BC ＋
―→ AB ＝________.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 解析： OA ＋ BC ＋ AB ＝ OA ＋ AB ＋ BC ＝ OC .
―→
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解：(1)与 DE 长度相等的向量是 EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ， EB .
―→
―→ ―→
(2)与 FD 相等的向量是 CE ， EB .
―→
―→ ―→ ―→ ―→
―→ ―→ ―→
(3)与 DE 共线的向量是 AC ，AF ，FC ；与 FD 共线的向量是 CE ，EB ， CB .
―→
―→
解析：选 ABC 与 AB 相等的向量只有 DC ，A 正确；由已知条件
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 可得| AB |＝| BA |＝| BC |＝| CB |＝| AC |＝| CA |＝| DC |＝| CD |＝| DA |
―→ ＝| AD |，B 正确；如图，过点 B 作 DA 的垂线交 DA 的延长线于 E，因为
―→ ―→ B. DC 和 AB
―→ ―→ C. DC 和 BC
―→ ―→ D. DC 和 DA
―→ ―→ 解析：选 B DC 和 AB 方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段
表示．故选 B.
―→ ―→ ―→ ―→ 5．若| AB |＝| AD |且 BA ＝ CD ，则四边形 ABCD 的形状为( )
―→ ―→ 又| AB |＝| AC |，∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝BC，∴四边形 ABCD 是菱形．
B 级——面向全国卷高考高分练
―→ 1．已知在平面内点 O 固定，且| OA |＝2，则 A 点构成的图形是( )
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．不能确定
―→ 解析：选 C 由于| OA |＝2，所以 A 点构成一个以 O 为圆心，半径为 2 的圆．故选 C.
―→ ∠DAB＝120°，四边形 ABCD 为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在 Rt△BED 中，| DB |
＝
―→ | DE |
，在
Rt△AEB
中，|―A→E |＝1|―AB→|＝1|―AD→|，所以|―D→B |＝32|―D→A |＝
―→ 3| DA |，C 正
cos 30°
2
2
3
2
―→ ―→
C 级——拓展探索性题目应用练
在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点 O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60°，与 y 轴正方向的夹角为 30°；
(2)|a|＝4，a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30°，与 y 轴正方向的夹角为 120°；
(3)|a|＝4 2，a 的方向与 x 轴正方向、y 轴正方向的夹角都是 135°.
形．故选 D.
2．已知 a，b，c 是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c
＋(b＋a)中，与向量 a＋b＋c 相等的向量的个数为( )
A．5 C．3
B．4 D．2
解析：选 A 向量加法满足交换律，所以五个向量均等于 a＋b＋c.故选 A.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 3．向量( AB ＋ MB )＋( BO ＋ BC )＋ OM ＝( )
―→ | PD | 2．已知 D 为平行四边形 ABPC 两条对角线的交点，则 ―→ 的值为( ) | AD |
A.1 2
C．1
B.1 3
D．2
解析：选 C 因为四边形 ABPC 是平行四边形，D 为对角线 BC 与 AP 的交点，所以 D
―→ | PD | 为 PA 的中点，所以 ―→ 的值为 1.故选 C. | AD |
3．[多选]如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
―→
―→
A．与 AB 相等的向量只有一个(不含 AB )
―→
―→
B．与 AB 的模相等的向量有 9 个(不含 AB )
―→
―→
C. BD 的模恰好为 DA 的模的 3倍
―→ ―→ D. CB 与 DA 不共线
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2021 高一数学下新教材必修二课时作业(设计)全册
数 学 必 修 二 课 时 作 业
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课时跟踪检测（一） 平面向量的概念 A 级——学考合格性考试达标练
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温
度是向量；④物理学中的加速度是向量．