三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例

三角公式总表
⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=360
2
R n ⋅π
⒉正弦定理：
A a
sin =B b sin =C
c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）
⒊余弦定理：a
2
=b
2
+c
2
-2bc
A
cos b
2
=a
2
+c
2
-2ac
B cos
c 2
=a 2
+b
2
-2ab C cos bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
⒋S ⊿=2
1a a h ⋅=2
1ab C sin =2
1bc A sin =2
1ac B sin =R
abc 4=2R 2A sin B sin C sin
=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C
B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)
⒌同角关系：
⑴商的关系：①θtg =x
y =θ
θ
cos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθ
θ
θcsc cos sin cos ⋅===
y x ctg ③θθθtg r
y
⋅==
cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅==
=tg x r ⑤θθθctg r x ⋅==
sin cos ⑥θθθ
θsec sin 1
csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=
+b a b a
（其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一
象限，且a
b tg =ϕ）
⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T =ω
π2, 频率f =T
1, 相位ϕω+⋅x ，初相ϕ
⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,2
3,,2
0 求出x 与y ， 依点()
y x ,作图 ⒏诱导公试 三角函数值等于α的同名三角
函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角
函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符
号;即：函数名改变，符号看象限
⒐和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ⋅±=
± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±
⑤γ
βγαβαγ
βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=
++1)( 其中当A+B+C=π时,有:
i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).12
22222
=++C
tg B tg C tg A tg B tg
A tg
⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θ
θ
θθθ212cos sin 22sin tg tg +=
= ②θ
θ
θθθθθ222
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=
③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222
θθθθ-=
+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=
⒒三倍角公式：
①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=
③)60()60(31332
3θθθθ
θ
θθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2
θ
所在的象限确定） ①2cos 12
sin θθ
-±
= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2
cos 12cos θ
θ+±=
④2cos 12
cos 2
θθ
+=
⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2
cos 2cos 12θ
θ=+ ⑦2
sin
2
cos )2
sin 2
(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θ
θ
θθθθθ
sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
-=
+=+-±
=tg
⒔积化和差公式：
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
[])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
[])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++=
()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1sin sin ⒕和差化积公式：
①2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ ②2sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2
sin 2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=- ⒖反三角函数： ⒗最简单的三角
方程
等差数列求和公式的四个层次
等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:
1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2
)
1(2)(2)(111-+=+=+=
+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.
例 1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试题)
(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n
],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).
解法2 ,2
)
1(21n d n n na S n -=-+
= 对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C).
例 2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33
1S 与44
1S 的等比中项为
551S ,331S 与44
1
S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科)
解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2
)
1(1d n n na S n -+
= 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅
241
31)51(4131432
543S S S S S , 即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++⨯+⨯+=⨯+⨯⨯+
2)2344(41)2233(3
1)2455(251)2344(41)2233(31112111
d a d a d a d a d a
化简可得,22520
53121⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+d a d d a 解得⎩⎨⎧==101a d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=45121a d 由此可知1=n a 或.5
12532)512)(1(4n n a n -=-
-+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.5
12
532n a n -= 2.逆向活用公式
在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.
例3 设,N n ∈求证:.2
)
3()1(32212)1(+<+++⋅+⋅<+n n n n n n (1985年全国高考文科)
证明 ,3212
)
1(n n n ++++=+
又,211⋅<,322⋅<,)1(,+<n n n
.)1(32212
)
1(+++⋅+⋅<+∴
n n n n 又),1(4322
)
3(+++++=+n n n
且,221<⋅,332<⋅,443<⋅,1)1(,+<+n n n
.2
)
3()1(3221+<
+++⋅+⋅∴n n n n 例4 数列{}n a 对于任意自然数n 均满足2
)(1n
a a S n n +=,求证: {}n a 是等差数列. (1994年全国高考文科)
证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2)(1n a a S n n +=
及2
)
1)((111++=++n a a S n n 可得 11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n
作差可得,221+++=n n n na na na 因此.112n n n n a a a a -=-+++
由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++ 为常数),所以命题得证.
这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?
3.横向联系,巧用公式
在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式d n n na S n 2
)
1(1-+
=表明是关于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列),(n S n 均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.
解 设bn an S n +=2,则可得
⎪⎩⎪⎨⎧=++++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯
2)416(41
)39(3
1)]55(51[)44(41)33(312
222b a b a b a b a b a
解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧=-=52656b a ,所以n S n
=或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.5
12
532n a n -=
例5 设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知,0,0,1213123<>=S S a 指出
12321,,,,S S S S 中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)
解 由于d n n na S n 2
)
1(1-+
=表明点列),(n S n
都在过原点的抛物线上,再由
,0,01312<>S S
如图所
易知此等差数列公差d<0,且,01>a 图象示,
易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x , 于是0,076<>a a ,故6S 最大.
4.恰当变形妙用公式
对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.
对于公式2
)(1n
a a S n n +=
,变形可得 2
))((2)(2)(111m n a a m a a n a a S n m m m n m n -+++=+=++-,
对于公式d n n na S n 2)1(1-+
=,变形可得,2
1
1d n a n S n -+= 它表明对于任意N n ∈,点列),(n S n n 都在同一直线)2
(2:1d
a x d y l -+=上.
例6 等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(1996年全国高
O
考试题)
解法1 23)(313m
a a S m m += 又由于1002
30212=⋅++=+m a a S m
m m
,
140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m ,
从而,2102
3
1403=⨯=
m S 选(C). 解法2 由于点),(m S m m )2,2(2m S m m )3,3(3m S m m 在同一直线)2
(21d
a x d y -+=上,因
此
m
m m S m S m m m S m S m
m m m --
=--222323223,化简可得:210)(323=-=m
m m S S S ,选(C).
在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法. 解法3 由于点列),(n S n n 均在同一直线上,说明数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 成等差数列,从而可得
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=⋅
⋅=+
243
)5(4
3425343254
3453S S S S S S S S ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=== 5S 435
43S S 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===458524543S S S 从而可求得⎩⎨⎧==1154a a 或⎪⎩
⎪⎨
⎧-=-=528
51654
a a , 故等差数列{}n a 通项为1=n a 或
.5
12
532n a n -=
上如图
解法 4 由于点列),(n
S
n n 均在同一直线
所示,
由24
131
43=+S S 知A 点坐标为(3.5,1). 若直线l 与x 轴无交点,即平行于x 轴,则
d=0,
,,1N n n S n ∈=,显然也满足条件2543)5
1
(4131S S S =⋅,从而.,1,N n a n S n n ∈== 若直线l 与x 轴相交,设其交点为B(x,0),),3,3(31S P ),4,4(42S
P ),5
,5(53S P 由
2543)51(4131S S S =⋅及241
3143=+S S 知,033>S ,044>S 且.055<S 若不然,03
3>S ,044>S .055>S ,由单调性知不可能有2543)5
1
(4131S S S =⋅,因此点B 应落在(4,0),(5,0)之间.由2543)5
1
(4131S S S =⋅可得,455
345
53S S S S =
即有
,4553x x x x --=--解得3
13
=x . 由A 、B 两点坐标可求),(n S n n 所在直线方程为,5
26
56)313(56+-=--=n n n S n
,526562n n S n +-=∴.5
12
532n a n -=
综上所述所求等差数列通项公式为1=n a 或.5
12
532n a n -=
从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.
含参变量的对数高考高考试题解法综述
含参变量的对数问题常常在高考试题中出现,本文对这一类问题的解法作以总结,以揭示这类问题的一般解题规律.
1.直接转换
直接转换:即把已知条件等价变形,而使问题获解,这里一定要注意等价变形.
例1 已知1,0≠>a a ,试求使方程)(log )(log 222
a x ak x a a -=-有解的k 的取值范
围.(1989年全国高考试题)
解:原方程等价于⎪⎩
⎪
⎨⎧>->--=-③a x ②ak x a x ak x 0 0① )(22222
由①可得a k
k x 21
2+= ④ 显然④满足不等式③,将④代入②可得1-<k 或10<<k 即为所求. 例2 解不等式1)11(log >-x
a .(1996年全国高考试题) 解(Ⅰ)当1>a 时原不等式等价不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧>->-a
x
x 1
1011,11x a >-⇒从而.011
<<-x a (Ⅱ)当10<<a 时原不等式等价于不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧-<
<<-<>>-a x ②a x
x x x 11
0 ② 1101① ①
01
1得由或知由 .11
1a
x -<<∴
综上所述,当1>a 时原不等式解集为{}011
|
<<-x a x , 当10<<a 时原不等式解集为{}111|a
x x -<
< 2.消参策略
根据题目特征,消去参数可大大减少不必要的讨论.
例3 设10<<x 且1,0≠>a a ,试比较)1(log x a -与)1(log x a +的大小. (1982年
全国高考试题)
解:x
x x x x -<+<∴<-<-<∴<<1110,11,110,102 于是
1)1(log 11
log )1(log )1(log )
1(log )1(log )1()
1()1()1(=+>-=--=-=+-++++x x
x x x x x x x x a a 因此)1(log x a ->)1(log x a + 3.引参策略
恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这是解题中常用技巧.
例4 设对所有实数x,不等式04)1(log 12log 2)1(4log 2
2
222
2
>+++++a a a a x a a x 恒成立,求a 的取值范围. (1987年全国高考试题)
解:令a
a t a
21
log +=,则原不等式可转化为022)3(2>+-+t tx x t . 要使原不等式恒成立,必须有
φ⎪⎩
⎪
⎨⎧∈⇒>==+t t t t 0
2020
3或⎩⎨⎧>⇒<+-=∆>+00)3(84 032
t t t t t 即,021
log 2
>+a
a 解之.10<<a 适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例1. 解:原方程等价于)(22a x a x ak x >-=-
.,,02
2a x a
a x x k a >--=∴≠
设)2
,0()0,2(,csc π
πθθ -∈=a x ,则θθ
ctg k -=
sin 1
当)0,2(πθ-∈时2
sin cos 1θ
θθctg k =+=
又.1),0,4
(2
-<∴-∈k π
θ
当)2
,0(π
θ∈时2sin cos 1θθθtg k =-=
又.10),4
,0(2<<∴∈k π
θ 综上所述可知k 的范围为1-<k 或.10<<k 4.分类讨论
分类讨论是解决含参变量问题的重要手段之一,值得注意的是在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.
例5 已知自然数n,实数a>1,解关于x 的不等式
).(log 3
)2(1log )
2(log 12log )4(log 21
32a x x n x x x a n
a n a a a n --->-+++-+- (1991年全国
高考试题)
解:原不等式等价于).(log 3
)2(1log 3)2(12a x x a n
a n --->-- (1)n 为奇数时)(log log 2a x x a a ->即2
1
41++<<a x a (2)n 为偶数时)(log log 2a x x a a -<即2
1
41++>
a x 例6 设0,1,0>≠>t a a ,比较t a log 2
1
与2
1
log +t a 的大小,并证明你的结论. (1988年全国高考试题)
解:当t>0时,由均值不等式有t t ≥+2
1
,当且仅当t=1时取“=”号,所以 ①t=1时t a log 2
1=21
log +t a
②1≠t 时 若,10<<a 则t a log 21>2
1
log +t a
若1>a 则t a log 21<2
1
log +t a
分类讨论应注意: ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量, ②按先主后次顺序分层次讨论,③必须确定讨论的全集及分类标准,各类必须互不
相容,否则产生重复讨论各类子集的并集必须是全集,否则产生遗漏现象. 5.数形结合
数和形是整个数学发展过程中的两大柱石,数形结合是数学中十分重要的思想方法,某些问题,不妨可借助于几何图形来考虑,因为几何图形直观、形象,易于求解,请再看例1. 解
:
原
方
程
等
价
于
)(log )(log 22a x ak x a
a -=-,
转化为考虑曲线)0(>-=y ak x y 与曲线
)0(22>-=y a x y ,要使原方程有解,只
须
上半直线和上半双曲线有交点,由
ak x y -=
平行于双曲线一条渐近线x y =,如图,a ka <<0 或a ak -<从而解得1)<<k 或1-<k 时原方程有解. 对例5也可有如下解法.
原不等式等价于).(log 3
)2(1log 3)2(12a x x a n
a n --->--, 在同一坐标系中作
y=x(y>0),)0(2>-=y a x y 的
图象.由图象知a x >,由a x x -=2横
坐标为2141++=
a x ,2
141+-=a x (舍) 当n 为奇数时,由
03
)2(1>--n
知)(log log 2a x x a a ->因a>1由图象知
2
1
41++<
<a x a . 当n 为偶数时,由
03
)2(1<--n
知)(log log 2a x x a a -<因a>1,由图象知2
1
41++>
a x . 仿上方法同理可求解例2,这里从略.
步骤:①把原不等式(方程)等价变形为)),()()(()(x g x f x g x f =>②作出)(x f y =与)(x g y =图象,③由)()(x g x f =求交点,④由图象及函数性质确定范围,从而求解.
6.分离参数(主次转化)
更换问题中的参变量和变量位置,常常得到新颖简洁的解法,请再看例4. 解:将原不等式变形为,021
log )22(32
22>++-+a
a x x x ,01)1(222
2
>+-=+-x x x 1
)1(321log 2
2
2+-->+∴x x a a , 又对于任意R x ∈,01
)1(32
2
≤+--x x ,因此必须且只须,021log 2>+a a 即
,121
>+a
a 解之0<a<1. ∴所求a 的取值范围为0<a<1.
例7 设,)1(321lg
)(n a
n n x f x x x x +-++++= 其中a 是实数,2,≥∈n N n ,如果当)1,(-∞∈x 时,)(x f 有意义,求a 的取值范围. (1990年全国高考试题)
解:由题设知)1,(-∞∈x 时不等式0)1(321>+-++++a n n x x x x 恒成立, 即])1(
)3()2()1[(x
x x x n
n n
n
n
a -++++-> 恒成立.
令])1(
)3()2()1[()(x
x x x n n n n
n x -++++-= ϕ,)1,(-∞∈x 时为增函数.
因此x=1时21)121()(max n
n n n n x -=-+++-= ϕ.
)(x a ϕ> 恒成立,2
1n
a ->∴. 仿上述解法可对例1再给出如下两个解法:
解法1 以k 为主参数考虑由)1(22
k a kx +=,知
a
x
k k =+212,a x x f =)(在),(+∞ak 为增函数,故k a x x f >=)(即
k k
k >+212
,解之1-<k 或.10<<k 解法2 以a 为主参数,由0122>+=k kx a 知k 与x 同号,代入0>-ak x 知2
212k x
k x +> ①当x>0时,则k>0,故101122
2
<<⇒<+k k k ②当x<0时,则k<0,故
11122
2
-<⇒>+k k k 综上可知)1,0()1,( --∞∈k .
分离参数一般步骤为:①将含参数t 的关于x 的方程或不等式变形为g(t)与
)(x ϕ的等式或不等式,②根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数)(x ϕ的取
值范围D,③由D 以及g(t)与)(x ϕ的相等与不等关系确定为g(t)的取值范围,从而求出参数t 的范围. 说明:这里①是前提,②是关键
从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.。