三角函数中ω,φ的取值范围问题——基于核心素养的高考二轮复习微专题

㊀㊀㊀
三角函数中ω,φ的取值范围问题
基于核心素养的高考二轮复习微专题
◉乐山市教育科学研究所㊀王郝欢
㊀㊀摘要:
三角函数是高中数学中的基础内容,一直是高考的热点,而涉及ω和φ的取值范围问题一直是困扰学生的难点．本文中通过分类整理历年的高考真题,探究解决这类问题的一般方法,然后给出备考策略．
关键词:三角函数;ω,φ的取值范围;
高考真题;数学思想;备考策略㊀㊀
１考点回顾
１．１考纲解读
根据«普通高等学校招生全国统一考试大纲说明»对三角函数的图象与性质的要求,这部分的内容
分为４个知识考点,其考核要求[１]为:了解周期函数
的定义㊁理解三角函数(y ＝s i n x ,y ＝c o s x ,y ＝t a n x )的图象与性质㊁函数y ＝A s i n (ωx ＋φ)
的图象与性质㊁三角函数的简单应用．
１．２命题分析
笔者统计了近１５年高考中考查的三角函数ω和
φ的取值范围问题,
如表１所示．表１㊀近１５年高考三角函数ω和φ的取值范围问题分布情况
年份地区题号分值２００５年全国Ⅱ卷４
５２００６年福建卷１６５２００８年辽宁卷１６５２００９年全国Ⅱ卷８５２０１０年辽宁卷６５２０１１年全国Ⅰ卷７５２０１２年全国Ⅱ卷９５２０１３年全国Ⅱ卷１６５２０１４年北京卷１４
５２０１５年天津卷１４５２０１６年天津卷８５２０１６年全国Ⅰ卷１２５２０１８年全国Ⅱ卷１０５２０１９年全国Ⅲ卷１２５２０２０年
全国Ⅰ卷
７５
２典例剖析
２．１借助特殊位置,
考查特殊与一般的思想例１㊀(２０２０
全国Ⅰ卷,理７)设函数f (x )＝
c o s ωx ＋
π６æ
è
çöø
÷在－π,π[]的图象大致如图１,则f (x )
的最小正周期为(㊀㊀)．
A ．１０π９㊀㊀㊀㊀
B ．７π６㊀㊀㊀㊀
C ．４π３㊀㊀㊀㊀
D ．
３π
２
图１
解法１:由图知f －４π９æèçöø÷＝c o s －４π９
ω＋π６æèçöø÷＝０,
所以－４π９ω＋π６＝π
２
＋k π(k ɪZ )
,化简得ω＝－３＋９k
４
(k ɪZ ),又因为T ＜２π＜２T ,即
２πω＜２π＜
４π
ω
,所以１＜ω＜２．当且仅当k ＝－１时１＜ω＜２,所以ω＝３
２
,最小正周期T ＝
２πω＝４π
３
．
故选C ．解法２:由y ＝c o s x 的图象知,－４π
９
为图象的
上零点 ,则－４π９ω＋π６＝－π２
＋２k π(k ɪZ )
,化简得７
５２０２２年４
月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀复习指引
复习
备考
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㊀㊀㊀ω＝
３－９k
２,所以T＝
４π
|３－９k|(kɪZ),显然只有C选
项符合．故选C．
点评:本题的解题关键在于抓住零点－４π９．解法１
把ωx＋
π
６看作一个整体,对照正弦函数图象,得出ω
的方程,但范围过大,还需进一步限制．解法２在此基
础上进行了优化,运用 上零点 的概念,结合选项,快
速找到了答案．
２．２借助等量关系,考查函数与方程的思想
例２㊀(２００８ 辽宁卷,理１６)已知f(x)＝
s i nωx＋π３
æ
èç
ö
ø÷
(ω＞０),fπ６æèçöø÷＝fπ３æèçöø÷,且f(x)在区
间π６,π３
æ
èç
ö
ø÷
有最小值,无最大值,则ω＝．
解:由f
π
６æèçöø÷＝f
π
３æèçöø÷知f(x)关于x＝
π
４对称,
因为f(x)在区间π６,π３
æ
èç
ö
ø÷
有最小值,无最大值．结合图
象可知,f(x)在x＝π４处取得最小值,则π４ω＋π３＝
－π２＋２kπ,得ω＝８k－１０３(kɪZ);又Tȡπ３－π６,即
ωɤ１２,故k＝１时,ω＝１４３．
点评:等量关系往往隐藏着对称轴,利用函数对
称性结合正弦函数图象可解得ω的方程．
２．３借助图象性质,考查数形结合的思想
例３㊀(２０１４ 北京卷,理１４)设函数f(x)＝
s i n(ωx＋φ),A＞０,ω＞０,若f(x)在区间π６,π２
é
ë
êêù
û
úú上
具有单调性,且f
π
２æèçöø÷＝f
２π
３æèçöø÷＝－f
π
６æèçöø÷,则f(x)
的最小正周期为．
解:由f(x)在区间π６,π２
é
ë
êêù
û
úú上具有单调性,且
f
π
２æèçöø÷＝－f
π
６æèçöø÷知,f(x)的对称中心为
π
３,０
æ
èç
ö
ø÷
,由
f
π
２æèçöø÷＝f
２π
３æèçöø÷知,直线x＝
１
２
π
２＋
２π
３
æ
èç
ö
ø÷＝
７π
１２为函数
f(x)的对称轴．设函数f(x)的最小正周期为T,则１２
Tȡ
π
２－
π
６,即Tȡ
２π
３,所以
７π
１２－
π
３＝
T
４,解得T＝π．
点评:本题以三角函数图象性质为背景考查了数
形结合思想．利用两对称中心的距离㊁对称中心到对称
轴的距离㊁两对称轴的距离的关系求解周期是解决此
类问题的通法．
２．４借助图象变换,考查转化与化归的思想
例４㊀(２０１１ 全国Ⅰ卷,文７)设函数f(x)＝
c o sωx(ω＞０),将y＝f(x)的图象向右平移π３个单位
长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等
于(㊀㊀)．
A．１３B．３C．６D．９
解法１:将函数f(x)＝c o sωx的图象向右平移π３
个单位得y＝c o sωx－
ωπ
３
æ
èç
ö
ø÷
,则－ωπ３＝２kπ,ω＝－６k,
kɪZ．又ω＞０,所以k＝－１时,ω取得最小值６．
故选C．
解法２:由题可知,函数f(x)＝c o sωx周期的整
数倍是π３,即２πω k＝π３⇒ω＝６k(kɪZ);又ω＞０,所
以k＝１时,ω取得最小值６．故选C．
点评:本题以图象变换为背景考查转化与化归的
数学思想,两种解法提供了不同的思路．解法１从代数
解析式入手,先平移再利用诱导公式得出ω的方程;
解法２从图象周期性入手,欲使图象重合,必然平移
了整数倍的周期,此乃问题的本质．
２．５借助不确定性,考查分类与整合的思想
例５㊀(２０１６ 天津卷,文８)已知函数f(x)＝
s i n２ωx２＋１２s i nωx－１２(ω＞０),xɪR．若f(x)在区间
(π,２π)内没有零点,则ω的取值范围是(㊀㊀)．
A．０,１８
æ
èç
ù
û
úú㊀㊀㊀㊀㊀㊀B．０,１４
æ
èç
ù
û
úúɣ５８,１
é
ë
êêö
ø÷
C．０,５８
æ
èç
ù
û
úúD．０,１８
æ
èç
ù
û
úúɣ１４,５８
é
ë
êêù
û
úú
解:f(x)＝２２s i nωx－π４
æ
èç
ö
ø÷
,令f(x)＝０,解得
x＝
kπ＋
π
４
ω
(kɪZ)
．
８
５
复习
备考复习指引㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月
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㊀㊀㊀
假设f (x )在区间(π,２π)
内有零点,则π＜k π＋
π４ω＜２π,即k ２＋１８＜ω＜k ＋１
４
．
当k ＝０时,１８＜ω＜１４;当k ＝１时,５８＜ω＜５
４;
当k ＝２时,９８＜ω＜９
４;
所以,f (
x )在区间(π,２π)内没有零点时,０＜ωɤ１８或１４ɤωɤ５
８
．故选D ．点评:本题先假设在区间(π,２π
)内有零点,分类讨论求出ω的范围,从而得出没有零点时ω的范围,正所谓 正难则反 ．
３备考策略
３．１抓住概念,
回归本质数学概念是数学教学的核心．y ＝A s
i n (ωx ＋φ)的图象源自y ＝s i n x ,y ＝A c o s (ωx ＋φ)的图象源自y ＝c o s x ,y ＝A
t a n (ωx ＋φ)的图象源自y ＝t a n x ,无论题目换成什么背景,其本质不变,就是通过正弦函数㊁余弦函数㊁正切函数的图象来解题．
３．２贯穿思想,
活用方法三角函数具有几何和代数的两个特征,命题专家往往利用它来考查学生的分析和解决问题能力,只有把数学思想方法贯穿于教学中,才能提高学生的思维水平,从而适应考试题目的创新．
３．３培养能力,
提升素养任子朝先生说: 中国的高考正在实现从能力立
意到素养导向的历史性转变 [２]
．
近几年的高考试题在 素养导向 方面均有体现,备考时应深度挖掘历年真题中的核心素养．
４精题集萃
(１)已知函数f (x )＝s i n (ωx ＋φ)ω＞０,|φ
|ɤπ２æè
çöø
÷,
x ＝－
π４为f (x )的零点,x ＝π
４
为y ＝f (x )图象的对称轴,且f (x )
在π１
８,５
π３６æèçöø÷单调,则ω的最大值为(㊀㊀)．
A．１１㊀㊀㊀㊀B ．９㊀㊀㊀㊀C ．７㊀㊀㊀㊀D．５
(２)已知ω＞０,函数f (x )＝s i n ωx ＋
π４æè
çöø
÷在π２,πæèçöø
÷上单调递减．
则ω的取值范围是(㊀㊀)．A．１２,
５４éëêê
ùû
ú
úB ．１２,
３４éëêê
ùû
ú
úC ．０,１２æèçùû
úúD．(０,２
](３)设函数f (x )＝s i n ωx ＋
π５æè
çöø
÷(ω＞０)
,已知f (
x )在０,２π[]有且仅有５个零点,下述四个结论:①f (x )在(０,２π)有且仅有３个极大值点;②f (x )在(０,２π)有且仅有２个极小值点;③f (x )在０
,π１
０æèçöø÷单调递增;④ω的取值范围是１
２５,２９１０éëêêöø÷．其中所有正确结论的编号是(㊀㊀)．
A．①④
B ．②③
C ．①②③
D．①③④
(４)若将函数y ＝t a n ωx ＋
π４æè
çöø
÷ω＞０()的图象向右平移
π６个单位长度后,与函数y ＝t a n ωx ＋π６æè
çöø÷的图象重合,则ω的最小值为(㊀㊀)．
A．１
６
B ．１４
C ．１３
D．１
２
(５)已知函数f (x )＝s i n ωx －
π４æè
çöø
÷(ω＞０)
的图象在区间１,２()上不单调,则ω的取值范围为(㊀㊀)．
A ．３π８,＋¥æèçöø
÷
B ．３π８,３π４æèçöø÷ɣ７π８,＋¥æèçöø
÷
C ．３π８,７π８æèçöø÷ɣ７π４,＋¥æèçöø÷
D ．３π４,＋¥æèçöø
÷参考答案为:(１)B ;(２)A ;(３)D ;(４)D ;(５)B ．
参考文献:
[１
]陈昂,任子朝,赵轩．高考中三角函数内容考查研究[J ]．数学通报,２０１８,５７(１０)．
[２]任子朝．从能力立意到素养导向[J ]．
中学数学教学参考(上旬),２０１８．９
５２０２２年４
月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
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