2023年高考全国甲卷文科数学试题真题(含答案详解)

2023年高考全国甲卷文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则N ∪C U M =（ ）
A. {}2,3,5
B. {}1,3,4
C. {}1,2,4,5
D. {}2,3,4,5
2. ()
()()351i 2i 2i +=+-（ ）
A. 1-
B. 1
C. 1i -
D. 1i + 3. 已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-=（ ）
A. 117
B.
C.
D. 4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. 16
B. 13
C. 1
2 D. 23
5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（ ）
A. 25
B. 22
C. 20
D. 15
6. 执行下边的程序框图，则输出的B =（ ）
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
7. 设12,F F 为椭圆2
2:15
x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
8. 曲线e 1
=+x
y x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A. e 4y x = B. e 2y x = C. e e 44y x =+ D. e 3e 24
y x =+ 9. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）
A.
B.
C.
D. 10. 在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2
的等边三角形2,PA PB PC ===
） A. 1
B.
C. 2
D. 3 11. 已知函数()2(1)e x f x --=
．记,,222a f b f c f ⎛⎛⎫⎛===
⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. b c a >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >>
12. 函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6
π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =
-的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．
14. 若()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛
⎫=-+++ ⎪⎝⎭
为偶函数，则=a ________． 15. 若x ，y 满足约束条件323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩
，则32z x y =+的最大值为________．
16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A
+-=． （1）求bc ；
（2）若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c
--=+，求ABC 面积． 18. 如图，在三棱柱111ABC
A B C 中，1AC ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．
（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；
（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高．
19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表
95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：()()()()2
2
()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
20. 已知函数()2,0,cos 2f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；
（2）若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．
21. 已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，AB =
（1）求p ；
（2）设F 为C 的焦点，,M N 为C 上两点，且0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．
（1）求α；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知()2||, 0 f x x a a a =-->．
（1）求不等式()f x x <的解集；
（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a 。

2023年高考全国甲卷文科数学试题答案详解
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则N ∪C U M =（ ）
A. {}2,3,5
B. {}1,3,4
C. {}1,2,4,5
D. {}2,3,4,5
【答案】A
【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以∁U M ={2,3,5}。

又{2,5}N =，所以N ∪∁U M ={2,3,5}。

故选：A. 2. ()
()()351i 2i 2i +=+-（ ）
A. 1-
B. 1
C. 1i -
D. 1i + 【答案】C
【详解】
()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-
故选：C. 3. 已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-=（ ）
A. 117
B.
C.
D. 【答案】B
【详解】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=-。

则2253
34,11a b a b +=+=-=+=和()()
()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-=。

所以()()cos ,1734a b a b a b a b
a b a b +⋅-+-===+-. 故选：B. 4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学
生来自不同年级的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 1
2 D. 23
【答案】D
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有2
4C 6=件。

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有11
22C C 4=。

所以这2名学生来自不同年级的概率为4
2
63=.
故选：D.
5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（
） A. 25 B. 22 C. 20
D. 15 【答案】C
【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得。

2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,
又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==。

所以5154
55210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．
故选：C.
方法二：264210a a a +==和4845a a =，所以45a =和89a =。

从而84
184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=。

所以53520S a ==．
故选：C.
6. 执行下边的程序框图，则输出的B =（ ）
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
【答案】B
【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体123A =+=，325B =+=和112k =+=； 当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体358A =+=，8513B =+=和213k =+=； 当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体81321A =+=，211334B =+=和314k =+=； 当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．
故选：B.
7. 设12,F F 为椭圆22:15
x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（ ） A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
【答案】B 【详解】方法一：因为120
PF PF ⋅=，所以1290FPF ∠=。

从而122121tan 4512
FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=． 故选：B.
方法二：
因为120PF PF ⋅=，所以
1290FPF ∠=，由椭圆方程可知25142c c =-=⇒=。

所以222212
12416PF PF F F +===
，又122PF PF a +== 22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．
故选：B.
8. 曲线e 1
=+x
y x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A. e 4y x = B. e 2y x = C. e e 44y x =+ D. e 3e 24
y x =+ 【答案】C 【详解】设曲线e 1
x
y x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-。

因为e 1
x
y x =+。

所以()()
()22e 1e e 11x x
x x x y x x +-'==++。

所以1e |4x k y ='== 所以()e e 124
y x -=- 所以曲线e 1
x
y x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+.故选：C
9. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由e =2222
22215c a b b a a a +==+=。

解得2b
a =。

所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =。

则圆心(2,3)到渐近线的距离
d ==
所以弦长||5AB ===.故选：D
10. 在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2的等边三角形2,PA PB PC === ）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
【答案】A
【详解】取AB 中点E ，连接,PE CE ，如图。

ABC 是边长为2的等边三角形2PA PB ==。

,PE AB CE AB ∴⊥⊥，又,PE CE ⊂平面PEC 和PE CE E =。

AB ∴⊥平面PEC 。

又22PE CE ==⨯=PC =
故222PC PE CE =+，即PE CE ⊥。

所以11121332
B PE
C A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯=△，故选：A
11. 已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. b c a >>
B. b a c >>
C. c b a >>
D. c a b >>
【答案】A 【详解】令2
()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =。

4112⎛---= ⎝⎭，而22491670-=+=>。

41102⎛--=> ⎝
⎭11>
由二次函数性质知22g g <。

因为4112222⎛---=- ⎝
⎭，而22481682)0-=+==<。

即1122-<-，所以)22
g g >。

综上(
2g g g <<。

又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.
12. 函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6
π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =
-的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C 【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-。

而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭与()1,0两点。

作出()f x 与1122
y x =-的部分大致图像如下。

考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122
y x =-的大小关系。

当3π4x =-时3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭； 当3π4x =时3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭和13π13π412428y -=⨯-=<； 当7π4x =时7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭和17π17π412428y -=⨯-=>； 所以由图可知，()f x 与1122
y x =
-的交点个数为3. 故选：C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________． 【答案】12
- 【详解】若1q =。

则由6387S S =得118673a a ⋅=⋅，则10a =，不合题意.
所以1q ≠.
当1q ≠时，因为6387S S =。

所以()
()6311118711a q a q q
q --⋅=⋅--。

即()()638171q
q ⋅-=⋅-，即()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-，即()3817q ⋅+=。

解得12
q =-. 14. 若()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++
⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________． 【答案】2
【详解】()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭。

且函数为偶函数。

20a ∴-=，解得2a =。

15. 若x ，y 满足约束条件323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪
-+≤⎨⎪+≥⎩
，则32z x y =+的最大值为________．
【答案】15
【详解】作出可行域，如图。

由图可知，当目标函数322
z
y x =-+过点A 时，z 有最大值。

由233323x y x y -+=⎧⎨
-=⎩可得3
3x y =⎧⎨=⎩
，即(3,3)A ,
所以max 332315z =⨯+⨯=.
16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．
【答案】 【详解】设球的半径为R .
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点。

正方体的外接球直径2R '
为体对角线长1AC =
=
2R R ''==
，故max R =
分别取侧棱1111,,,AA BB CC DD 的中点,,,M H G N ，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形
MNGH 的对角线交点。

连接MG ，则MG =MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值
为
综上，R ∈.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a
A
+-=．
（1）求bc ； （2）若
cos cos 1cos cos a B b A b
a B
b A c
--=+，求ABC 面积．
【答案】（1）1 （2【小问1详解】
因为2
2
2
2cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A
+-===，解得：1bc =．
【小问2详解】 由正弦定理可得
cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C
---=-++
()()()()()
sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B
A B A B A B ---=
-==+++。

变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=。

而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-
，又0πA <<，所以sin 2
A =。

故ABC 的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯=
△． 18. 如图，在三棱柱111ABC
A B C 中，1
AC ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．
（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；
（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高． 【答案】（1）证明见解析. （2）1 【小问1详解】
证明：因为1
AC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC , 所以1A C BC ⊥,
又因为90ACB ∠=，即AC BC ⊥。

1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1
AC AC C ⋂=, 所以BC ⊥平面11ACC A 。

又因为BC ⊂平面11BCC B , 所以平面11ACC A ⊥平面11BCC B . 【小问2详解】 如图。

过点1A 作11A O CC ⊥，垂足为O .
因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1
AO ⊂平面11ACC A 。

所以1A O ⊥平面11BCC B 。

所以四棱锥111A BB C C -的高为1A O .
因为1
AC ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC , 所以1A C BC ⊥,1A C AC ⊥, 又因为1A B AB =，BC 为公共边。

所以ABC 与1A BC 全等，所以1A C AC =.
设1
AC AC x ==，则11A C x =。

所以O 为1CC 中点，111
12
OC AA =
=, 又因为1A C AC ⊥,所以222
11A C AC AA +=,
即2222x x +=，解得x =。

所以1
1AO ==
=。

所以四棱锥111A BB C C -的高为1．
19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表
95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：()()()()
22
()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能 【小问1详解】 试验组样本平均数为：
1
(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220
+++++++++++ 396
21.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820
++++++++=
= 【小问2详解】
（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数。

由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,。

故第20位为23.2，第21位数据为23.6。

所以23.223.6
23.42
m +=
=。

故列联表为：
（ii ）由（i ）可得2
40(661414) 6.400 3.84120202020
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯。

所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 20. 已知函数()2
sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．
【答案】（1）()f x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减
（2）0a ≤ 【小问1详解】
因为1a =，所以()2
sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭。

则()()2243
2cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x x
x x
f x x
x
--+'=-
=- (
)33
33222cos cos 21cos cos
cos 2cos cos x x x
x x x
x
---+-=
=。

令cos t x =，由于π0,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以()cos 0,1t x =∈。

所以()()()2
3
2
3
3
2
2
2
cos cos 22221211x x t t t t t t
t t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-。

因为()2
222110t t t ++=++>，10t -<和33cos 0x t =>。

所以()233cos cos 2
0cos x x f x x +-'=<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立。

所以()f x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.
【小问2详解】 法一：
构建()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛
⎫=+=-
+<< ⎪⎝⎭。

则()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝
⎭。

若()()sin 0g x f x x =+<，且()()00sin00g f =+=。

则()0110g a a '=-+=≤，解得0a ≤。

当0a =时，因为22
sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛
⎫-
=- ⎪⎝⎭。

又π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以0sin 1x <<和0cos 1x <<，则
211cos x >。

所以()2
sin sin sin 0cos x
f x x x x
+=-<，满足题意； 当a<0时，由于π
02
x <<
，显然0ax <。

所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x x
f x x ax x x x x
+=-
+<-<，满足题意；
综上所述：若()sin 0f x x +<，等价于0a ≤。

所以a 的取值范围为(],0-∞. 法二：
因为()
2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x
---===-。

因为π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以0sin 1x <<和0cos 1x <<。

故2
sin sin 0cos x x x
-
<在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立。

所以当0a =时()2
sin sin sin 0cos x
f x x x x
+=-<，满足题意； 当a<0时，由于π
02
x <<
，显然0ax <。

所以()22
sin sin sin sin sin 0cos cos x x
f x x ax x x x x
+=-
+<-<，满足题意； 当0a >时，因为()322
sin sin sin sin cos cos x x
f x x ax x ax x x
+=-+=-。

令()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()2243
3sin cos 2sin cos x x x
g x a x
+'=-。

注意到()2243
3sin 0cos 02sin 0
00cos 0
g a a +'=-=>。

若π02
x ∀<<
和()0g x '>，则()g x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增。

注意到()00g =，所以()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意； 若0π
02
x ∃<<
和()00g x '<，则()()000g g x ''<。

所以在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上最靠近0x =处必存在零点1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()10g x '=。

此时()g x '在()10,x 上有()0g x '>，所以()g x 在()10,x 上单调递增。

则在()10,x 上有()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意； 综上：0a ≤.
21. 已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，|AB |=4√15． （1）求p ；
（2）设F 为C 的焦点，,M N 为C 上两点，且0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值． 【答案】（1）2p =
（2）12-【小问1详解】
设()(),,,A A B B A x y B x y 。

由2
2102x y y px
-+=⎧⎨
=⎩可得2
420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==。

所以A B AB y =
=-==
即2
260p p --=，因为0p >，解得：2p =．
【小问2详解】
因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零。

设直线MN ：x my n =+和()()1122,,,M x y N x y 。

由24y x x my n
⎧=⎨=+⎩可得2440y my n --=，所以12124,4y y m y y n +==-。

22161600m n m n ∆=+>⇒+>。

因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=。

即()()1212110my n my n y y +-+-+=。

亦即()
()()()2
2
12121110m y y m n y y n ++-++-=。

将12124,4y y m y y n +==-代入得。

22461m n n =-+和()()2
2
410m n n +=->。

所以1n ≠，且2610n n -+≥
，解得3n ≥+
3n ≤- 设点F 到直线MN 的距离为d
，所以d =
12MN y y =
=-=
1==-。

所以MNF
的面积
()2
111122S MN d n =⨯⨯=-=-。

而3
n ≥+3n ≤
-
当3n =
-MNF
的面积(2
min 212S =-=-
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 已知点()2,1P ，直线2cos ,
:1sin x t l y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于
,A B ，且4PA PB ⋅=．
（1）求α；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程． 【答案】（1）
3π
4
（2）cos sin 30ραρα+-= 【小问1详解】
因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以π
π2
α<<。

令0x =和12cos t α=-
，令0y =和21
sin t α
=-。

所以2124
4sin cos sin 2PA PB t t ααα
====，所以sin 21α=±。

即π2π2k α=
+，解得π1
π,42
k k α=+∈Z 。

因为
π
π2α<<，所以3π4
α=． 【小问2详解】
由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1。

所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=。

由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知()2||, 0 f x x a a a =-->． （1）求不等式()f x x <的解集；
（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ． 【答案】（1）,33a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）2 【小问1详解】
若x a ≤,则()22f x a x a x =--<, 即3x a >,解得3a x >
,即3
a
x a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =--<, 解得3x a <,即3a x a <<,
综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【小问2详解】
2,()23,x a x a
f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩
.
画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ABC
ABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以||=AB a
所以S △ABC =1
2|AB |⋅a =1
2a 2=2,解得a =2。