立体几何一之点线面
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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：sh13年 级：高二 课时数：3
学员姓名：Selena辅导科目：数学学科教师:满英
课 题
立体几何（一）
教学目的
1、熟悉点线面之间的位置关系和集合描述语言
2、熟悉异面直线所成角的概念和求法
3、熟悉直线和平面所成角的概念和求法
教学内容
一、知识点回顾
1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a
∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
∴a、b、c、d四线共面．
注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．
C、必要非充分条件． D、非充分非必要条件．
2．若 、 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )B
A．若 ， ，则 ；B．若 ， ，则 ；
C．若 ， ，则 ； D．若 ， ，则 ．
3．设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是【 】
A． B．
C． D．
3．在空间中，给出下列4个命题(其中 表示直线， 表示平面)，则正确命题的序号是( )
（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段．
∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．
说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．
变式练习：
1、（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
解析：不一定，还可能异面．
（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
解析：三种：相交，平行，异面．
2、画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
解：
例4、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．
解析：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．
4.平面与平面之间的位置关系：
5求空间角
(1)异面直线所成的角通过平移成两相交直线所成的角来算
【课堂小练】
3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．
(2)斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；
二 例题讲解
例1、求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
【课堂总结】
1、空间中两条直线的位置关系有哪些：
2、如何求异面直线所成的角？主要有哪些步骤？
【课后练习】
1、在下列六组条件中，（1）空间三个点（2）空间的一条直线与一个点（3）空间两条相交直线（4）三条平行直线与第四条直线都相交（5）两两相交且不同于一点的三条直线（6）三条直线中的一条与其余两条分别相交，能确定一个平面的条件是3,4,5（不能的请举出反例）
求证：B、D、P三点共线．
证明：∵AB∩BD＝B，
∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．
∵A∈AB，D∈BD，
∵E∈AB，F∈AD，
∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．
∴平面ABD∩平面BCD＝BD．
∴P∈BD即B、D、P三点共线．注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．
变式练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．
③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．
例2、如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，Fra bibliotekEF交GH于P．
求证：P在直线BD上．
分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．
已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，
集合语言：
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1、
推论2、
推论3、
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
集合语言;
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．∵β∩γ＝b，
∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．
例3、设图中的正方体的棱长为a，
（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？
求异面直线 所成的角。
解析：取 中点 ，连结 ，∵ 分别是 的中点，
∴ 且 ，
∴异面直线 所成的角即为 所成的角，
在 中， ，
∴ ，异面直线 所成的角为 ．
说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形 内角 是钝角时，表示异面直线 所成的角是它的补角。
1、“直线 ( )
A、充要条件． B、充分非必要条件．
变式练习：
1、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．
解析：
2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解析：法（一）连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，
2、判断下列命题的真假。
（1）可画一个平面，是它的长为4cm,宽为2cm. ( 错 )
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。 （ 对 ）
（3）平面 与平面 只有一个公共点。 （ 错 ）
（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面。（ 对 ）
定理，得
法（二）取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即
一可知：
法（三）延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．（如图5）连EC1，在
由余弦定理，得
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
(1)三个点确定一个平面；(2)若
(3)在空间中，若角 的两边分别平行，则 ；
(4)若 ．
A．(1)、(2)、(4)． B．(2)． C．(2)、(3)． D．(2)、(3)、(4)．
4．以下四个命题中的假命题是……（ ）
（A）“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；
（B）直线“ ”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”；
（C）两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面 所成角相等”；
（D）“直线a//平面 ”的必要不充分条件是“直线a平行于平面 内的一条直线”．
3、若a、b为异面直线，c//a,则c与b的位置关系是 （D）
A相交 B 平行 C异面 D异面或相交
4、空间四边形 中，对角线 ， ， 分别为 的中点，且 ，求异面直线 所成的角。90°
5、在空间四边形 中， ， ，且 ， 分别为 的中点，求 及 与 所成角的正切值。
6、空间四边形 中， ， 分别是 的中点， ，
（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．
（3）求异面直线BC和AA′的距离．
解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′
∴直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．
（2）∵CC′∥BB′，
∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．
学员编号：sh13年 级：高二 课时数：3
学员姓名：Selena辅导科目：数学学科教师:满英
课 题
立体几何（一）
教学目的
1、熟悉点线面之间的位置关系和集合描述语言
2、熟悉异面直线所成角的概念和求法
3、熟悉直线和平面所成角的概念和求法
教学内容
一、知识点回顾
1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a
∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
∴a、b、c、d四线共面．
注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．
C、必要非充分条件． D、非充分非必要条件．
2．若 、 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )B
A．若 ， ，则 ；B．若 ， ，则 ；
C．若 ， ，则 ； D．若 ， ，则 ．
3．设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是【 】
A． B．
C． D．
3．在空间中，给出下列4个命题(其中 表示直线， 表示平面)，则正确命题的序号是( )
（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段．
∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．
说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．
变式练习：
1、（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
解析：不一定，还可能异面．
（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
解析：三种：相交，平行，异面．
2、画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
解：
例4、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．
解析：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．
4.平面与平面之间的位置关系：
5求空间角
(1)异面直线所成的角通过平移成两相交直线所成的角来算
【课堂小练】
3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．
(2)斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；
二 例题讲解
例1、求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
【课堂总结】
1、空间中两条直线的位置关系有哪些：
2、如何求异面直线所成的角？主要有哪些步骤？
【课后练习】
1、在下列六组条件中，（1）空间三个点（2）空间的一条直线与一个点（3）空间两条相交直线（4）三条平行直线与第四条直线都相交（5）两两相交且不同于一点的三条直线（6）三条直线中的一条与其余两条分别相交，能确定一个平面的条件是3,4,5（不能的请举出反例）
求证：B、D、P三点共线．
证明：∵AB∩BD＝B，
∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．
∵A∈AB，D∈BD，
∵E∈AB，F∈AD，
∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．
∴平面ABD∩平面BCD＝BD．
∴P∈BD即B、D、P三点共线．注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．
变式练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．
③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．
例2、如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，Fra bibliotekEF交GH于P．
求证：P在直线BD上．
分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．
已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，
集合语言：
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1、
推论2、
推论3、
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
集合语言;
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．∵β∩γ＝b，
∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．
例3、设图中的正方体的棱长为a，
（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？
求异面直线 所成的角。
解析：取 中点 ，连结 ，∵ 分别是 的中点，
∴ 且 ，
∴异面直线 所成的角即为 所成的角，
在 中， ，
∴ ，异面直线 所成的角为 ．
说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形 内角 是钝角时，表示异面直线 所成的角是它的补角。
1、“直线 ( )
A、充要条件． B、充分非必要条件．
变式练习：
1、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．
解析：
2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解析：法（一）连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，
2、判断下列命题的真假。
（1）可画一个平面，是它的长为4cm,宽为2cm. ( 错 )
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。 （ 对 ）
（3）平面 与平面 只有一个公共点。 （ 错 ）
（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面。（ 对 ）
定理，得
法（二）取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即
一可知：
法（三）延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．（如图5）连EC1，在
由余弦定理，得
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
(1)三个点确定一个平面；(2)若
(3)在空间中，若角 的两边分别平行，则 ；
(4)若 ．
A．(1)、(2)、(4)． B．(2)． C．(2)、(3)． D．(2)、(3)、(4)．
4．以下四个命题中的假命题是……（ ）
（A）“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；
（B）直线“ ”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”；
（C）两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面 所成角相等”；
（D）“直线a//平面 ”的必要不充分条件是“直线a平行于平面 内的一条直线”．
3、若a、b为异面直线，c//a,则c与b的位置关系是 （D）
A相交 B 平行 C异面 D异面或相交
4、空间四边形 中，对角线 ， ， 分别为 的中点，且 ，求异面直线 所成的角。90°
5、在空间四边形 中， ， ，且 ， 分别为 的中点，求 及 与 所成角的正切值。
6、空间四边形 中， ， 分别是 的中点， ，
（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．
（3）求异面直线BC和AA′的距离．
解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′
∴直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．
（2）∵CC′∥BB′，
∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．