解读高考真题系列-高中数学(文数)：椭圆及其相关的综合问题 (word版含答案)

椭圆及其相关的综合问题
一、选择题
1.【椭圆的几何性质】【2016，新课标1，文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4,则该椭圆的离心率为（ ）
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
【答案】B
2.【椭圆方程与几何性质】【2016，新课标3，文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）
1
3
（B ）12
（C ）
23
（D ）34
【答案】A
3.【抛物线性质、椭圆标准方程与性质】 【2015，新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
1
2
，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
【答案】B
4.【椭圆的定义和简单几何性质】【2015，福建，文11】已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短
轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ． (0,]2
B ．3(0,]4
C ．2
D ．3[,1)4
【答案】A
5.【椭圆的简单几何性质】【2015，广东，文8】已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）
A ．9
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】C
二、非选择题
1.【椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系】【2015，北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．
【答案】（I （II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行. 2.【椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系】【2016，新课标2，文数】已知A 是椭圆E ：22
143
x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，
MA NA ⊥.
（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；
（Ⅱ）当AM AN =2k <<.
【答案】（Ⅰ）
144
49
；（Ⅱ）)
.
3.【椭圆方程、直线和椭圆的关系】【2016，北京，文数】（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=过点A （2,0），B （0,1）两点.
（I ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）2214x y +=；=e . 4.【椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、转化与化归思想.】【2015，
山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
22+=1(>>0)x y b b αα，且点1
2
）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E ：22
22+=144x y a b
，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B
两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
（i ）求
||
||
OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.
【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||
OQ OP =；（ii ） 5.【椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式】【2016，山东，文数】(本小题满分14分)
已知椭圆C :错误！未找到引用源。

（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2错误！未找到引用源。

. （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .
(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明错误！未找到引用源。

为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ) 2214
2x y +=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB
6.【椭圆的标准方程、圆锥曲线的定值问题】【2015，陕西，文20】如图，椭圆22
22:1(0)
x y E a b a b
+=>>经过点(0,1)A -
. (I)求椭圆E 的方程；
(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为
2.
【答案】(I) 2
212
x y +=； (II)证明略，详见解析. 7.【椭圆的标准方程和几何性质、直线方程】【2016，天津，文数】（设椭圆13
2
22=+
y a x （3>a ）的右
焦点为F ，右顶点为A ，已知|
|3||1||1FA e
OA OF =
+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.
【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）±8.【椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识】【2015，四川，文20】如图，椭圆E ：22
221x y a b +=(a >b >0)
的离心率是2
，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅ ＝－1
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅
为
定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(I)椭圆E 方程为22
142
x y +=. (Ⅱ)常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅
为定值－3.
9.【椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力】【2015，新课标2，文20】（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2
,点(在C 上.
（I ）求C 的方程；
（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的
斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
【答案】（I ）22
22184
x y +=（II ）见试题解析
10.【椭圆的标准方程及其几何性质】【2016，四川，文科】（本小题满分13分）
已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1
)2P 在
椭圆E 上.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为1
2 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭
圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）证明详见解析.
2017年真题
1.【椭圆的简单几何性质】【2017，浙江，2】椭圆22
194
x y +=的离心率是
A B C ．
23
D ．
59
【答案】B
2.【椭圆】【2017，课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足
∠AMB =120°，则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞
【答案】A 【解析】
试题分析：当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则
tan 60a
b
≥=
即
≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则
tan 60a
b
≥= ≥9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 3.【椭圆离心率】【2017，课标3，文11】已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，
且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A B C D ．13
【答案】A
4.【求轨迹方程、直线与椭圆位置关系】【2017，课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 错误！
未找到引用源。

上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=
.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）错误！未找到引用源。

（2）见解析 【解析】
试题解析：（1）设P （x ，y ），M （错误！未找到引用源。

）,则N （错误！未找到引用源。

），错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

.
因为M （错误！未找到引用源。

）在C 上，所以错误！未找到引用源。

. 因此点P 的轨迹为错误！未找到引用源。

.
（2）由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

.
由错误！未找到引用源。

得2231m m tn n --+-=，又由（1）知错误！未找到引用源。

，故
330m tn +-=.
所以错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F
5.【圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系】【2017，山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角
坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2
,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.
【答案】(Ⅰ)
22142
x y +=;(Ⅱ)EDF ∠的最小值为π2. 【解析】
2
2
2
(21)4240k x kx m +++-=,确定222(,)2121km m
D k k -++
,DN =
所以2sin ON FDN DN
∠=
=
≥
,由此可得FDN ∠的最小值为π,4EDF ∠的最小值为π
2.
试题解析：
，得222
2()a a b =-， 又当1y =时，22
2
2a x a b =-，得22
22a a b
-=，
所以22
4,2a b ==，
因此椭圆方程为22
142
x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程22
24
y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*）
且122
421
km
x x k +=+ ， 因此122221m
y y k +=+ ，
所以2
22(,)2121
km m
D k k -++ ， 又(0,)N m - ， 所以2
2222
2()()2121
km m
ND m k k =-
++++ 整理得：224222
4(13)
(21)m k k ND k ++=+ ，
因为NF m =
所以2
42222222
4(31)831(21)(21)ND
k k k k k NF
+++==+++ 令2
83,3t k t =+≥
故2
1
214
t k ++=
所以
22
2
1616
111(1)2ND t t NF
t t
=+
=++++ .
令1y t t
=+ ，所以211y t
'=- . 当3t ≥时，0y '>,
从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，
因此110
3
t t +≥ ，
等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，
所以
22
134ND NF
≤+=，
由（*）得 m <且0m ≠， 故
12
ND NF
≥
， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2
NF ND
θ=
≥
， 所以θ得最小值为
6
π. 从而EDF ∠的最小值为
3
π
，此时直线l 的斜率时0.
综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为
3
π. 6.【椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系】【2017，天津，文20】已知椭圆22
221(0)
x y a b a b
+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为2
2
b .
（I ）求椭圆的离心率；
（II ）设点Q 在线段AE 上，
3
||2
FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.
【答案】（Ⅰ）12 （Ⅱ）（ⅰ）3
4 （ⅱ）
2211612
x y += 【解析】
试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e .由已知，可得2
1()22b c a c +=.又由222b a c =-，可得
2220c ac a +-=，即2210e e +-=.又因为01e <<，解得1
2
e =
. 所以，椭圆的离心率为
12
. （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m
. 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为
12x y
c c
+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(
,)22
m c c
m m -++. 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[
]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以4
3m =，即直线FP 的斜率为3
4
.
（ii ）解：由2a c =
，可得b =，故椭圆方程可以表示为22
22143x y c c
+=.
由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22
223430,1,43x y c x y c c
-+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137c x =-（舍去），或x c =.因此可得点3(,)2
c
P c ，进而可
得5|2
|c FP ==，所以53||||||22c c
FP FQ Q c P -=-==.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为Q N
F P ⊥，所以339||||tan 248
c c QN FQ QFN =⋅∠=
⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532
c ，由四边形P Q N M 的面积为3c ，得
22
752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =. 所以，椭圆的方程为
22
11612
x y +=. 7.【椭圆方程、直线与椭圆的位置关系】【2017，北京，文19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .
求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．
【答案】（Ⅰ）2
214
x y += ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
+=>>.
由题意得2,
a c a
=⎧⎪
⎨=⎪⎩
解得c =所以222
1b a c =-=.
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. （Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.
直线AM 的斜率2AM n k m =
+，故直线DE 的斜率2
DE m k n
+=. 所以直线DE 的方程为2
()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2n
y x m
=
--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩
解得点E 的纵坐标222
(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.
所以4
5E y n =-
. 又12
||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，
1
||||2
BDN S BD n =⋅△，
所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.
8.【椭圆方程，直线与椭圆位置关系】【2017，江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆
2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为1
2
,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.
【答案】（1）22143x y +=（2
）(77
(第17题)
因此椭圆E 的标准方程是22
143
x y +=.
（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .
设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为
001y x +，直线2PF 的斜率为0
01
y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为00
1
x y --，
从而直线1l 的方程：00
1
(1)x y x y +=-
+， ① 直线2l 的方程：00
1
(1)x y x y -=-
-. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2
00
1(,
)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得2
0001x y y -=±，即22
001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200
143
x y +=.
由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得00x y ==22
002200
114
3x y x y ⎧+=⎪⎨+
=⎪⎩，无解.
因此点P
的坐标为.。