工程力学第十章：强度理论及应用
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问题引入：
1 基本变形只研究了构件横截面上的正应力和切应力，并且 建立了相应的强度条件，但是有些情况下，构件破坏不沿横 截面，如铸铁的受压破坏沿斜截面发生，这是为什么？
2 工程实际中有大量问题，如各种组合变形涉及到复杂的应 力状态，需要用更加合适的强度理论来解决问题。
铸铁扭转现象：破坏截面是
45度螺旋面，为什么？ 螺旋桨轴：在工作的时候既受
B
B
B
B
FQ h 2 F h2 h2 9F 2 B ( y ) ( ) 1 2I z 4 4 16 8bh 2 bh 3 12
（4）C点单元体如图所示 C
C
F 3F C 1.5 1.5 A bh 2bh
FQ
二、主应力和主平面 1. 主平面和主应力的概念 取单元体分析的时候，应尽量使取出的单元体三对面上的应力
主应力计 算及主平 面确定
第四强度理论 r 4
①从构件危险点处截取单元体，计算主应力 计算步骤 ②选用适当的强度理论，计算相当应力 ③确定材料的许可应力，从而进行强度计算 一般应力状态下的脆性材料，三向受拉的塑性材料采用第一、二强度理论 应用条件 一般应力状态下的塑性材料，三向受压的脆性材料采用第三、四强度理论
x y
2
sin 2 x cos 2
3. 主应力和主平面的计算
主平面方位的确定：令 0
x y
2
sin 2 0 x cos 2 0 0
2 x 0 ( 4 , 4 ) tan 2 0 x y 90 0 0
y
t
F
t
0
dA ( x dA cos ) cos ( x dA cos ) sin
( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
求出相差90度的两个角度，即可确定两个相互垂直的主平面。
将方位角计算结果代入 的表达式，得
max x y x y 2 x 2 min 2
由上式计算得到的2个应力极值是主应力，但是究竟是3个主应力
2
中的哪两个，需要比较后才能下结论。若为正值，则分别为σ1和
※确定材料的许用拉应力[] ，进行强度计算。
例4 某构件上危险点处的应力状态如图。其中 =65MPa，τ＝
38MPa，材料为Q235钢，许用正应力[σ] ＝110MPa。试校核此 构件的强度。 解 ：该单元体的最大与最小正应力分别为
max 1 2 2 4 min 2
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 s n 2 s
使用范围：破坏形式为屈服失效，设计结果更精确。
塑性材料
第三强度理论 第四强度理论
可进行偏保守（安全）设计。 可用于更精确设计。
脆性材料
第一强度理论 用于脆性材料的拉伸、扭转。 第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少数材料。
T 16 M e A WP d 3
A
A
Hale Waihona Puke M 32 Fl A Wz d 3
（3）B点单元体如图所示
B
T 4 FQ 16 M e 16 F B 3 WP 3 A d 3d 2
例2：悬臂梁受力如图，用单元体表示A、B、C三点的应力状态。
F
0.25h
b x l h y z
3 表示，并按其代数值 2 、 个主应力。这三个主应力用符号 1 、
大小顺序排列，即
1 2 3
10 10
50 单位：MPa
1 50MPa 30 2 10MPa 3 30MPa
30
1 10MPa 2 0 3 30MPa
对空间应力状态本章不作讨论。
C B A
解（1）固定端截面的内力
FQ F , M Fl
A A
（2）A点单元体如图所示
M 6 Fl A 2 Wz bh
A
F
0.25h
b x l h y z
C B A
（3）B点单元体如图所示
My M 0.25h 3Fl B 2 1 Iz bh bh 3 12
dy
dx
2）纯弯曲
F
B
F
B′
F B
x
x
x
B
x
单向应力状态
x
B′
B′ F
x
3）扭转 横截面为圆截面，同样为了分析 的方便，单元体的截取和上例应 该不一样。三对平行面应分别为
一对横截面，一对圆柱面，和一
dx
对通过轴线的纵向截面。
平面应力状态
4）横力弯曲（矩形截面）
F A
dy
dx
6. 复杂应力状态下强度计算的步骤： ※通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。 ※通过应力分析确定危险截面上的危险点。 ※从构件的危险点处截取单元体，分析其应力状态，计算主应 力。危险点一般有三种情况，第一类是正应力最大点，此时切
应力通常为零，处于单向应力状态；第二类是切应力最大点，
此时正应力通常为零，处于纯剪切应力状态；第三类是正应力 和切应力都较大的点，此时处于复杂平面应力状态。 ※选用适当的强度理论计算相当应力。
2. 点的应力状态的研究方法 ——取单元体 采用截面法截取单元体时，由于单元体几何尺寸很小，可 认为在单元体各个面上应力均匀分布，并且三对互相平行的面 上的应力均相等。
1）轴向拉伸
F
dy
dx
为分析方便，三对平行面应分别为
F
一对横截面和两对纵向截面。当截
面为矩形，都可以这样截取单元体。
单向应力状态
（剪切）
（扭转）
max [ ]
max
T [ ] Wp
u u [ ] , [ ] 式中 n n
二、复杂应力状态下的强度条件 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 强度条件： 1
b
nb
使用范围：破坏形式为脆断的构件,特别是以拉应力为主的情况。 2. 最大拉应变理论（第二强度理论） 强度条件： 1 2 3
b
nb
使用范围：破坏形式为脆断，且脆断前服从胡克定律的构件，
特别是以压应力为主的情况。
3. 最大切应力理论（第三强度理论） 强度条件： 1 3 n s
s
使用范围：破坏形式为屈服失效。第三强度理论曾被许多塑性
材料的试验结果所证实，且稍偏于安全，在工程设计中得到了 广泛的应用。 4. 形状改变比能密度理论（第四强度理论） 强度条件：
扭又受拉，处于复杂的应力状
态。此时的强度条件是什么样 的呢？ 电动机轴：在工作的时候既受 扭又受弯，处于复杂的应力状 态。此时的强度条件是什么样 的呢？
解决任务的思路和方法：
通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面
通过应力分析确定危险截面上的危险点
选用适当的强度理论计算相当应力
确定材料的 [] ，进行强度计算
3
100
16.84
x
20
3
2
40
主平面方向如图所示，关于两个主应力分别在哪个主平面上可
以单独判断。
第二节 强度理论
失效—由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。 一、基本变形下强度条件的建立
max
max
FN ,max A
[ ] （拉压）
M max [ ] （弯曲） Wz
平面应力状态：单元 体有一对平面上的应 力等于零，即不等于 零的应力分量均处于 同一坐标平面内。
例1：悬臂梁受力如图所示，横截面直径为d。用单元体表示A、 B两点的应力状态。
y l
F A
解（1）固定端截面的内力为
x
B
z
T M e，FQ F , M Fl
Me
（2）A点单元体如图所示
σ2；若一正一负，则分别为σ1和σ3；若都为负，则分别为σ2和σ3。
2 x 2 (20) 2 tan 2 0 x y 100 （ 40） 3
0 16.84
y
2
73.16
0 16.84 90 73.16
第一节 应力状态概述
第二节 强度理论
第三节 组合变形
第一节 应力状态概述
一、点的应力状态分析 1. 概念 由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同 的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点， 不同的方向上应力也不一样。 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了 找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况进 行分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。
上面说到的原则是根据材料来进行强度理论的选择，在平面应力
状态下是合适的。但是对于空间应力状态则要考虑应力状态的具
体情况。不管是塑性还是脆性材料，只要是三向拉伸应采用第一 或第二强度理论，只要是三向压缩应采用第三或第四强度理论。
5. 强度条件的统一形式：
r
其中相当应力σr是根据不同强度理论所得到的构件危险点处
r 4 表示四个 r3 、 r2 、 三个主应力的某些组合。采用记号 r1、
强度理论的相当应力。
r1 1
r 2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2
2 0
其相应的主应力为
1 1 2 2 4 3 2
2 2 2 2 4 65 4 38 MPa=100 MPa < [ ] 根据第三强度理论 r3 1 3
根据第四强度理论
r4
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2 3 2 2
二、 拉（压）与弯曲的组合变形
第三节 组合变形
一、组合变形的研究方法
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当 几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略，这类构件的 变形称为组合变形。 F FN F z x Me F
y
工程上组合变形实例：
压弯组合变形
拉弯组合变形
按叠加原理进行强度计算的步骤：
（线弹性范围、小变形条件） ※外力分析：外力向形心简化并分解； ※内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险截面。 ※应力分析：画出危险面应力分布图，确定危险点的位置及 力值。 ※强度计算：根据危险点的应力状态，结合材料的性质，选 择合适的强度理论进行强度计算。
2. 单元体斜截面上应力的计算 符号规定
y
y
x
x
：拉正压负 ：绕单元体顺时针转为正，
绕单元体逆时针转为负。
x
d
α：由x 轴正向逆时针转到斜截面外
x
f
n
法线时为正；反之为负。
e y
y
t
由分离体平衡平衡方程
x
d
F
n
0
x
n
e y f
dA ( x dA cos )sin ( x dA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin )sin 0
已知。并且总有三对互相垂直的平面其切应力为零，这样的平
面称主平面，此时单元体上应力的分布最为简单和清晰。 = 0 的平面叫作主平面，主平面上的正应力叫作主应力。
⊙单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零。 ⊙平面应力状态：三个主应力中有两个不为零。 ⊙空间应力状态：三个主应力都不等于零。
任意一点总能找到三对相互垂直的主平面，亦即每一点都有三
652 3 382 MPa = 92.5 MPa < [ ]
故该构件满足强度要求。
强度理论小结：
一点的应 力状态
斜截面上 应力计算
第一强度理论 r1 1
第二强度理论 r 2 1 u ( 2 3 )
强度理论
第三强度理论 r 3 1 3
1 基本变形只研究了构件横截面上的正应力和切应力，并且 建立了相应的强度条件，但是有些情况下，构件破坏不沿横 截面，如铸铁的受压破坏沿斜截面发生，这是为什么？
2 工程实际中有大量问题，如各种组合变形涉及到复杂的应 力状态，需要用更加合适的强度理论来解决问题。
铸铁扭转现象：破坏截面是
45度螺旋面，为什么？ 螺旋桨轴：在工作的时候既受
B
B
B
B
FQ h 2 F h2 h2 9F 2 B ( y ) ( ) 1 2I z 4 4 16 8bh 2 bh 3 12
（4）C点单元体如图所示 C
C
F 3F C 1.5 1.5 A bh 2bh
FQ
二、主应力和主平面 1. 主平面和主应力的概念 取单元体分析的时候，应尽量使取出的单元体三对面上的应力
主应力计 算及主平 面确定
第四强度理论 r 4
①从构件危险点处截取单元体，计算主应力 计算步骤 ②选用适当的强度理论，计算相当应力 ③确定材料的许可应力，从而进行强度计算 一般应力状态下的脆性材料，三向受拉的塑性材料采用第一、二强度理论 应用条件 一般应力状态下的塑性材料，三向受压的脆性材料采用第三、四强度理论
x y
2
sin 2 x cos 2
3. 主应力和主平面的计算
主平面方位的确定：令 0
x y
2
sin 2 0 x cos 2 0 0
2 x 0 ( 4 , 4 ) tan 2 0 x y 90 0 0
y
t
F
t
0
dA ( x dA cos ) cos ( x dA cos ) sin
( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
求出相差90度的两个角度，即可确定两个相互垂直的主平面。
将方位角计算结果代入 的表达式，得
max x y x y 2 x 2 min 2
由上式计算得到的2个应力极值是主应力，但是究竟是3个主应力
2
中的哪两个，需要比较后才能下结论。若为正值，则分别为σ1和
※确定材料的许用拉应力[] ，进行强度计算。
例4 某构件上危险点处的应力状态如图。其中 =65MPa，τ＝
38MPa，材料为Q235钢，许用正应力[σ] ＝110MPa。试校核此 构件的强度。 解 ：该单元体的最大与最小正应力分别为
max 1 2 2 4 min 2
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 s n 2 s
使用范围：破坏形式为屈服失效，设计结果更精确。
塑性材料
第三强度理论 第四强度理论
可进行偏保守（安全）设计。 可用于更精确设计。
脆性材料
第一强度理论 用于脆性材料的拉伸、扭转。 第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少数材料。
T 16 M e A WP d 3
A
A
Hale Waihona Puke M 32 Fl A Wz d 3
（3）B点单元体如图所示
B
T 4 FQ 16 M e 16 F B 3 WP 3 A d 3d 2
例2：悬臂梁受力如图，用单元体表示A、B、C三点的应力状态。
F
0.25h
b x l h y z
3 表示，并按其代数值 2 、 个主应力。这三个主应力用符号 1 、
大小顺序排列，即
1 2 3
10 10
50 单位：MPa
1 50MPa 30 2 10MPa 3 30MPa
30
1 10MPa 2 0 3 30MPa
对空间应力状态本章不作讨论。
C B A
解（1）固定端截面的内力
FQ F , M Fl
A A
（2）A点单元体如图所示
M 6 Fl A 2 Wz bh
A
F
0.25h
b x l h y z
C B A
（3）B点单元体如图所示
My M 0.25h 3Fl B 2 1 Iz bh bh 3 12
dy
dx
2）纯弯曲
F
B
F
B′
F B
x
x
x
B
x
单向应力状态
x
B′
B′ F
x
3）扭转 横截面为圆截面，同样为了分析 的方便，单元体的截取和上例应 该不一样。三对平行面应分别为
一对横截面，一对圆柱面，和一
dx
对通过轴线的纵向截面。
平面应力状态
4）横力弯曲（矩形截面）
F A
dy
dx
6. 复杂应力状态下强度计算的步骤： ※通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。 ※通过应力分析确定危险截面上的危险点。 ※从构件的危险点处截取单元体，分析其应力状态，计算主应 力。危险点一般有三种情况，第一类是正应力最大点，此时切
应力通常为零，处于单向应力状态；第二类是切应力最大点，
此时正应力通常为零，处于纯剪切应力状态；第三类是正应力 和切应力都较大的点，此时处于复杂平面应力状态。 ※选用适当的强度理论计算相当应力。
2. 点的应力状态的研究方法 ——取单元体 采用截面法截取单元体时，由于单元体几何尺寸很小，可 认为在单元体各个面上应力均匀分布，并且三对互相平行的面 上的应力均相等。
1）轴向拉伸
F
dy
dx
为分析方便，三对平行面应分别为
F
一对横截面和两对纵向截面。当截
面为矩形，都可以这样截取单元体。
单向应力状态
（剪切）
（扭转）
max [ ]
max
T [ ] Wp
u u [ ] , [ ] 式中 n n
二、复杂应力状态下的强度条件 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 强度条件： 1
b
nb
使用范围：破坏形式为脆断的构件,特别是以拉应力为主的情况。 2. 最大拉应变理论（第二强度理论） 强度条件： 1 2 3
b
nb
使用范围：破坏形式为脆断，且脆断前服从胡克定律的构件，
特别是以压应力为主的情况。
3. 最大切应力理论（第三强度理论） 强度条件： 1 3 n s
s
使用范围：破坏形式为屈服失效。第三强度理论曾被许多塑性
材料的试验结果所证实，且稍偏于安全，在工程设计中得到了 广泛的应用。 4. 形状改变比能密度理论（第四强度理论） 强度条件：
扭又受拉，处于复杂的应力状
态。此时的强度条件是什么样 的呢？ 电动机轴：在工作的时候既受 扭又受弯，处于复杂的应力状 态。此时的强度条件是什么样 的呢？
解决任务的思路和方法：
通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面
通过应力分析确定危险截面上的危险点
选用适当的强度理论计算相当应力
确定材料的 [] ，进行强度计算
3
100
16.84
x
20
3
2
40
主平面方向如图所示，关于两个主应力分别在哪个主平面上可
以单独判断。
第二节 强度理论
失效—由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。 一、基本变形下强度条件的建立
max
max
FN ,max A
[ ] （拉压）
M max [ ] （弯曲） Wz
平面应力状态：单元 体有一对平面上的应 力等于零，即不等于 零的应力分量均处于 同一坐标平面内。
例1：悬臂梁受力如图所示，横截面直径为d。用单元体表示A、 B两点的应力状态。
y l
F A
解（1）固定端截面的内力为
x
B
z
T M e，FQ F , M Fl
Me
（2）A点单元体如图所示
σ2；若一正一负，则分别为σ1和σ3；若都为负，则分别为σ2和σ3。
2 x 2 (20) 2 tan 2 0 x y 100 （ 40） 3
0 16.84
y
2
73.16
0 16.84 90 73.16
第一节 应力状态概述
第二节 强度理论
第三节 组合变形
第一节 应力状态概述
一、点的应力状态分析 1. 概念 由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同 的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点， 不同的方向上应力也不一样。 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了 找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况进 行分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。
上面说到的原则是根据材料来进行强度理论的选择，在平面应力
状态下是合适的。但是对于空间应力状态则要考虑应力状态的具
体情况。不管是塑性还是脆性材料，只要是三向拉伸应采用第一 或第二强度理论，只要是三向压缩应采用第三或第四强度理论。
5. 强度条件的统一形式：
r
其中相当应力σr是根据不同强度理论所得到的构件危险点处
r 4 表示四个 r3 、 r2 、 三个主应力的某些组合。采用记号 r1、
强度理论的相当应力。
r1 1
r 2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2
2 0
其相应的主应力为
1 1 2 2 4 3 2
2 2 2 2 4 65 4 38 MPa=100 MPa < [ ] 根据第三强度理论 r3 1 3
根据第四强度理论
r4
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2 3 2 2
二、 拉（压）与弯曲的组合变形
第三节 组合变形
一、组合变形的研究方法
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当 几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略，这类构件的 变形称为组合变形。 F FN F z x Me F
y
工程上组合变形实例：
压弯组合变形
拉弯组合变形
按叠加原理进行强度计算的步骤：
（线弹性范围、小变形条件） ※外力分析：外力向形心简化并分解； ※内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险截面。 ※应力分析：画出危险面应力分布图，确定危险点的位置及 力值。 ※强度计算：根据危险点的应力状态，结合材料的性质，选 择合适的强度理论进行强度计算。
2. 单元体斜截面上应力的计算 符号规定
y
y
x
x
：拉正压负 ：绕单元体顺时针转为正，
绕单元体逆时针转为负。
x
d
α：由x 轴正向逆时针转到斜截面外
x
f
n
法线时为正；反之为负。
e y
y
t
由分离体平衡平衡方程
x
d
F
n
0
x
n
e y f
dA ( x dA cos )sin ( x dA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin )sin 0
已知。并且总有三对互相垂直的平面其切应力为零，这样的平
面称主平面，此时单元体上应力的分布最为简单和清晰。 = 0 的平面叫作主平面，主平面上的正应力叫作主应力。
⊙单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零。 ⊙平面应力状态：三个主应力中有两个不为零。 ⊙空间应力状态：三个主应力都不等于零。
任意一点总能找到三对相互垂直的主平面，亦即每一点都有三
652 3 382 MPa = 92.5 MPa < [ ]
故该构件满足强度要求。
强度理论小结：
一点的应 力状态
斜截面上 应力计算
第一强度理论 r1 1
第二强度理论 r 2 1 u ( 2 3 )
强度理论
第三强度理论 r 3 1 3