【全国市级联考】安徽省淮南市2016届高三下学期第二次模拟考试理数试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集U R =
，集合{|2}A y y ==+，2{|7120}B x x x =-+≤，则()U A C B =
（ ）
A ．[2,3)
B ．(2,4)
C ．(3,4]
D ．(2,4] 【答案】
A
考点：集合的运算． 2.复数34343i
z i
+=+
-，则||z 等于（ ） A ．3 B
D ．4 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得()()()()
344334333434343i i i
z i i i i +++=+=+=+--+
=B ． 考点：复数的运算．
3.设42x y
z =∙中变量,x y 满足条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则z 的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 【答案】C 【解析】
试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图所示，由42x y z =∙，得22x y z +=，令2m x y =+，则
2y x m =-+，
由可行域可知当直线2y x m =-+经过点b 时截距最小，即m 最小，解方程组1
43
x x y =⎧⎨-=-⎩，得(1,1)B ，所以m 的最小值为2113⨯+=，z 的最小值为3
28=．
考点：简单的线性规划．
4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 在函数1
()(21)x
f x t dt =+⎰
的图象上，则数列{}n a 的
通项公式为（ ）
A ．2n a n =
B ．2
2n a n n =+- C ．0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ D ．0,1
2,2
n n a n n =⎧=⎨≥⎩
【答案】D
考点：数列的通项公式及定积分的计算．
5.过点(2,0)引直线l 与圆2
2
2x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积取最大值 时，直线l 的斜率为（ ）
A B ． C ．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设直线的斜率为k ，则直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k -+=，当AOB ∆面
积取最大值时，OA OB ⊥,此时圆心O 到直线的距离为1d =，由点到直线的距离公式
得
1d k =
=⇒=，故选C ． 考点：直线与圆的位置关系的应用．
6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．16种 【答案】
D
考点：排列组合的应用． 7.下列四个结论：
①命题“若()f x 是周期函数，则()f x 是三角函数”的否命题是“若()f x 是周期函数，则()f x 不是三 角函数”；
②命题“2
000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2
,10x R x x ∀∈--≥”； ③在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“A B >”的充要条件； ④当0a <时，幂函数a
y x =在区间(0,)+∞上单调递减. 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得①命题“若()f x 是周期函数，则()f x 是三角函数”的否命题是“若()f x 不是是周期函数，则()f x 不是三角函数”，所以是错误的；②中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“2
000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2
,10x R x x ∀∈--≥”，是正确的；③在ABC ∆中，由正弦定理得“sin sin A B >”则
22a b
a b A b R R
>⇔>⇔>，所以是正确的；④当0a <时，根据幂函数的性质，幂
函数a y x =在区间(0,)+∞上单调递减，是正确的，故选C ． 考点：命题的真假判定．
8.阅读如图所示的程序框图，若输入2016m =，则输出S 等于（ ）
A ．2
1007 B ．2
1008 C ．2
1009 D ．2
2010
【答案】C
考点：程序框图的应用．
9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数（ ） A ．()f x a -一定为奇函数 B ．()f x a -一定为偶函数 C ．()f x a + 一定为奇函数 D ．()f x a +一定为偶函数 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，()sin(2)1f x a ϕ=+=时，则222
a k πϕπ+=+
，k ∈Z ，所以
()sin(22)sin(22)cos 22
f x a x a x k x π
ϕπ+=++=++=，此时函数为偶函数，故选D ．
考点：三角函数的图象与性质．
10.已知函数21,0
()(1),0
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--只有一个零点，则实数a 的取
值范围是（ ）
A ．(1,)+∞
B ．[1,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(,1]-∞ 【答案】B
考点：函数的零点的应用．
【方法点晴】本题主要考查了函数的零点即根的存在性及根的个数的判断，着重考查了数形结合法思想的应用及转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中将函数()()g x f x x a =--只有一个零点，转化为函数()y f x =与函数y x a =+图象的交点个数，通过作出函数()y f x =与函数y x a =+图象，即可借助图象得到图象交点个数的判断．
11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积 为（ ）
A ．17
B ．
553 C ．52
3
D ．18
【答案】C
考点：几何体的三视图及组合体的体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，由已知中的三视图，可知给几何体是一个四棱台切去一个三棱锥的几何体是解答问题的关键．
12.如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =
，()n E n N +∈为边AC 的一列点，满
足11(32)4
n n n n n E A a E B a E D +=-+
，其中实数列{}n a 中10,1n a a >=，则{}n a 的通项公式为（ ）
A ．1
32
2n -∙- B ．21n - C ．32n - D ．1231n -∙-
【答案】D 【解析】
试题分析：因为3BD DC = ，所以1233
n n n E C E B E D =+
，设n n mE C E A = ，因为
11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+ ，所以1112,(32)343n n m a m a +==-+，所以111
(32)42
n n a a +=+，所以
11
(32)2
n n a a +=-+，所以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的
等比数列，所以1
123
n n a -+=⋅，故选D ．
考点：等比数列的通项公式及向量的运算．
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的递推公式、等比数列的通项公式及平面向量的运算，着重考查了平面向量的三点共线，等比数列的定义及等比数列的通项公式的求解，同时考查了学生分析问题、解答问题的能力及推理运算能力，本题的解答中，根据平面向量的运算，得到数列{}1n a +表示首项为2，公比为
3的等比数列是解得本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.
函数2cos y x x =+-[0,]2
π上的最大值是 .
【答案】
6
π
考点：利用导数研究函数的最值．
14.设常数0a >，2
5()a
x x
+的二项展开式中4
x 项的系数为40，记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知246a a +=，45S a =，则10a = . 【答案】10 【解析】
试题分析：由题意得，2
5()a x x
+的二项展开式的通项为10315r r r
r T C a x
-+=⋅，令10342r r -=⇒=，故展
开式中4
x 项的系数为2
2
5
40C a =，又0a >，所以2a =，又因为246a a +=，45S a =，所以11
23
235a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解得11,1a d ==，所以101910a a d =+=． 考点：二项式定理的通项及等差数列的通项的应用．
15.已知tan 2α=-，抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为(sin cos ,0)F αα-，直线l 经过点F 且与
抛物线交于,A B 两点，且||4AB =，则线段AB 的中点到直线1
2
x =-的距离为 . 【答案】
2110
考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的集合性质的应用，着重考查了转化与化归的思想方法的应用、推理与计算能力，属于基础题，本题的解答中，利用tan 2α=-，得到抛物线的饿焦点坐标2(,0)5F ，得出45p =
，由直线过过抛物线的焦点，利用抛物线的定义转化为124
45
x x ++=，求解12x x +的值，即可运算AB 的中点到直线的距离．
16.已知函数333
|ln |,0()3,x x e f x x e x e
⎧<≤=⎨-++>⎩，存在123x x x <<，123()()()f x f x f x ==，则32()
f x x 的 最大值为 . 【答案】
1
e
【解析】
试题分析：由题意得，3
220ln 31x x e <<⇒<<，因为存在123x x x <<，123()()()f x f x f x ==，所以
3222
()()f x f x x x =，所以令2
ln 1ln x x y y x x -'=⇒=，所以3
(1,),0,(,),0x e y x e e y ''∈>∈<，所以函数在(1,)e 上单调递增，在3(,)e e 上单调递减，所以x e =时，函数取得最大值1e ，所以32()f x x 的最大值为1
e
． 考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定3
21x e <<的范围，构造新函数ln x
y x
=
，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结论
的最大值．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）在ABC ∆中，边,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+， 设B 的最大值为0B . （1）求0B 的值；
（2）当0,1,3B B a c ===，D 为AC 的中点时，求BD 的长.
【答案】（1）03
=B π
；（2． 【解析】
试题分析：（1）由已知结合正弦定理把角化为关系转化为边的关系，再由余弦定理求解0B 的值；（2）由已知结合余弦定理求得ABC ∆为直角三角形，再由勾股定理得到答案．
考点：正弦定理与余弦定理的应用．
18.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得 到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1.
（1）求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
（2）若将频率视为频率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区 间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.05；（2）1.8． 【解析】
试题分析：（1）由题意得，质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之和，利用之比为4:2:1即可求出这些产品指标值落在区间[75,85]内的频率；（2）求出每件产品质量指标值落在区间[45,75)内的概率为0.6，利用题意，找出随机变量的取值，求出取每个值对应的概率，列出分布列，求解数学期望．
（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．
由（1）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+， 将频率视为概率得0.6p =
因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，
且0
3
3(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1
1
2
3(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，
2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，330
3(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．
所以X 的分布列为：
X 0 1 2 3 P
0.064
0.288
0.432
0.216
所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分 考点：频率直方图、离散型随机变量的分布列及数学期望．
19.（12分）已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，0
90BAC ACD ∠=∠=，
060EAC ∠=，AB AC AE ==.
（1）若P 是BC 的中点，求证：//DP 平面EAB ；
（2）求平面EBD 与平面ACDE 所成的锐二面角θ的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2．
试题解析：（1）设AB ＝a ，取AC 的中点O ，连接EO ，OP. ∵AE ＝AC ，又∠EAC ＝60°，∴EO ⊥AC.
又平面ABC ⊥平面ACDE ，∴EO ⊥平面ABC ，∴EO ⊥OP ， 又OP ∥AB ，AB ⊥AC ，所以OP ⊥AC.
以射线OP ，OC ，OE 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，
则C （0，
2a ，0），A （0，－2a ，0），E （0，0，
）， D （0，
2a
），B （a ，－2a ，0）. 则P （
2
a
，0，0）， 设平面EAB 的法向量为n
＝（x 0，y 0，z 0）. AB ＝（a ，0，0），AE ＝（0，2a
）
， ∴AE ·n ＝0，AB ·n
＝0，
即000020a y x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，令z 0＝1，得y 0
，又x 0＝0， ∴n
＝（0
，1）.
∴(0,(,,)022a a n DP ∙=∙-= ，
∴DP ∥平面EAB （另法：取AB 中点F ，然后证DP ∥EF 或证平面ODP ∥平面EAB ） …………………………6分
（2）设平面EBD 的法向量为1n ＝（x 1，y 1，z 1），易知平面ACDE 的一个法向量为2n
＝（1，0，0）.
∵1100n EB n ED ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩
，即1111020
2
a ax y a y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令z 1＝1，则x 1
，y 1＝0，1n
，0，1）.
∴1212||cos ||||
n n n n θ∙== . …………………………12分
考点：线面位置关系的判定与证明；二面角的求解．
20.（12分）已知点(2,0)A -，P 是圆2
2
:4O x y +=上任意一点，P 在x 轴上的射影为Q ，
2QP QG =
，
动点G 的轨迹为C ，直线(0)y kx k =≠与轨迹C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴 交于点,M N . （1）求轨迹C 的方程；
（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）()11,0P ，()21,0P -．
试题解析：（1）设(,)G x y , ∴(,0)Q x ,∵2QP QG =
∴(,2)P x y
∵P 在2
2
:4O x y += 上，∴2
2
44x y +=
所以轨迹C 的方程为2
214
x y +=． …………………………6分 （2）因为点A 的坐标为()2,0-
因为直线(0)y kx k =≠与轨迹C 于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．
联立方程组22,
14
y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩消去y 得2
2414x k =+
．所以0x =
，则0y =． 所以直线AE
的方程为)2y x =
+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，
令0x =
得y =
，即点M ⎛
⎝．
同理可得点N ⎛ ⎝．…8分
-
设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为10,2P k ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
． 则以MN 为直径的圆的方程为2
2
12x y k ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭2
， 即22
11x y y k
++=．… ………………………10分
令0y =，得2
1x =，即1x =或1x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()11,0P ，()21,0P -．………………………12分 考点：轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解方法、直线与圆锥曲线位置关系的应用，着重考查直线方程与圆锥曲线方程联立，利用根与一元二次方程的系数的关系的转化与化归，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中利用直线与椭圆方程联立，求解出,M N 的坐标，利用两点间的距离公式计算出MN 的长及MN 的中点坐标，写出以MN 为直径的圆的方程是解答的关键． 21.（12分）已知函数1
()(2)ln 2()f x a x ax a R x
=-+
+∈. （1）0a =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）0a <时，求()f x 的单调区间；
（3）当32a -<<-时，若存在12,[1,3]λλ∈，使不等式12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间是10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ ，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；极小值是22ln 2-，无极大值；（2）单调递减区间是10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）38,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】
试题解析：（1）0a = 时，2212121
()2ln ,()x f x x f x x x x x
-'=+=-= 令()0,f x '= 解得12x = ，当102x << 时，()0,f x '<当1
2
x > 时，()0,f x '>
所以()f x 的单调递减区间是10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ ，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； 所以()f x 的极小值是1
()22ln 22
f =-，无极大值；…………………3分
（2）()2222121()2ax a x a f x a x x x +---'=-+=()()2121ax x x +-=2
1122a x x a x
⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭= ①当2a <- 时，112a -
< ，令()0,f x '<解得：1x a <-，或1
2
x > 令()0,f x '>解得：112x a -
<<，所以当2a <- 时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递增区间是11,2a ⎛⎫-
⎪⎝
⎭； ②当2a =- 时，11
2
a -
=，()0,f x '≤()f x 在()0,+∞上单调递减；
③当2a >- 时，112a -> ，令()0,f x '<解得：12x <，或1x a
>- 令()0,f x '>解得：
112x a <<-，所以当20a -<< 时，()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，单调递增区间是11,2a ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭；…………………7分 (3)由（2）知，当32a -<<- 时，()f x 在[]1,3上单调递减 所以max ()(1)21f x f a ==+ ，()min 1
()(3)2ln 363
f x f a a ==-+
+ ()()()12max 2
|()()|1342ln 33f f f f a a λλ-=-=
-+-
因为存在]3,1[,21∈λλ，使不等式
12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，
所以12max |()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-，即()()2
42ln 3ln 32ln 3
3a a m a -+->+- 整理得243m a >
- ，因为23-<<-a ，所以122
339a -<<- 所以
132384339a -<-<-，所以389m ≥-，
m 的取值范围是38,9⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
…………………12分
考点：利用导数研究函数单调性、极值与最值中应用．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用函数的性质求解不等式的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论思想和转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的第三问的解答中先求解函数()max f x 和()min f x ，把存在12,[1,3]λλ∈不等式12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，转化为12max |()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-恒成立是解答本问的关键．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 交BC 于D ，过D 点作圆O 的切线交AC 于E ，求 证：
（1）DE AC ⊥；
（2）2
BD CE CA =∙
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
(2)由（1）得D 为BC 中点，
所以BC AD ⊥(或有直径上圆周角得) 所以AC CE DC ∙=2
(射影定理) 有DC BD =
得2
BD CE CA =⋅ … …10分 考点：圆周角定理；直角三角形的射影定理． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线112:x t l y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；
（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
1
2
，得到曲线2C ，设点P 是 曲线2C 上的一个动点，求它的直线l 的距离的最小值.
【答案】（1）1||=AB ；（2）
)12(4
6
-．
试题解析：（1） 的普通方程为1),1(3C x y -=
的普通方程为.12
2=+y x 联立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,
1),
1(32
2
y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)2
3
,21
(-
B ,则1||=AB . … …5分 （2）2
C 的参数方程为θθθ(.sin 2
3
,cos 21
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,
cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|
3sin 23cos 23|
+-=--=
πθθθd ,由此当1)4
sin(-=-πθ时,d 取得
最小值,且最小值为
)12(4
6
-.……… …10分 考点：圆的参数方程；函数的图象与图象的变化；直线与圆相交的性质． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()|||f x x x =+--. （1）当1a =时，求不等式1
()2
f x ≥
的解集； （2）若对任意[0,1]a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围.
【答案】（1）1,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
;（2）)
+∞．
【解析】
试题分析：（1）当1a =时，利用绝对值的意义求得不等式的解集；（2）由题意可得b 大于()f x 的最大值，再根据绝对值的意义可得()f x 的最大值为1，可得实数b 的范围．
（2）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦ 以下给出两种思路求()f x 的最大值.
思路1：因为()f x x =+)01a ≤≤，
当x ≤时，()f x x x =--+-
=0<．
当x <<时，()f x x x =+2x =+
£+-
=
+
当x ≥()f x x x =++
=．
所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=
思路2：因为 ()f x x =+
x x ≤+-+
+
当且仅当x ≥()max f x ⎡⎤⎣
⎦=
．
因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥
的解集为空集，所以max b >
以下给出三种思路求(
)g a =
.
所以b
的取值范围为)
+∞．…………………………………………………10分
思路3：令(
)g a =
因为01a ≤≤
，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x
y
＃＃．
问题转化为在2
2
1x y +=()01,01x
y
＃＃的条件下，
求z x y =+的最大值．
利用数形结合的方法容易求得z
，
此时x y ==
． 所以b
的取值范围为
)
+∞．…………………………………………………10分
考点：绝对值不等式的解法．。